«РОССИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.И.ПИРОГОВА»
Медико – биологический факультет

Кафедра высшей математики МБФ

Дисциплина:
Математический анализ.


Раздел 1. Элементы аналитической геометрии, высшей и линейной алгебры.

(5 тем)
Тема: Комплексные числа

Методические разработки для студентов.

2012
Методические материалы к практическим занятиям для студентов.

Дисциплина: Математический анализ.

Тема: Комплексные числа. Многочлены
Учебные элементы темы.

1. Комплексные числа и действия над ними. Определение, свойства, операции на ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.
2. Многочлены. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Теорема Безу.

Разложение дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Литература для самостоятельного изучения.

1.Сборник задач по математике (для втузов). Под ред. А.В Ефимова , Б.П.Демидовича, 1993г. Гл1. Стр.39.

2.И.Н.Коновалова и др. Комплексные числа и их приложения.. Учебное пособие Кафедра Высшей математики МБФ, ГОУ ВПО РГМУ Росздрава 2007 г.

3. Письменный Д.Т. Лекции по высшей математике. , стр 285.

4. Задачи для обязательного решения дома представлены в конце методички.

Вопросы для самостоятельной подготовки по теме

«Комплексные числа»

1. 
   Сформулировать основные определения комплексного числа и формы представления.
   
2. 
   Как записывается комплексное число в алгебраической (тригонометрической) форме и по каким правилам проводятся арифметические операции над ними
   
3. 
   Что означает в определении комплексного числа фраза «упорядоченная пара действительных чисел»?
   
4. 
   3. Какое из этих чисел называется «действительной частью Re z», какое «мнимой Imz»?
   
5. 
   В каком случае комплексное число является обычным действительным числом?
   
6. 
   При каких условиях считается , что два комплексных числа равны?
   
7. 
   По каким правилам осуществляются действия и находятся: сумма, разность, произведение и частное двух комплексных чисел?
   
8. 
   Какое комплексное число называется сопряженным к заданному и какими свойствами оно обладает?
   
9. 
   Что называют «мнимой единицей» , как ее обозначают, и что получается при возведении ее в старшую степень ?
   
10. 
    Что называют комплексной плоскостью, действительной и мнимой осями и как изображается комплексное число на комплексной плоскости?
    
11. 
    Что называют «модулем» и «аргументом» комплексного числа? Каковы их возможные значения для множества точек комплексной плоскости?
    
12. 
    В каких пределах значений находится «главное значение аргумента комплексного числа?
    
13. 
    Запишите комплексное число в алгебраической и тригонометрической формах, а также основные соотношения связывающие их.
    
14. 
    По каким правилам осуществляются действия над комплексными числами в тригонометрической форме: произведение, возведение в степень, деление?
    
15. 
    Какой вид имеет формула Муавра при возведении комплексного числа в натуральную степень?
    
16. 
    Что называют « корнем n- степени из комплексного числа» ?
    
17. 
    Сколько возможных значений имеет корень степени n=5 из комплексного числа z= 1-2i ?
    
18. 
    Как выглядит общая формула Муавра для извлечения корня n- степени из комплексного числа ?
    
19. 
    Как выглядит показательная форма комплексного числа и записывается формула Эйлера?
    
20. 
    С помощью формулы Эйлера запишите операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
    

§ 1. Теоретическое введение
Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел (а,b), над множеством которых по определенным правилам можно производить следующие операции: сложение , умножение, деление, возведение в степень результаты которых также являются комплексными числами.

Определение. Алгебраической формой компле5ксного числа z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, (комплексной плоскости z) координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

у
A(a, b)

r b


0 a x

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на оси ОY – чисто мнимые-b.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.



Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.






2) Умножение.







В тригонометрической форме:

,





С случае комплексно – сопряженных чисел:


3) Деление.









В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,
где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.
Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:





Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)

При делении многочлена f(x) на разность ( x – a) получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность ( x – a) частным будет многочлен f₁(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.

Переходя к пределу при х  a, получаем f(a) = R.

Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.


Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xⁿ.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:





k_i - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

1. 
   Очевидно, справедливо следующее преобразование:
   

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.



Если , то


§ 2. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме
Алгебраической формой комплексного числа z = (a, b).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi.

Арифметические операции над комплексными числами z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i, записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z₁ ± z₂ = (a₁ ± a₂) + (b₁±b₂)∙i,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z₁∙z₂ = (a₁∙a₂ - b₁∙b₂) + (a₁∙b₂ + a₂∙b₁)∙i,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i²=1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:
, (z₂ ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

.

Легко показать, что

Примеры.

1. Найти сумму комплексных чисел z₁ = 2 – i и z₂ = –4 + 3i.

z₁ + z₂ = ( 2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = ( 2 + (–4)) + ((–1) + 3 ) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z₁ = 2 – 3i и z₂ = –4 + 5i.

