УДК 531.01
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
© А.В. Костарев

Санкт - Петербургский государственный политехнический университет.

Санкт-Петербург, Россия
Аннотация. Предложено два простых вывода формулы Эйлера основанных на свойстве ортогональности вектора в теле и его производной.

Ключевые слова: кинематика твердого тела, вектор в теле, угловая скорость, формула Эйлера.
В курсах теоретической механики центральная формула кинематики твердого тела (формула Эйлера) выводится несколькими трудоемкими способами: из теоремы Эйлера о конечном повороте [1 – 7], координатным способом [8], через кватернион [9], через матрицу тензора поворота твердого тела [10], или просто обобщается на свободное движение из частного случая вращения тела вокруг неподвижной оси [11 - 14]. Поиск лаконичного, но строгого вывода формулы Эйлера для свободного твердого тела остается актуальным.

1. 
   Матричный способ
   

Вектором в теле назовем любой вектор а, соединяющий две точки твердого тела. Все векторы в теле постоянны по модулю и изменяют только свое направление, поворачиваясь вместе с телом.

Очевидно, что столбец проекций вектора а на оси неподвижной системы

можно связать со столбцом проекций его производной

бесчисленным множеством матриц 3х3 .

Покажем, что среди этого множества матриц (1.3) существует единственная, общая для всех векторов в теле, матрица.

Поскольку производная по времени от вектора постоянного модуля перпендикулярна самому вектору, то

(1.4)

Итак

Чтобы матрица не зависела от вектора в теле, все коэффициенты при проекциях вектора с необходимостью должны быть равны нулю.


(1.6)

Здесь введены обозначения трех ненулевых элемента матрицы по образцу присоединенной матрицы вектора.

Таким образом, для твердого тела действительно существует единственная матрица , удовлетворяющая соотношение (1.3) для всех векторов в теле. Найденная матрица характеризует вращение тела, и ее следует назвать матрицей угловой скорости

(1.7)

Элементы матрицы (1.7) имеют простой геометрический смысл. Элементы являются проекциями скорости конца орта с первым индексом при его вращении вокруг орта со вторым индексом по правилу правого винта. Так

(1.8)

есть скорость конца орта i вдоль оси z при его вращении вокруг оси у. Понятно, почему элементы с повторяющимися индексами равны нулю.

Таким образом, для любого вектора в теле справедлива матричная формула Эйлера

Из трех элементов кососимметричной матрицы можно составить столбец сопутствующего вектора угловой скорости тела

Теперь формуле (1.9) можно сопоставить векторную формулу Эйлера

2. 
   Координатный способ
   

Продифференцируем по времени разложение произвольного вектора в теле а по осям, связанным с телом

При движении тела проекции вектора неизменны, а орты изменяют только свое направление.

(2.2)

Поскольку орты являются векторами в теле, то их производные лежат в плоскостях, перпендикулярных самим ортам.

(2.3)

Здесь первый индекс проекций есть номер оси проектирования, второй - номер проектируемого орта.

Подставив производные (2.3) в формулу (2.2), получим

Из условия ортогональности и находим

=0 (2.5)

Поскольку вектор произволен, то все скобки в этом выражении с необходимостью равны нулю. В обозначениях (1.6) имеем:

Видим, что столбцы вектора в теле

и его производной

связаны матричной формулой Эйлера

которой соответствует векторная формула Эйлера

Литература

1. 
   Лурье А.И. Аналитическая механика. ̶ М.: Физматлит, 1961. ̶ 824с.
   
2. 
   Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.1. М.: Наука, 1982. 352с.
   
3. 
   Маркеев А.П. Теоретическая механика. ̶ М.: Наука, 1990. ̶ 414с.
   
4. 
   Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2003, 719с.
   
5. 
   Thornton M. Classical dynamics. ̶ Saunders college publishing. 1995. ̶ 638 p.
   
6. 
   Курс теоретической механики. // Под ред. Колесникова К.С. М.: МГТУ, 2000. 735с.
   
7. 
   Ginsberg J.H., Genin J. Dynamics. ̶ John Willey & sons, Inc. 1997 ̶ 553 p.
   
8. 
   Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. СПб: Лань, 1998. 729с
   
9. 
   Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. ̶ М.: Наука. Физматлит, 1977. ̶ 320с.
   
10. 
    Костарев А.В. Угловая скорость тела. Формула Эйлера. URL: https://www.spbstu.ru/phmech/ThM/pdf/6MM.doc ̶ (дата обращения: 30.06.2010).
    
11. 
    Гернет М.М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа.1987. 344 с.
    
12. 
    Meriiam J.L., Kraige L.G. Engineering mechanics. V.2 ̶ John Willey & sons, Inc. 1993. ̶ 717 p.
    
13. 
    Sandor B.I., Richter K.J. Engineering mechanics. Statics and Dynamics. ̶ Prentice-hall. 1987. ̶ 928 p.
    
14. 
    Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Наука, 1967. 478с.