Определение степени с целым отрицательным показателем.
Интегрированный урок: математика+ астрономия.
Цель урока: 1) повторить свойства степени с натуральным показателем, свойств степени; 2) ввести понятие степени с целым отрицательным показателем; 3) показать связь алгебры и астрономии; 4) формирование у учащихся единой научной картины мира, целостного представления о нём, гуманистического мировоззрения и диалектического мышления.
Оборудование: доска, проектор, карточки с заданиями.
Ход урока.
-
Повторение свойств степени.
Задание 1. Отгадайте ребусы. (астрономия, степень)
«Открылась бездна, звёзд полна,
Звездам числа нет, бездне – дна.»
Так наш великий учёный и поэт Михайло Ломоносов, гениальный сын русского народа, кратко и выразительно сформулировал представление о бесконечности вселенной, являющейся перед нами в виде ночного звёздного неба. Сколько тысячелетий это звёздное небо приковывает взоры человека. В путешествии по небесным просторам среди бесчисленных звёзд и туманностей легко заблудится, если нет под рукой карты и каталога. Людей, которые измеряли координаты звёзд, в древности называли звездочётами. Сегодня таких людей называют астрометристами.
Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд, дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству; запишите буквы в порядке номеров приведённых свойств.)
Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил. Что означает в ответе знак минус?( 2 век до н. э.)
Гиппарх – древнегреческий учёный, один из основоположников астрономии. Родился в городе Никея, жил и работал на острове Родос. Гиппарху принадлежит заслуга создания первых математических теорий видимого движения Солнца и Луны и теории затмений. Он правильно определил размер Луны и её расстояние от Земли. Сопоставляя результаты личных наблюдений и наблюдений своих предшественников, он с точностью до дня вычислил продолжительность солнечного года. Гиппарх и другие астрономы древности уделяли много внимания наблюдениям за движением планет.
-
Изучение нового материала ( основные понятия)
Окружающий нас мир очень разнообразен и качественно и количественно. В справочнике по физике или астрономии можно найти сведения о том, что масса Солнца равна 1,985∙10
33 г, а масса атома водорода 1,674∙10
-24 г. Запись 10
33 означает произведение тридцати трёх множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 10
-24 ?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку 100, 101, 102, 103,… В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз. Продолжая строку по тому же закону влево, перед числом 100 следует написать 1/10=1/101, перед числом 1/101 – число 1/100=1/102, перед числом 1/102 – число 1/103 и т. д. Получим: …, 1/103, 1/102, 1/101, 100, 101, 102, 103,… В строке справа от числа 100 показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 100, их записывают в виде степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо 1/101 пишут 10-1, вместо 1/102 пишут 10-2, вместо 1/103 пишут 10-3 и т. д. Получают: …, 10-3,10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103,… Итак 10-1=1/101, 10-2=1/102, 10-3=1/103 и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми основаниями, отличными от нуля.
Определение: если а ≠ 0 и n- целое отрицательное число, то аn = 1/a-n.
Пользуясь этим определением, найдём, что: а) 2-4=1/24=1/16; б) (1/3)-2=1/(1/3)2=1/1/9=9; в) а-3=1/а3.
Отметим, что выражение 0n при целом отрицательном n и при n=0 не имеет смысла. При натуральном n выражение 0n имеет смысл, и его значение равно нулю.
Вернёмся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь вы знаете, что запись 1,674∙10-24 г, выражающая массу атома водорода, означает: 1,674∙10-24 г=1,674∙1/1024 г=1,674:1024 г= 0,00….01674г
24 нуля
-
Работа с учебником.
Решим следующие номера №903, 904,905.
-
Самостоятельная работа.
Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг астрономы древности?
Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они позволяют прочитать слово (зодиак).