₌ ( 2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i) + 2∙5i – 3i∙5i =7+22i.

3. Найти частное z от деления z₁ = 3 – 2 на z₂ = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y  R.

( 2x + y ) + ( x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i², i³, i⁴, i⁵, i⁶, i^-1 , i^-2.

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i.

.

§ 3. Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y), если каждой точке с координатами (a, b) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi. При этом ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой. Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A ( a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А ( и, значит, комплексного числа z) можно задать длиной вектора | | = r и углом  , образованным вектором || с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r, а угол  называется аргументом комплексного числа и обозначается  = arg z .

Ясно, что | z |  0 и | z | = 0  z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2k, k  Z .
Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и =arg z, то

cos = , sin = , tg =.

Если z R и z > 0, то arg z = 0 +2k;

если z  R и z < 0, то arg z =  + 2k;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0  arg z  2,

либо -  arg z  .

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z₁ = 4 – 3i и z₂ = –2–2i.

_;

.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z |  6; 3) | z – (2+i) |  3; 4) 6  | z – i |  7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5   - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z₀ = 2 + i.

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z₀ = i.

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b =  ,

 ₁ = .

2) z₂ = –2 – 2i; a = –2, b = -2  ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Используя формулы можно перейти от алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической форме (формула Муавра):

.

Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное 2.

4. Записать числа в тригонометрической форме.

1) , 2) , 3) , 4) .

1) , ,

.

(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных значений аргумента.)

Таким образом: z₁ = .

2) , r₂ = 1, ₂ = , .

3) , r₃ = 1, ₃ = , .
4) , r₄ = 1, ₄ = , .
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

1. Умножение.

При перемножении чисел z₁ и z₂, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

z = z₁z₂ = r₁r₂( cos( ₁ + ₂ ) + isin( ₁ + ₂ )).

(Формула справедлива для любого конечного числа сомножителей.)

z₁…z_n = r₁…r_n ( cos(₁ +…+_n) + isin(₁ +…+_n )).

Если z₁ = z₂ =…= z_n = z = r(cos + isin), то последняя принимает вид

zⁿ = rⁿ(cosn + isin n )

и называется формулой Муавра. Она показывает, что для возведения комплексного числа в натуральную степень нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.

Примеры.

1) Выполнить умножение:

2) Вычислить: .

2. Деление.

Если z₁ = r₁( cos₁ + isin₁) и z₂ = r₂( cos₂ + isin₂ ), то

,

т.е. модуль частного двух комплексных чисел z₁ и z₂ равен частному модулей, а аргумент частного – разности аргументов.

Пример.

z₁ = z₂ = . Найти частное.

.

Формула Муавра () находит много применений. Так, например, если n = 3, то, возведя левую часть по формуле сокращенного умножения в куб, получим равенство

.

Из равенства комплексных чисел и основного тригонометрического тождества получаем

С помощью формулы Муавра можно находить суммы тригонометрических функций.

Например, найдем сумму k  Z.

Рассмотрим сумму .

Из формулы Муавра имеем: .

Таким образом, сумма S(x) примет вид:

.

Эта сумма есть геометрическая прогрессия из n слагаемых с первым членом и знаменателем прогрессии . По формуле для суммы n членов геометрической прогрессии, имеем

.

.

.

В исходном выражении для S(x) было:

,

.

Сравнивая мнимые и действительные части, получаем следующие формулы:

3. Извлечение корня из комплексного числа

Корнем n-ой степени, n  N, n  2, из числа z называется любое комплексное число u, для которого n-ая степень равна z:

.

В поле комплексных чисел справедлива следующая теорема.

Для любого z ≠ 0 извлечение корня n-ой степени, n  2, из числа z всегда возможно и имеет ровно n различных значений.

Пусть z = r(cos + isin). Искомый корень n-ой степени обозначим

u = (cos + isin).

По определению корня имеем uⁿ = z. Откуда следует, что

ⁿ (cosn + isinn) = r(cos + isin).

Из равенства комплексных чисел получаем:

Так как .

Таким образом, модуль комплексного числа u определяется как арифметический корень из действительного положительного числа r, а аргумент находят по формуле



Общая формула Муавра

,

Пример.

Вычислить u = .

Представим число z = в тригонометрической форме:

,

Поэтому согласно общей формуле Муавра

,

где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Таким образом, значения корней:

,

,

Геометрически корни можно интерпретировать как числа, изображающие в комплексной плоскости вершины правильного n угольника (в рассмотренном примере – шестиугольника ), вписанного в окружность радиусом (в рассмотренном примере – радиусом ), с центром в начале координат.

Примеры.

Найти: 1) , 2) , 3) .

