Перейти на главную страницу
Кафедра математики и методики ее преподавания
студента __ курса
ф-та ________
Сидорова Ивана
Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты. Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах которых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории — вероятность события и математическое ожидание.
Важнейший этап теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли. Им было дано доказательство частного случая закона больших чисел, так называемой теоремы Бернулли. С того времени теория вероятностей оформляется как математическая наука.
Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова.
В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной.
На наш взгляд, заслуживает внимания методика обучения учащихся теории вероятностей, которая основывается на понятии логико-методической модели “эксперимент”.
Почему же реально преподавать в начальной школе элементы теории вероятностей?
Она требует весьма немногого от технически формализованной математики: если овладеть действиями с дробями, можно уже весьма далеко продвинуться. Зачатки алгебры позволяют сформулировать теоретико-вероятностные принципы в общем виде. Теорию вероятностей можно применять также непосредственно как и элементарную арифметику, т. е. с помощью моделей, которые каждый может понять сразу.
Правильное понимание теории вероятностей является прекрасной возможностью показать школьникам процесс математизации — и это практически единственная возможность после элементарной арифметики, вслед за которой плохо усвоенная дедуктивность делает непонятными другие ветви математики.
Известны многие прекрасные опыты введения теории вероятностей уже на ранних стадиях обучения. Мы поддерживаем идею А. Энгеля пронизывать элементами теории вероятностей изучение дробей в младших классах, считая такое приближение к реальной действительности полезным. В подходе А. Энгеля удается добиться непрерывности изучения теории вероятностей. Мы полагаем, что школьник, занимавшийся ею в достаточно раннем возрасте, легче перенесет абстрактную, далекую от реальной действительности “математизацию” в старших классах. Точно также ему пойдет на пользу изучение теории вероятностей в старших классах, если уже в младших были введены некоторые элементы предмета на описательном уровне.
Учитывая требования к современному обучению и возможности 6—10 летних детей, школьная программа предусматривает сформировать у учащихся элементы математических понятий и логической структуры мышления. Это требуется от учителя, но, к сожалению, многие из них игнорируют программу. Но даже если учитель программу не игнорирует, то он до конца не понимает как преподавать элементы раздела математики, который называется математическая логика, как включать в систему обучения элементы теории вероятностей и статистики. К сожалению, мало методических пособий для учителей начальной школы, которые помогли бы справиться с такими заданиями, сделали бы обучающий процесс интересным и доступным.
В связи с выдвинутой гипотезой определены цель и задачи исследования.
ü показать доступность изучения элементов теории вероятностей и статистики в начальной школе;
ü показать роль задач и экспериментов в усвоении элементарных знаний о теории вероятностей и статистики;
Методологической и теоретической основой являются работы отечественных и зарубежных философов, педагогов, психологов, математиков.
Во время исследования использованы методы:
— изучение и анализ литературы по психологии, педагогике, логике, математике, учебников по математике для начальной школы под ред. А. А. Столяра;
— анализ действующей программы обучения математике в начальных классах;
— беседа;
— рассказ;
— педагогическое наблюдение за деятельностью учащихся;
— анализ письменных ответов учеников.
1) В первой главе мы предлагаем минимальный теоретический материал, которым должен владеть учитель начальных классов. Здесь мало методических указаний. Но даже из приводимых определений, примеров видно, что материал доступен учащимся III—IV классов, а некоторые из заданий — и более младшим школьникам.
2) Методика работы с элементами теории вероятностей рассматривается во второй главе; там же мы вернемся к ряду положений из главы I.
3) Нумерация задач, примеров — сквозная.
Глава I. Общее представление о теории вероятностей
Вероятность — характеристика степени появления некоторого события при тех или иных определенных условиях.
Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа благоприятствующих случаев ко всем возможным. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Так, если мы берем идеально изготовленную шестигранную игральную кость, то у нас нет оснований считать, что она на какую-то из граней будет выпадать чаще, чем на другую; более того, есть все основания для того, чтобы считать равновероятным выпадение ее на каждую из граней. Поэтому при бросании такой кости выпадение каждой из них можно ожидать с вероятностью, равной 1/6. В классической теории вероятностей мы имеем дело со случаями, когда вычисленная чисто теоретически вероятность того или иного события подтверждается в процессе опытной проверки. Такая ситуация, основывающаяся на симметричности исходов опыта, сравнительно редко встречается при исследовании реальных событий в науке и практике. Теория частотной, или статистической, вероятности, у истоков которой стояли Р. Мизес1 и Г. Рейхенбах2, преодолевает указанную ограниченность классической теории.
Ключевым в частотной теории является понятие относительной частоты. Это отношение числа появлений изучаемого события в серии испытаний в данных условиях к числу всех испытаний, в которых это событие могло бы появиться при тех же условиях. Частотная теория позволяет по результатам относительной частоты изучаемых массовых случайных событий судить об их вероятности. Применение математики к изучению событий такого характера опирается на то, что во многих случаях при многократном повторении испытаний в примерно равных условиях частота появления результата остается примерно одинаковой. Результат же представляет собой отношение числа опытов, в которых он имел место, к общему числу производимых опытов. Так частота попадания в цель для данного стрелка в одних и тех же условиях при значительном числе испытаний остается почти одной и той же. Процент бракованных изделий в данном ряду испытаний в одном и том же производстве при одинаковых условиях примерно один и тот же.
В последнее время разрабатывается логическая (индуктивная) теория вероятности, в которой изучается отношение между посылками и заключением в правдоподобных умозаключениях. Логическая вероятность характеризует разумную степень веры в появление некоторого события в условиях некоторой неопределенности. Логическая вероятность используется в вероятностной и индуктивной логике [4].
“Математика случая” — так еще в XVII в. назвал теорию вероятностей один из ее основателей, французский ученый Блез Паскаль3.
— Случай? А зачем его изучать? — спросите вы.
Оказывается, еще в древности люди заметили, что случайное событие — вовсе не исключение в жизни, а правило. Это явилось объективной предпосылкой для возникновения науки о случайных явлениях. Знать законы случая необходимо. Вот пример.
Во всех крупных населенных пунктах имеются станции скорой медицинской помощи. Нет возможности заранее предсказать моменты, когда потребуется оказать помощь внезапно заболевшим людям. Как много в течение заданного времени будет вызовов к таким больным? Как долго придется врачу задержаться у больного? Сколько врачей и машин необходимо иметь во время дежурства, чтобы, с одной стороны, больные не слишком долго ожидали помощи, а с другой — не наблюдалось бы слишком непродуктивного использования врачебного персонала? Мы сталкиваемся с типичной ситуацией, в которой случайными являются моменты вызовов, длительность пребывания врача у больного, длительность проезда машины от пункта “Скорой помощи” до дома больного… (Гнеденко)
Как видим, неотложная помощь зависит от многих случайных событий. И чтобы помощь была действительно неотложной, надо уметь учитывать все эти случайности.
Можно привести и более обыденные, более примитивные, если угодно, примеры. Под потолком висит лампочка — вы не знаете, когда она перегорит. Будет ли завтра снег, никому наверняка неизвестно, даже бюро погоды ошибается. Учитель не знает, сколько ошибок сделает школьник в диктанте.
Теория вероятностей — математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений, с ее помощью вычисляют вероятности наступления определенных событий [5]. Рассмотрим решения нескольких простых задач этой сложной науки.
I. 1. Как поймать случай?
Возьмите 7 одинаковых шариков от настольного тенниса. На каждом напишите номер — 1, 2, … , 7. Три из них (1, 2, 3) пометьте чернилами — это будут “черные шары”, а остальные — “белые”. Теперь возьмите мешочек или ящичек — это будет ваша “урна” — и положите в нее шары.
Начинаем опыты.
Шарики надо перемешать и вытащить один. Запишите, какого он цвета, и положите шарик обратно. Это первый опыт. Так можно делать много раз подряд. За полчаса можно провести более ста опытов.
Мы хотим предсказать, сколько раз из 100 будет вынут черный шар. Какова его доля во всех опытах? Естественно, каждый раз результат зависит от случая — может попасться черный шар, а может и белый. Но при большом числе опытов примерную долю черных шаров можно предсказать!
Каждый раз вы вынимали из урны либо первый шар, либо второй, … , либо седьмой — всего семь возможных исходов каждого опыта. Шары тщательно перемешаны, на ощупь различить их нельзя, у всех одинаковые шансы быть вынутыми. Математики говорят: все семь исходов равновозможны.
Теперь понятно, что каждый шар может появиться в /7 части всех опытов, и чем больше раз вы вынимаете шары, тем ближе к 11/7 доля любого из семи исходов. Конечно теоретически можно допустить, что все сто раз вы вынимаете, например, первый шар. Но это совершенно исключительный случай, но мы говорим сейчас о средних результатах.
Что же можно сказать о черном цвете? Он может в каждом опыте появиться одним из трех способов, в трех исходах из семи (ведь у нас три черных шара). Эти исходы называются благоприятными для появления черного шара. Итак, всех опытов — 7, благоприятных исходов — 3, следовательно, в среднем в 3/7 всех опытов вынут черный шар. И чем больше опытов, тем ближе его доля к 3/7. Это и есть вероятность появления черного шара.
Этот пример иллюстрирует формулу классической теории вероятностей:
|
Число благоприятных исходов |
|
Число всех равновозможных исходов |
I. 2. Классификация событий
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом же опыте. Так, при подбрасывании двух монет события A — “герб на верхней стороне первой монеты” и B — “цифра на верхней стороне второй монеты являются совместными.
Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием или шансом). Например, события A1, A2, A3, A4, A5, A6 — элементарные исходы при подбрасывании кубика.
(1, 1) |
(2,1) |
(3, 1) |
(4, 1) |
(5, 1) |
(6, 1) |
(1, 2) |
(2,2) |
(3, 2) |
(4, 2) |
(5, 2) |
(6, 2) |
(1, 3) |
(2,3) |
(3, 3) |
(4, 3) |
(5, 3) |
(6, 3) |
(1, 4) |
(2,4) |
(3, 4) |
(4, 4) |
(5, 4) |
(6, 4) |
(1, 5) |
(2,5) |
(3, 5) |
(4, 5) |
(5, 5) |
(6, 5) |
(1, 6) |
(2,6) |
(3, 6) |
(4, 6) |
(5, 6) |
(6, 6) |
Кстати говоря, можно предложить учащимся и другое задание: подсчитать, сколько элементарных исходов благоприятствует событиям “сумма очков на кубиках равна 2”, “сумма очков на кубиках равна 3” и т. д., и эти результаты отметить на координатной плоскости, с которой учащиеся начальных классов знакомы.
I. 3. Классическое определение вероятности
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P(A) (здесь P — первая буква французского слова probabilite — вероятность):
,
где m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.
Пример 5. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?
Решение. Событие “извлеченный шар оказался голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем
.
Пример 6. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?
Решение. Обозначим через A событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,
.
Пример 7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:
,
где A — событие “число с одинаковыми цифрами”.
Итак, , т. е. получить в сумме 7 очков — более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков [14, 98].
а) ; б)
; в)
.
|
1(ч) |
2(ч) |
3(ч) |
4(б) |
5(б) |
6(б) |
7(б) |
1(ч) |
чч |
чч |
чч |
чб |
чб |
чб |
чб |
2(ч) |
чч |
чч |
чч |
чб |
чб |
чб |
чб |
3(ч) |
чч |
чч |
чч |
чб |
чб |
чб |
чб |
4(б) |
бч |
бч |
бч |
бб |
бб |
бб |
бб |
5(б) |
бч |
бч |
бч |
бб |
бб |
бб |
бб |
6(б) |
бч |
бч |
бч |
бб |
бб |
бб |
бб |
7(б) |
бч |
бч |
бч |
бб |
бб |
бб |
бб |
Нетрудно подсчитать, что равновозможных исходов 49. Вероятность появления двух черных шаров равна , двух белых —
, шаров разных цветов —
.
I. 4. О смысле формулы вероятности события
Мы вывели эту формулу с помощью некоторых утверждений. Можно ли утверждать, что мы ее доказали, как доказывают теоремы? Нет, конечно. Мы построили модель реального явления (вынимание шаров из урны). Модель подтверждается фактами и экспериментами. А с математической точки зрения формула есть определение вероятности. И эта формула связывает модель с реальным миром.
Задача 4. Брошены независимо друг от друга две правильные игральные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях: а) меньше 9; б) больше 7; в) делится на 3; г) четна.
Обсуждение. При бросании двух костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 66 = 36 пар, в которых каждый элемент — целое число от 1 до 6. Составим таблицу (табл. 3), в которой слева число очков на первой кости, вверху — на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма.
Табл.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Непосредственный подсчет показывает: вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна ; что эта сумма больше 7 —
; что она делится на 3:
; наконец, что она четна,
.
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Всего имеется 9 равновозможных исходов, соответствующих девяти элементам таблицы. Общее число показанных пальцев четно в 5 исходах, нечетно — в 4, больше четырех — в 3 исходах, меньше двух — ни в одном. Вероятности равны соответственно ,
,
,
.
Обсуждение. Прежде всего надо ввести равновозможные исходы. Противники равносильны — это значит, что из большого числа партий примерно половина кончается победой первого, а половина — второго. Мы считаем, кроме того, что результаты нескольких партий не влияют на результаты остальных. Это соглашение дает нам возможность установить, что, скажем, в матче из четырех партий все 2222 = 16 возможных последовательностей побед и поражений имеют одинаковую вероятность.
Рассмотрим в качестве примера большое число матчей из двух партий. Из n матчей примерно в n/2 в первой партии победит первый игрок. Поскольку результат первой партии не влияет на результат второй, то примерно в половине тех матчей, где первый игрок победил в первой партии, он проиграет во второй, всего примерно в n/21/2 = n/4 матчах. Аналогично события “победил в обоих партиях первый игрок”, “победил в первой партии второй игрок, а во второй — первый”, “в обоих партиях победил второй игрок” будут иметь место примерно в n/4 матчах, т. е. вероятности всех этих событий равны 1/4.
В дальнейшем в задачах мы будем сталкиваться со случаями, когда несколько опытов проводятся независимо друг от друга. Как в предыдущем образце, можно показать, что вероятность события “исход первого опыта есть A, а второго — B” равно произведению вероятностей событий “исход первого опыта есть A” и “исход второго опыта есть B”.
Вернемся к задаче. В матче из четырех партий имеется 16 равновероятных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. Событию “первый игрок победил в 3 партиях” благоприятны 4 исхода, поскольку единственное поражение может стоять на одном из четырех мест. Значит, вероятность выиграть 3 партии из 4-х у равносильного противника равна 1/4.
В матче из 8 партий имеется 28 = 256 равновозможных исходов — последовательностей побед и поражений первого игрока. В скольких из них ровно 5 побед? Другими словами, сколько существует подмножеств из 5 элементов в множестве из 8 элементов? Комбинаторика подсказывает нам, что это есть число сочетаний из 8 элементов по 5 элементов, которое подсчитывается по формуле: . Таким образом,
.
Значит вероятность выиграть 5 партий из 8 у равносильного противника равна 56/256 = 7/32, что меньше 1/4 = 8/32 — вероятности выиграть три партии из четырех.
Найдем вероятности того, что сумма очков на верхних гранях равна 11, и того, что эта сумма равна 12. При бросании трех кубиков имеется 666 = 216 равновозможных исходов. Событие “сумма очков равна 11” может осуществиться одним из шести способов: “выпали числа 1, 4, 6”, “выпали числа 1, 5, 5” и т. д. Посчитаем, сколько для каждого из этих способов имеется благоприятных исходов. Событию “выпали 1, 4, 6” соответствуют 6 исходов, которые можно записать так: 146 (на первом кубике на верхней грани 1, на втором — 4, на третьем — 6), 164, 416, 461, 614, 641. Точно так же 6 исходов благоприятны для любого способа представления суммы в виде трех различных слагаемых. Событию “выпали 1, 5, 5” соответствует три исхода: 155, 551, 515. Всего для события “сумма очков равна 11” благоприятны 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27 исходов. А событию “сумма очков равна 12” благоприятны 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 исходов, поскольку представлению 4 + 4 + 4 соответствует только один исход — 444. Итак, вероятность того, что сумма очков равна 11, есть /216 = 271/8, а вероятность того, что эта сумма равна 12, есть 25/216 = 1/8 - 1/108 < 1/8. Решение этой задачи показывает, как важно правильно выделить равновозможные исходы.
Глава II. Элементы теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (методика работы)
Первый шаг на пути ознакомления младших школьников с миром вероятности состоит в длительном экспериментировании. Эксперимент повторяют много раз при одних и тех же условиях, а детям предлагают указать результат. Потом условия эксперимента изменяют.
Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве младших школьников с основными понятиями теории вероятностей [2, 56; 14, 98].
— Вы, конечно, знаете, что Буратино очень любит кукольные спектакли, но у него часто не бывает денег, чтобы попасть в театр. Однажды продавец билетов согласился дать Буратино билет, если он верно ответит на вопрос: “В мешке имеется 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?” Помогите Буратино дать правильный ответ.
Дети будут предлагать разные значения, но им необходимо обосновать свой выбор, проводя эксперименты. В результате они должны прийти к следующим выводам:
— если вынуть 7, 8, 9 шаров, наверняка будут шары трех цветов;
— если вынуть 3, 4, 5 или 6 шаров, то возможно, но не обязательно будут шары трех цветов;
— если вынуть 1 или 2 шара, то невозможно получить шары трех цветов.
Целесообразно исследовать, в каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов — если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров. Можно ввести и термины более вероятно, менее вероятно.
2. Опыты с пятью монетами. С помощью этих экспериментов можно научить ребенка навыку выводить закономерности при проведении опытов.
Оборудование: 5 одинаковых монет.
Описание эксперимента. Учитель рассказывает детям следующую историю:
— Когда Буратино получил от Карабаса-Барабаса 5 золотых монет, он подбросил каждую монету, чтобы удостовериться, не сон ли это, и не исчезнут ли золотые. Буратино видел, что каждая монета ложилась одним из возможных способов: цифрой вверх или гербом вверх. Потом он подбросил все 5 монет сразу и подсчитал, что 2 монеты легли цифрой вверх, а 3 гербом. Буратино задумался: какие случаи еще могут получиться? Давайте поможем Буратино.
|
При бросании |
Количество экспериментов | ||||||||||
№ |
пяти монет |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 | ||||||
исх |
выпало: |
Сколько раз данный исход | ||||||||||
|
цифрой |
гербом |
предпол |
реализ |
предпол |
реализ |
предпол |
реализ |
предпол |
реализ |
предпол |
реализ |
1 |
5 : 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
2 |
4 : 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
3 |
3 : 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
4 |
2 : 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
5 |
1 : 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
6 |
0 : 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно сказать, что каждый из данных случаев называют событием, и выяснить, какое событие более возможно, менее возможно, есть ли среди данных событий равновозможные. После проведения эксперимента 20 раз и занесения данных в таблицу, следует ожидать более точного совпадения предполагаемого и экспериментально полученного чисел появления каждого из случаев в серии из 40 экспериментов и т. д.
Обнаруживается, что может быть 3 случая:
Нарисуем большой прямоугольник, 1411 клеток. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Дети ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.
Очень скоро дети догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14 не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда дети решают, что в следующей партии эти числа надо выбросить. Можно сыграть несколько партий. Дети хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив детей ответить на вопрос, сколькими способами можно получить 2, 3, 4,..., 12 очков при бросании двух игральных костей.
5. Игра “Сколько окажется на своем месте?” Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести детей к понятию относительной частоты.
Надо вырезать из картона 5 одинаковых карточек, написав на них цифры от 1 до 5, затем перетасовать их и выложить на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:
При этом только одна цифра — 5 — соответствует номеру места, на котором она лежит.
Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые дети должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов. Такими вопросами могут быть:
1) Как вы думаете, насколько редким является исход
2) Будет ли еще более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте?
3) Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте?
4) Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?
Эксперименты можно вести в следующем направлении: провести опыты 10 раз; результаты занести в таблицу и вычислить значение относительной частоты по каждому вопросу при n = 10.
|
Вопрос |
Кол-во раз |
Относительная частота | |||
|
|
из 10 |
из 20 |
из... |
из 100 |
|
1 |
Сколько раз был исход 3,1,4,2,5? |
|
|
|
|
|
2 |
Сколько раз был случай, когда ни одна карточка не оказалась на своем месте? |
|
|
|
|
|
3 |
Сколько раз все карточки оказались на своем месте? |
|
|
|
|
|
4 |
Сколько раз две карточки оказалась на своем месте? |
|
|
|
|
|
5 |
Сколько раз три карточки оказалась на своем месте? |
|
|
|
|
|
6 |
Сколько раз четыре карточки оказалась на своем месте? |
|
|
|
|
|
Германии; что позднее повторяют Н. Я. Берковский и А. В. Михайлов. Во-вторых, в истории существования «истинной» романтической школы признаётся особая роль за религией
11 09 2014
3 стр.
Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс, в ответах которых на запросы азартных игроков и переписке между
14 12 2014
2 стр.
Охватывает философские объяснения и идеологические положения римских юристов о государстве и праве, что не является предметом изучения настоящего курса
10 10 2014
8 стр.
Разработка кроссплатформенного средства кластерного анализа данных с использованием рандомизированных алгоритмов
02 09 2014
1 стр.
Моделирование и анализ алгоритмов отслеживания цели, использующих только расстояние до нее
14 12 2014
7 стр.
Применение имитационного моделирования для получения робастно устойчивого дерева решений инвестиционного проекта
01 09 2014
1 стр.
Стерео реконструкция – задача определения координат точек в трехмерном пространстве на основании их положения на кадрах видеоряда или нескольких (не меньше двух) изображений
18 12 2014
1 стр.
Такие инструменты автоматически порождают алгоритм, выполняющий синтаксически-управляемую трансляцию по заданной спецификации трансляции. В этом случае спецификация трансляции стан
25 09 2014
1 стр.