Солнце и Луна, перемещаясь по небу, движутся среди одних и тех же звёзд. Эта полоса на небе, этот, так сказать, звездный пояс, охватывающий по кругу весь небесный свод, назвали зодиакальным поясом и разделили его на двенадцать частей, причем каждую часть назвали знаком зодиака. Обходя все звездное небо по кругу в течение года, Солнце оказывается то в одном, то в другом знаке зодиака. Когда Солнце входит в одни знаки зодиака, на земле настает лето; когда оно входит в другие знаки зодиака - наступает зима, и т.д. Каждый сезон года, всякое время земледельческих работ оказывается связанным с положением Солнца в поясе зодиака. Слово «зодиак» в переводе с древнегреческого на русский язык означает «пояс зверей». Происхождение этого названия таково. В соответствии с полевой работой, в соответствии с изменением времени года знаки зодиака получили названия, большинство которых, так сказать, звериные. Эти знаки зодиака называются так: Овен(ягненок), Телец(бык), Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог(подобие козла), Водолей, Рыбы. Знаки зодиака есть проявление древнейших астрономических знаний. Их изображения можно найти высеченными из камня на гробницах, памятниках и других сооружениях. Найдены изображения знаков зодиака, сделанные древнейшими народами – египтянами, индусами, китайцами и ацтеками. Многие из рисунков имеют давность в две-три тысячи лет.
Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Получите слово, которым называют участок неба в пределах некоторых границ (созвездие).
Звёзды в небе объединены в группы – созвездия. Вы любите смотреть на звёздное небо? Что вы там наблюдаете? (лучистость и мерцание)
Глядя на звёзды невооружённым глазом, мы видим их лучистыми. Причина лучистого вида звёзд кроется в нашем глазу, в недостаточной прозрачности хрусталика, имеющего не однородное строение, как хорошее стекло, а волокнистое. Существует способ освободиться от влияния этого недостатка нашего хрусталика и видеть звёзды без лучей, не обращаясь притом к услугам телескопа. Способ этот ещё 400 лет назад был указан Леонардо да Винчи. «Посмотри,- писал он,- на звёзды без лучей. Этого можно достигнуть, наблюдая их сквозь малое отверстие, сделанное концом тонкой иглы и помещённое вплотную к глазу. Ты увидишь звёзды столь малыми, что ничто другое не может казаться меньше».
Как и лучистость, мерцание не есть свойство, присущее самим звёздам; оно придаётся им земной атмосферой, через которую лучи звёзд должны пройти, прежде чем достигнуть глаза.
В каждом созвездии есть звёзды разной яркости, в том числе самая яркая звезда. До изобретения компаса звёзды были основными ориентирами: именно по ним древние мореходы и путешественники находили нужное направление. Астронавигация (ориентирование по звёздам) сохранила своё значение и в наш век спутников и атомной энергии. Она необходима для штурманов, капитанов, космонавтов и пилотов. Навигационными называют 25 ярчайших звёзд: Альтаир, Спика, Сириус, Арктур и т. д. Самая известная группа звёзд в северном полушарии – Большая Медведица. Созвездие Большой Медведицы может служить хорошим помощником для запоминания ярчайших звёзд Северного полушария. По ковшу Большой Медведицы легко определить северное направление: прямая дорога от двух крайних его звёзд приведёт вас к Полярной звезде. Полярная звезда и есть настоящая звезда – компас. Когда смотришь на неё, то перед тобой – Север, а сзади – Юг.
Названия созвездий (общим числом около восьмидесяти на всём небе) в большинстве своём перешли к нам от древних народов без изменений, и до сих пор в научных астрономических книгах упоминаются имена таких созвездий, как Большая и Малая Медведицы, Большой Пёс и Малый Пёс, Рысь, Гончие Псы, Лисица, Лебедь, Орёл, Кит, Ворон, Волк, Ящерица, Змея и др.
Часть созвездий получила название в соответствии с теми сказаниями о богах или героях (мифами), которые существовали у разных народов. Так появились созвездия «великого охотника Ориона», «силача и героя Геркулеса», «красавицы Андромеды» и другие.