Решение.

1) ,

u₀ = cos0 + isin0 = 1,

,

,

.
2)

, k = 0, 1, 2.

3) , k = 0, 1, 2.

§ 4. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа
Помимо алгебраической и тригонометрической имеется еще показательная форма записи комплексного числа, которая широко используется в различных приложениях, в частности в электротехнике.

Пусть , зависит от действительной переменной φ.

Сопоставим взаимно однозначным образом каждому комплексному числу комплексно показательное выражение . С помощью операций дифференцирования можно показать, что эти выражения имеют одну и ту же логическую сущность, в связи с этим полагают по определению

.

Эта формула называется формулой Эйлера и представляет собой определение комплексной показательной функции , где φ – любое действительное число.

Пусть дано комплексное число z =r (cosφ + isinφ). Сопоставляя это с предыдущей формулой, получаем

.

Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой комплексного числа.

В этой форме записи удобно осуществлять операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Соответствующие формулы записываются следующим образом.

Пусть . Тогда

Примеры.

1. Найти показательную форму чисел:

а) z₁ = 1 + i; б) z₂ = .

Решение.

а) r = , .

б) .

2. Найти алгебраическую форму чисел:

а) , б) , в) .

Решение.

а) ,

б) ,

в) .

3. Найти z₁z₂ и , результат записать в тригонометрической форме:

а) ; б) .

Решение.

а) ,

,

б)

.

4. Вычислить: а) z⁴ , б) , где .

Решение:

а) ,

б)


Теория комплексных чисел может быть использована при решении геометрических задач на плоскости; и обратно, факты геометрического характера позволяют доказывать некоторые соотношения и тождества для комплексных чисел.

Примеры.

1. Пусть . Доказать, что .

Поскольку , то





.

Геометрически этот факт означает, что сумма квадратов длин диагоналей ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.

Действительно, точки плоскости, соответствующие комплексным числам 0, z₁, z₂ и z₁ + z₂, являются вершинами ромба, для которого и – длины его сторон, а и – длины его диагоналей.

2. Пусть z₁, z₂, z₃, z₄ – различные комплексные числа и . Доказать, что .

Имеем:

=

= ,

т. к. число вещественно и положительно (докажите это самостоятельно). Кроме того,

= =.

Доказанное равенство известно в планиметрии как теорема Птолемея: произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность четырехугольника равно сумме парных произведений длин его противолежащих сторон.

Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить:

1) (3 – 2i) + (5 + 3i);

2) (1 + 2i) – (3 – i);

3) 3(2 – i)∙(1 – i);

4) (1 + 3i)(–7 + 2i);

5) (2 – i)²;

6) (1 + 2i)³.

2. Найти решение уравнений (x, y  R):

1) (1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i;

2) 2x + (1 + i)(x + y)=7 +i;

3) (3 – y + x)(1 + i) + (x – y)(2 + i) = 6 – 3i.

3. Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

4. Найти z^-1, если:

1) z = 7 – 12i; 2) z = 3 + 4i; 3) z = –3 + 7i; 4) z = i.

5. Вычислить:

1) (1 + i)³(1 – i)⁷; 2) ; 3) .

6. Доказать, что ; ; .

7. Доказать, что если то .

8. Построить точки, соответствующие комплексным числам:

1; i; ; 3i; 2  3i; 42i; 3+i; 6 + 2i; 2 + 2i; 2 + 2i; 2  2i.

9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел, изобразить геометрически данные числа и результаты действий.

1) ; 2) .

10. Изобразить геометрическое множество всех комплексных чисел , для которых:

1) x = 2; 2) 1  x  3; 3) Re z = Im z ; 4) Im z = 2Re z.

11. Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел и представить их на комплексной плоскости:

1) z =1 + i; 2) z = ; 3) ; 4) z = 2; 5) z = i.

12. Указать на комплексной плоскости множества точек, соответствующие комплексным числам z, удовлетворяющие условиям:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

13. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

1) 1, 1, i, i;

2) z = 3  3i;

3) .

15. Даны числа

.

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

17. Вычислить и argz, если .

18. Упростить выражение .

21. Вычислить корни и результат изобразить на комплексной плоскости.

1) ; 2) ; 3) .

22. Выразить в радикалах корни из единицы степени 2, 3, 4, 6, 8.

23. Представить в показательной форе комплексные числа:

1) 1  i; 2) ; 3) .

24. Найти тригонометрическую и алгебраическую форму для чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

25. Найти z₁z₂ и , результат написать в алгебраической форме.

1) ,

2) .

26. 
    Вычислить и , результаты представить в алгебраической форме и
    

изобразить их на плоскости.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

27. Решить уравнения на множестве комплексных чисел и разложить многочлен на множители:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .