В В Е Д Е Н И Е

Для тех, кто решил получить высшее образование, совершенно необходимо усвоить основной язык общения на производстве. Это язык инженерной графики. Теория изображения пространственных геометрических фигур на плоскости и практика выполнения технических чертежей излагаются в курсах начертательной геометрии и машиностроительного черчения.

Что такое начертательная геометрия?

«Это что-то техническое» ЁC ответит любой человек

«Это самый трудный предмет в 1-ом семестре» ЁC скажет первокурсник.

«Это наука, без знания которой невозможно техническое творчество» - уверенно ответит любой инженер*.

При изучении начертательной геометрии требуется систематическая работа. И если напряжение ума не вызывает у студента негативных эмоций, то курс начертательной геометрии окажется для него хоть и строгой, но красивой и понятной наукой.

На первых порах студенту необходимо вспомнить по крайне мере:

ЁC Условия задания в пространстве простейших геометрических фигур: точки, прямой и плоскости.

ЁC Условия взаимной принадлежности геометрических фигур таких как: точки и прямая на плоскости, точка и линия на кривой поверхности.

ЁC Условия перпендикулярности: перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность двух плоскостей

ЁC Теорему Фалеса.

ЁC Теорему о трех перпендикулярах.

ЁC Инвариантные (неизменные) свойства ортогонального проецирования ():

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой есть прямая(в общем случае).

3. Точка на прямой проецируется в точку на проекции этой прямой.

4. Проекции параллельных прямых ЁC параллельны.

5. Относительно проекций параллельных отрезков равно отношению длин самих отрезков.

ЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁCЁC

*С.А. Фролов, М.В. Покровская «Начертательная геометрия. Что это такое?» - Минск, Высшая школа, стр. 5, 1986г.

6. Длина изображения отрезка, параллельного плоскости проекций, равна длине самого отрезка.

7. Прямой угол проецируется без искажения, если одна сторона угла параллельна плоскости проекций, а вторая ЁC не перпендикулярна к ней.

На основе перечисленных инвариантных свойств, сформулированы основные законы начертательной геометрии. Эти законы устанавливают соответствие между изображаемой фигурой и её проекцией, когда геометрические свойства предмета в процессе проецирования отражаются с искажением (). Искажается длина произвольно расположенного отрезка, искажаются углы и площади плоских фигур.

В чём заключается цель изучения начертательной геометрии:

1. Научится грамотно и осознанно работать с чертежами пока еще абстрактных геометрических фигур, а также - и решать такие задачи как:

ЁC Изображение на комплексном чертеже точек, линий, плоских фигур и криволинейных поверхностей.

ЁC Решение позиционных задач, связанных с принадлежностью и пересечением геометрических фигур, а также параллельностью и перпендикулярностью.

ЁC Решение метрических задач на определение расстояний, углов и площадей плоских геометрических фигур.

2. Подготовить теоретическую базу для усвоения курса машиностроительного черчения и успешного выполнения технических чертежей, обладающих:

ЁC обратимостью (однозначностью прочтения),

ЁC наглядностью,

ЁC простотой (предельной лаконичностью) и

ЁC точностью исполнения.

3. Способствовать развитию у студента пространственного воображения.

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ НА ПРИМЕРЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ

Геометрический аппарат проецирования и метод Г. Монжа получения обратимых изображений

В начертательной геометрии и в черчении для построения изображений в основном используется один из методов проецирования. Когда направление взгляда наблюдателя перпендикулярно к плоскости проекций, относительно которой сам наблюдатель условно находится на бесконечно удаленном расстоянии (). Проецирующий луч µ § от глаза наблюдателя µ § проходит через точку µ § какой-либо фигуры в пространстве и пересекает плоскость проекций µ §, образуя ортогональную (прямоугольную) проекцию µ §. (Символически: µ §).

Однако µ § ЁC еще не чертеж. Чертеж должен читаться однозначно, то есть должен быть обратимым. В данном случае проекции µ § может соответствовать не только точка µ §, но и любая точка µ §, принадлежащая проецирующему лучу l. В итоге: µ §, но µ §.

