Първи тур на дистанционния етап на
V олимпиада на Леонард Ойлер
Задачи 1 – 3 и 5 от този тур са били предложени на олимпиадата на ЮМШ г. Санкт-Петербург през 2012 г. В този тур не могат да участват участниците в тази олимпиада.
1. На всеки свой рожден ден Дядо Фьодор получава подарък от неговите родители – парична сума, равна на произведението от възрастта (годините) на бащата и възрастта (годините) на майката. Може ли да се получи така, че в 2010 и 2011 години получените от него суми да завършват на една и съща цифра, а сумата, получена в 2012 г. да се дели на 10?
2. Маша се упражнява, пребоядисвайки полетата на шахматна дъска (т.е., сменяйки техния цвят). С едно „пребоядисване” тя може да смени цвета на всяка клетка в произволен правоъгълник, съдържащ „ъгъл” от дъската. Може ли с такива „пребоядисвания”, Маша да оцвети цялата дъска в един цвят?
3. В триъгълникa
ABC AB =
BC. Върху лъчите
CA,
AB и
BC са отбелязани съответно точките
D,
E и
F така, че
AD =
AC,
BE =
BA,
CF =
CB.
Намерете сумата на ъглите ADB, BEC и CFA.
4. Положителните числа
x и
y са такива, че
x2 >
x+
y, а
x4 >
x3+
y.
Докажете, че x3 > x2+y.
5. 40 деца са наредени в кръг. Едно дете ще наричаме „голямо”, ако то е по-високо от двете, стоящи след него по посока на движението на часовниковата стрелка деца, и „малко”, ако то е по-ниско от двете, стоящи пред него по посока на часовниковата стрелка деца. (Едно дете може да бъде и „малко”, и „голямо” едновременно.) Известно е, че „големите” деца са не по-малко от 30.
Докажете, че „малките” деца са не по-малко от 20.
Преди да отправите работата си, прочетете отново правилата за нейното оформяне и изпращане, и действайте в строго съответствие с тях! Работи, изпълнени или изпратени в нарушение на правилата, не се разглеждат.
ОБЪРНЕТЕ ВНИМАНИЕ: работи, изпълнени в текстов редактор Word for Windows се разрешава да бъдат изпратени само във формат Word for Windows 1997-2003 (расширение .doc)! Файлове, съхранени във формати на по-късни версии на Word (с расширение .docx) не се разглеждат! В Word for Windows 2007 и Word for Windows 2010 има възможност файловете да се запазят във формат Word for Windows 1997-2003, което и трябва да се направи.