Факультатив, 8
ормула Герона.
Герон Александрийский (около I в.), древнегреческий математик и механик; дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике.
Ф
ормула Герона: Площадь S треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой 
, где 
- полупериметр треугольника.
Дано:
, 
, 
, 
,
p – полупериметр
.
Доказать:
Доказательство:
-
О
пустим высоту СН на сторону АВ (
, 
). Пусть 
, 
, 
.
-
И
з 
по теореме Пифагора: 
, 
.
Из
по теореме Пифагора: 
, 
(1)
,
, но 
(2) 
Разделим обе части равенства на с: 
(3).
3) Сложим равенства (2) и (3): 
;
.
Разделим полученный результат на 2: 
.
-
Подставим полученное выражение в равенство (1):
но
, т.е. 
, 
, 
,
, 
,
, 
.
Следовательно, 
.
.
Но 
, а значит, 
,
, ч.т.д.
Задача (на применение формулы Герона): Атанасян, № 525
Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.
Д
В
ано:
,
6 см,
L
2 см,
А
N
В = 13 см,
В
М
С = 14 см,
АС = 15 см.
Найти:
.
Решение: А К С
-
По формуле Герона:
(см), 
(см2).
-
Соединим точку М с вершинами, 
.
-
, 
, 
.
-
(см2),
(см2).
-
, 
(см2).
-
, 
(см).
Ответ:
см.