-
Итог урока. Контрольные вопросы. 1) Дайте определение степени с целым отрицательным показателем. 2) На примерах поясните данное определение. 3) Представьте в виде дроби выражение 8х3 у-2 z0.
-
Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.
Урок по теме «Определение степени с целым отрицательным показателем».
Задание 1. Отгадайте ребусы.
Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд, дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству; запишите буквы в порядке номеров приведённых свойств.)
Автором древнего каталога был…
-
an=a∙a∙a∙a∙…∙a, n множителей;
-
an ∙am =an+m ;
-
an : am = an+m ;
-
(an )m = an∙m ;
-
(a∙ b)n = an ∙bn ;
-
a0=1;
-
1∙ a=a; Ответ:
Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил:
-2∙22 :42=
Что означает в ответе знак минус? Ответ:
Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг астрономы древности?
Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они позволяют прочитать слово.
-
10 ∙ 2-1 =
-
100 ∙ 5-2 =
-
8 ∙ 2-2 =
-
100 ∙ 10-1 =
-
10-2 =
-
10-1 =
Ответ:
Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Получите слово, которым называют участок неба в пределах некоторых границ.
-
4-2 =
-
(-3)-3 =
-
(-1)-9 =
-
(1/7)-2 =
-
(-2/3)-3 =
-
(1/2)-5 =
-
8 ∙ 4-3 =
-
18 ∙(-9)-1 =
-
10 ∙ (-1/5)-1 = Ответ:
Задание 6. Представьте в виде дроби выражение 8х
3у
-2z
0 =
Варианты ответов: а) 8x3/ y2z; б) 8x3z/ y2; в) 8x3/ y2.
Итог урока:
-
Определение степени с целым отрицательным показателем – если а ≠ 0 и n – целое отрицательное число, то аn =1/a-n .
-
Зодиак – круг, состоящий из 12 созвездий, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца;
-
Созвездие – участок неба в пределах некоторых границ;
-
Астронавигация – ориентирование по звёздам;
-
Астрометрист – учёный, определяющий и измеряющий координаты звёзд.
Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.
Таблица 1.
-
Р
Степень с нулевым показателем
|
Х
Свойство единицы
|
Г
Определение степени
|
П
Деление степеней с одинаковыми основаниями.
Возведение степени в степень
|
А
Возведение произведения в степень
|
И
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
|
Таблица 2.
-
50
|
5
|
24
|
4
|
0,2
|
2
|
10
|
1
|
0,01
|
0,1
|
Н
|
З
|
П
|
О
|
Г
|
Д
|
И
|
Р
|
А
|
К
|
Таблица 3.
-
В
|
Д
|
Е
|
З
|
И
|
З
|
О
|
Е
|
С
|
49
|
1/8
|
-27/8
|
-1
|
-2
|
32
|
-1/27
|
-50
|
1/16
|
Космическая сказка( фрагмент).
Окрашен космос в чёрный цвет.
Поскольку атмосферы нет.
Ни ночи нет, ни дня.
Здесь нет земной голубизны.
Здесь виды странны и чудны:
И звёзды сразу все видны,
И Солнце и Луна.
На севере звезда видна,
И называется она
Полярною звездой.
Она надёжный друг людей,
И две Медведицы при ней
Среди космических огней
Всё ходят чередой.
Невдалеке притих Дракон.
Косится на Медведиц он.
Жуёт концы усов.
И долго наблюдал Орёл,
Как тощий Волк куда-то брёл
И стороною обошёл
Созвездье Гончих псов.
Легенда о созвездиях.
Большая Медведица. Юпитер влюбился в нимфу Калисто, но из-за гнева богини Дианы ему пришлось превратить её в Большую Медведицу, а её любимую собаку – в Малую Медведицу. У Калисто был сын Аркад, который вырос и стал страстным охотником. Во время охоты, встретив медведицу и не узнав в ней мать, он чуть не убил её. Появившийся вовремя Юпитер перенёс их обоих на небо в виде созвездий Большой Медведицы и Волопаса. Рядом с ним его собаки – созвездие Гончих псов.