КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

“УТВЕРЖДАЮ”

Проректор по учебной работе

___________________проф. Н.К.Замов

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Теория оптимального управления

Цикл ДС.09

Специальность:__ 01.02.00____ –_Прикладная математика_и информатика

^{(Номер специальности) (Название специальности)}

Принята на заседании кафедры Экономической кибернетики

^{название кафедры}

(протокол №___ от ”__”____________2003г.)

Заведующий кафедрой

_____________________ (Е.А. Князев)

Утверждена Учебно-методической комиссией ____ВМК______ факультета КГУ

^{название факультета}

(протокол №___ от ”__”____________2003г.)

Председатель комиссии

_____________________ (И.С. Григорьева)

Рабочая программа дисциплины «Теория оптимального управления»

Предназначена для студентов __4__ курса,

по специальности__01.02.00__Прикладная математика и информатика

по специализации 01.02.12 Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности

АВТОР: Санков В.П.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Курс посвящен изучению современной теории оптимального управления, основанной на принципе максимума Понтрягина.

1. 
   Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины Теория оптимального управления.
   

Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:

• 
  понимать специфику задач оптимального управления как раздела теории экстремальных задач
  
• 
  обладать теоретическими знаниями теории оптимального управления
  
• 
  ориентироваться в различных постановках задач оптимального управления.
  
• 
  приобрести навыки решения простейших задач оптимального управления.
  

2. 
   Объем дисциплины и виды учебной работы - 72 часа.
   

Форма обучения ______очная__________

Количество семестров__1____

Форма контроля: ___экзамен___

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов
		1 семестр	2 семестр
1.	Всего часов по дисциплине	116
2.	Самостоятельная работа	44
3.	Аудиторных занятий	72
	в том числе лекций	72
	Семинарских (или лабораторно- Практических)

3. 
   Содержание дисциплины
   

3.1. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс	Наименование дисциплины и ее основные разделы	Всего часов
­­­­­­––––	–––––	—

3.2 Содержание дисциплины “Теория оптимального управления”

Индекс	Наименование дисциплины и ее основные разделы	Всего часов
	Задача оптимального управления	32
	Линейные оптимальные быстродействия	16
	Другие постановки задач оптимального управления	24

№ п/п	Название темы и ее содержание	Количество часов
		лекции	Семинарские (лаб.-практ.) занятия
1.	Задача оптимального управления (введение). Проблема управления. Понятие управляемого объекта. Дискретные и непрерывные процессы. Фазовые координаты и управляющие параметры. Общая задача оптимального управления. Фазовое пространство, фазовая траектория. Расширенное фазовое пространство. Управление. Оптимальная траектория. Предельные поверхности и поверхности равных оптимальных значений. Их свойства. Принцип оптимальности динамического программирования. Основное функциональное уравнение для дискретного процесса. Решение задач оптимального управления методом динамического программирования. Управляемые объекты, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача оптимального управления этими объектами. Задача оптимального быстродействия. Метод динамического программирования для задачи оптимального быстродействия. Уравнение Беллмана. Вывод принципа максимума для задачи оптимального быстродействия. Примеры. Дифференцируемость функции Беллмана. Проблема синтеза оптимальных управлений	2 час. 6 час. 8 час. 3 час. 3 час. 9 час. 1 час.
2.	Линейные оптимальные быстродействия. Постановка линейной задачи оптимального управления. Формулировка принципа максимума. Сферы достижимости, их свойства. Доказательство принципа максимума. Условие общности положения. Принцип максимума, как достаточное условие оптимальности. Этапы решения линейной задачи оптимального быстродействия. Теоремы о числе переключений. Теоремы существования и единственности.	4 час. 2 час. 3 час. 2 час. 3 час. 2 час.
3.	Другие постановки задач оптимального управления. Задачи с подвижными концами. Условие трансверсальности. Формулировка принципа максимума. Общий принцип максимума. Принцип максимума для неавтономных систем. Оптимальные процессы с параметрами. Изопериметрическая задача. Задача с закрепленным временем. Задачи оптимального управления в экономике Задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами.	4 час. 2 час. 2 час. 4 час. 6 час. 6 час.
	Итого часов:	72 час.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕТАТУРА

1. 
   В.Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. М., 1969.
   
2. 
   Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М., 1968.
   
3. 
   С.А. Ашманов. Математические модели и методы в экономике. МГУ. 1980.
   
4. 
   А.Г. Бутковский. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М., 1965.
   
5. 
   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М., 1967.
   

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1984.
   
2. 
   Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960
   
3. 
   В.Г. Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами. М., 1973.
   
4. 
   В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Оптимальное управление. М., 1979.
   

Приложение

к программе дисциплины

_ "Теория оптимального управления"_

БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ

Билет 1

1. 
   Математическая модель управляемого объекта.
   
2. 
   Теорема о конечности числа переключений
   

Билет 2

1. 
   Дискретные и непрерывные процессы.
   
2. 
   Условие трансверсальности. Задача оптимального быстродействия с подвижными концами.
   

Билет 3

1. 
   Постановка задачи оптимального управления.
   
2. 
   Принцип максимума – необходимое и достаточное условие оптимальности. Теорема (доказать достаточность).
   

Билет 4

1. 
   Задача оптимального управления в расширенном фазовом пространстве.
   
2. 
   Сферы достижимости. Лемма о выпуклости сфер достижимости.
   

Билет 5

1. 
   Предельные поверхности и поверхности равных оптимальных значений функционала (без свойств).
   
2. 
   Теорема Фельдбаума.
   

Билет 6

1. 
   Лемма об оптимальной траектории, проходящей через точку (С, Х₁) в Еⁿ⁺¹ (свойство предельных поверхностей).
   
2. 
   Теорема существования для задачи линейного быстродействия (без доказательства). Теорема о совпадении области управляемости со всем фазовом пространством.
   

Билет 7

1. 
   Принцип оптимальности динамического программирования.
   
2. 
   Принцип максимума для задачи линейного быстродействия (теорема).
   

Билет 8

1. 
   Метод динамического программирования. Основное функциональное уравнение для дискретного процесса.
   
2. 
   Сферы достижимости. Лемма о времени перехода из точки, принадлежащей сфере достижимости.
   

Билет 9

1. 
   Решение задачи оптимального управления методом динамического программирования.
   
2. 
   Сферы достижимости. Лемма о времени перехода из внутренних точек сферы достижимости.
   

Билет 10

1. 
   Лемма о точке пересечения любой траектории с прямой П.
   
2. 
   Применение метода динамического программирования для бесконечношагового процесса.
   

Билет 11

1. 
   Управляемые объекты, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача оптимального управления ими.
   
2. 
   Основная лемма. Следствие.
   

Билет 12

1. 
   Метод динамического программирования для задачи оптимального быстродействия (теорема).
   
2. 
   Этапы решения линейной задачи оптимального управления.
   

Билет 13

1. 
   Уравнение Беллмана.
   
2. 
   Принцип максимума для неавтономных систем.
   

Билет 14

1. 
   Вывод принципа максимума для задачи оптимального быстродействия.
   
2. 
   Постановка линейной задачи оптимального управления.
   

Билет 15

1. 
   Решение задачи с помощью принципа максимума (без доказательства оптимальности траекторий).
   
2. 
   Общий принцип максимума.
   

Билет 16

1. 
   Доказательство оптимальности семейства фазовых траекторий, полученных с помощью принципа максимума.
   
2. 
   Изопериметрическая задача.
   

Билет 17

1. 
   Дифференцируемость функции Беллмана.
   
2. 
   Принцип максимума для линейной задачи оптимального управления (формулировка).
   

Билет 18

1. 
   Синтез оптимальных управлений.
   
2. 
   Теорема единственности для задачи линейного оптимального быстродействия.
   

Билет 19

1. 
   Принцип максимума для расширенного фазового пространства.
   
2. 
   Задача с закрепленным временем.
   

Билет 20

1. 
   Лемма об оптимальной траектории, имеющей одну точку на предельной поверхности.
   
2. 
   Оптимальные процессы с параметрами.
   

Билет 21

1. 
   Основное свойство предельных поверхностей (теорема).
   
2. 
   Лемма о принадлежности вектора собственному инвариантному подпространству относительно преобразования А.
   

Билет 22

1. 
   Предельные поверхности и поверхности равных оптимальных значений функционала (без свойств).
   
2. 
   Оптимальное управление системами с распределенными параметрами.
   

Билет 23

1. 
   Лемма о вырожденной линейной задаче оптимального управления.
   
2. 
   Дифференциальные игры. Постановка задачи.