О. Л. Швед
Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, Минск, Беларусь
В рамках модели геометрически нелинейной упругопластической среды в [1] предложено условие макроразрушения металла при одноосном мягком растяжении, которое заключается в вырождении девиаторного сечения поверхности текучести, содержащего точку процесса в пространстве напряжений. Это условие разрушения можно обосновать возможностью численного описания на его основе явления увеличения пластичности металла при данном эксперименте в условиях всестороннего сжатия.
Для решения рассматриваемой задачи потребуется усложнить модель материала и включить не учитываемые ранее анизотропные структуры третьей степени в выражении удельной потенциальной энергии упругой деформации, поскольку изотропные структуры третьей степени используются в изотропном законе Мурнагана. Соответственно появятся новые слагаемые в выражениях тензора напряжений Коши, функционала вариационного принципа и оператора, определяющего девиатор внешней нормали к поверхности текучести. Аналогично [1] выполним численное моделирование одноосного мягкого растяжения алюминиевого образца вплоть до момента его разрушения. Затем создадим условия всестороннего сжатия. Для этого вычисленную величину тензора напряжений Коши (точку процесса в пространстве напряжений) разложим на шаровую и девиаторную части: 
, где 
– единичный тензор. Гидростатическое давление 
уменьшим на величину в 
раз большую его значения. Точка процесса определится теперь значением тензора 
. Продолжив численное моделирование эксперимента, убедимся, что девиаторное сечение снова существует и может быть построено с учетом величины эффекта Баушингера.
Аддитивный вклад анизотропных структур третьего степени в потенциал упругих напряжений представим в виде двух слагаемых 
:
(1)
Второе слагаемое 
в силу громоздкости его выражения здесь не приводим. В (1) обозначены 
– исходный неподвижный ортонормированный триэдр, 
– мера упругих деформаций Коши–Грина, 
– параметры анизотропии, из них параметров третьей степени всего будет 57, а второй степени – 21.
Считаем, что растяжение происходит по оси 
. Тогда ненулевыми могут быть только параметры с номерами 
, причем выполняются равенства
. (2)
Справедливость этого утверждения следует из того, что первоначально изотропный материал при одноосном нагружении становится трансверсально-изотропным. Следовательно, дополнительный вклад в потенциал напряжений дает только скаляр 
. Из (2) вытекает, что независимых параметров анизотропии третьей степени будет 4: 
, 
, 
, 
.
Численное моделирование дальше выполняется аналогично [1]. Остановимся подробнее на сложном вопросе об определяющем соотношении в скоростях при течении для параметров анизотропии
, (3)
по которому вычисляются параметры
, 
, 
и , , , . Остальные параметры находятся по (2) и подобным соотношениям в [1]. Тензоры 
в (3) образуют дополнительные слагаемые, соответствующие параметрам анизотропии второй и третьей степени, 
в выражении тензора напряжений Коши. Если выполняется условие 
, смысл которого состоит в том, что девиатор тензора остаточных напряжений должен перемещаться по направлению внешней нормали 
рассматриваемого девиаторного сечения поверхности текучести, то полагаем 
. В противном случае для достижения условия изменим знак у минимального числа коэффициентов 
, причем если 
и выполняется 
,
, то полагаем также 
. При растяжении, таким образом, надо взять 
, а остальные 
. При последующем растяжении в условиях всестороннего сжатия при 
оказываются все , а при 
будут все , кроме 
. При повторном растяжении после снятия условия всестороннего сжатия выбор производится так же, как и в случае первоначального растяжения.
Скаляр 
полагаем постоянной величиной, а функционал 
задаем до момента разрушения аналогично [1]: 
, если 
, и 
(
), если 
, где 
, 
– номер текущей ступени, 
их общее число. Начиная с момента разрушения при растяжении, задаем монотонно возрастающим и стремящимся к 1: 
, 
– номер шага по времени
, 
– общее число шагов.
Рис. 1. Кривые пластичности
На рис. 1 изображены расчетные кривые пластичности, отмеченные цифрами, которые означают: 1 – последняя кривая перед разрушением при растяжении; 4 – кривая перед разрушением при растяжении, когда будут созданы условия всестороннего сжатия (промежуточное состояние); 2, 3 – кривые при растяжении в условиях всестороннего сжатия (
); 5, 6 – кривые при растяжении в условиях всестороннего сжатия (); 7 – кривая, полученная из кривой 6 при повторном растяжении, когда сняты условия всестороннего сжатия. Отметим следующие факты. Кривые 2, 3 практически совпадают ввиду малых изменений в это время параметров анизотропии, искажения кривой 3 сдерживаются наличием условий всестороннего сжатия. Кривые 5, 6 демонстрируют, вероятно, явление «залечивания микро поврежденностей материала», поскольку допускают повторное растяжение без условий всестороннего сжатия (кривая 7). При наложении условий всестороннего сжатия растяжение проведено для значений и с увеличением деформации на 57% от ее величины в промежуточном состоянии. Повторное растяжение для кривой 7 выполнено при относительном возрастании деформации на 28%.
Выводы. Предложенное условие макроразрушения металла позволяет на основе понятия поверхности текучести, по крайней мере, качественно описать важное экспериментальное явление увеличение пластичности материала в условиях всестороннего сжатия. На результаты численного моделирования повлиял ряд факторов, связанных с выбором значений параметров Ляме, величины эффекта Баушингера, постоянной
в соотношении 
[1], зависимостей для до и после момента разрушения при растяжении. Расчеты проводились с использованием разработанных комплексов программ на языке Фортран.
Литература
1. Швед О.Л. Об условии разрушения металла при пластической деформации // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй международной конференции. Казань, 8 - 11 декабря 2009 г. / науч. ред. С.А. Кузнецов – Казань: Казан. гос. ун-т, 2009. – С. 417–420.