Генерализация и формализация.

Гуссерль различает процедуры генерализации и специализации от процедур формализации и деформализации. Генерализация – это переход от сущности к более высоким на родовидовом дереве сущностям, а формализация – это «обобщение содержательного в чисто логически формальное». Например, переход от «красного» к «чувственному качеству» есть генерализация, а переход от «красного» к «прилагательному» или от «мела» к «сущему» или «существующему» есть формализация. Аналогично, деформализация – это заполнение логической пустой формы чем-то содержательным, а специализация – спуск по родовидовому дереву.

Примеры и того, и другого мы находим в математике. Пример формализации: переход от интуитивного представления о топологическом пространстве как о некой мягкой, растяжимой, но не рвущейся поверхности к не очень-то похожему на изначальное представление формальному определению: топологическое пространство – это множество, в котором выделены некоторые подмножества так, что

1. 
   Пустое множество выделено.
   
2. 
   Конечные пересечения выделенных множеств выделены.
   
3. 
   Произвольные объединения выделенных множеств выделены.
   

Интуитивное представление о непрерывном отображении топологических пространств как о не разрывающем пространство отображении превращается в формальное определение: отображение из одного топологического пространства в другое называется непрерывным, если прообразы выделенных множеств выделены. Без интуитивного представления мы, конечно же, смогли бы доказывать теоремы о топологических пространствах, но утратили бы направляющую нить: какие именно теоремы нам нужны? Математические открытия можно делать и до формализации, о чем говорит вся история математики и, в частности, открытие пифагорейцами несоизмеримости диагонали квадрата и его стороны.

Другие примеры: формализация евклидовой геометрии Гильбертом (прямая – это то, что удовлетворяет аксиомам) или Тарским, формализация понятия предела последовательности, формализация математического анализа Коши, формализация теории вероятностей Колмогоровым, формализация арифметики (насколько это возможно), формализация наивной теории множеств, логики, формализация понятия действительного числа как длины отрезка и т.д.. Генерализация в математике встречается постоянно (подойдет любой пример из таблицы).

Формализация также может давать новые возможности для генерализации, а генерализация – намекать на возможность хорошей формализации. Например, на эрлангенская программу Клейна можно смотреть как на формализацию понятия геометрии и как на генерализацию уже известных к тому времени геометрий.

Формализация в математике требует некоторого выхода в область физики. Можно, однако, привести хорошую модель формализации/генерализации, оставаясь в рамках «чистой» математики. Посмотрим на следующую таблицу. Чем отличаются примеры в правом и левом столбцах? Обобщения в левом столбце получаются забыванием структуры, а обобщения в правом – забыванием свойств. Представим, что кто-то в течение длительного времени изучал только окружности. Тогда, скорее всего, встреча с эллипсом будет «открытием». Аналогично, можно изучать только коммутативные группы, не подозревая, что бывают и некоммутативные. Но нельзя изучать алгебры, не зная, что такое векторное пространство. Нельзя изучать раскрашенные графы, не подозревая о том, что бывают графы без раскраски. Потому что переход от алгебры к векторному пространству или от раскрашенного графа к графу достигается простым игнорированием части указанной явно структуры. Переход же от окружности к эллипсу может быть неочевидным.

Формализация	Генерализация
риманово многообразие --> многообразие векторное пространство --> абелева группа алгебра --> векторное пространство многообразие --> топологическое пространство раскрашенный граф --> граф а также что угодно раскрашенное или взвешенное --> обычное что угодно --> множество	комплексное многообразие --> многообразие окружность --> эллипс квадрат --> ромб коммутативная группа --> группа матроид --> симплициальный комплекс хаусдорфово пространство --> топологическое пространство топос --> категория

В процедуре деформализации приведенных в левой части примеров явно видно «заполнение пустоты», о котором говорит Гуссерль. Заметим также, что, комбинируя формализацию и генерализацию, можно получать смешанные обобщения. Различие между потерей структуры и потерей свойств можно сделать точным в теории категорий. А именно, функторы, забывающие структуру – это т.н. faithful-функторы (инъективные на морфизмах), а функторы, забывающие свойства – это т.н. full-функторы (сюръективные на морфизмах).