Способ получения обратимых изображений был предложен создателем начертательной геометрии как науки Гаспаром Монжем (1746-1818). Для этого оказалось достаточно: предмет спроецировать одновременно на две плоскости проекций. Например, - на две взаимно перпендикулярные плоскости: µ §ЁC горизонтальную и µ § ЁC фронтальную плоскости проекций (Рис.4). В этом случае на лицо обратимость µ § и µ §.

Для усиления наглядности изображений и для решения многих геометрических задач часто приходится проецировать предмет на три плоскости: µ §, µ §и µ §. Последняя из них ЁC профильная плоскость проекций (Рис.5).

Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций. На этих осях происходит излом линий связи между отдельными проекциями точек. Звенья ломаных линий отражают расстояния точки в пространстве до соответствующих плоскостей проекций. Если оси проекций совместить с осями ортогональной системы координат µ §, то эти расстояния примут свои численные значения. (Рис.4 и 5).

Плоскости проекций делят пространство на 4 квадранта плоскостями µ § и µ § и на 8 октантов ЁC тремя плоскостями (Рис.4 и 5). От положения точки в той или иной части пространства зависят знаки её координат. Например, в I-м квадранте (Рис.4) все координаты положительны, во 2-м ЁC координата µ § уже отрицательна.

Что касается положения наблюдателя относительно плоскостей проекций: место наблюдателя или в 1-м квадранте или в 1-м октанте.

Пока мы получили только пространственные модели обратимых комплексных изображений на двух и на трех плоскостях проекций.

Комплексный чертеж точки

Как теперь перейти от объемной модели проецирования к плоскому комплексному чертежу?

Для получения 2-х картинного комплексного чертежа () необходимо выполнить три этапа:

1. Удалить в модели все то, что находится в пространстве. То есть: точку А и проецирующие лучи. Оставить изображения точки и ломанные линии связи на плоскостях проекций.

2. Совместить обе плоскости проекций в одну плоскость. Для этого достаточно плоскость µ § повернуть вокруг оси µ § до совмещения с плоскостью µ §. При этом ломаная линия связи преобразуются в прямую, перпендикулярную к осиµ §.

3. Удалить условные очертания плоскостей проекций, так как плоскости проекций ЁC безграничны.

Для получения 3-х картинного комплексного чертежа () выполняют аналогичные три этапа. Отличие лишь в том, что при совмещении плоскостей проекций ось µ §условно раздваивается и поэтому координата µ §точки µ § на чертеже отражается дважды.

Итак, законы проекционной связи на комплексном чертеже:

1. Линия связи между проекциями точки перпендикулярна к оси проекций.

2. Любая координата точки измеряется в направлении, параллельном одноименной оси проекций. (Примечание: при построении комплексного чертежа первая координата точки откладывается непосредственно  на оси остальные координаты ЁC на линиях связи).

3. На 3-х картинном комплексном чертеже координата µ § для любой точки отражается дважды. На горизонтальной и профильной плоскостях проекций.

Пример 1. () Построить 3-х картинный комплексный чертеж точки µ §(20,10,15).

Решение:

1. На оси µ §отложить координату µ §=20 с учетом ее положительного знака и через полученную точку провести линию связи для последующей отметки на ней остальных координат.

2. На линии связи от оси µ § отложить координату µ §=10 с учетом её знака и обозначить горизонтальную проекцию точки: µ §.

3. На той же линии связи отложить от оси µ § координату µ §=15 с учетом ее знака и обозначить фронтальную проекцию точки: µ §.

4. Через фронтальную проекцию точки провести линию связи перпендикулярно к оси µ §, отложить на ней от оси µ § координату µ §=10 с учетом знака и обозначить профильную проекцию точки: µ §.

Для построения профильной проекции точки полезно запомнить правило: профильная проекция точки лежит на одной линии связи с фронтальной проекцией и отстоит от оси µ § на расстоянии, равном расстоянию от оси µ § до горизонтальной проекции точки.

Пример 2. (). На комплексном чертеже ЁC произвольная точка µ §. Задать точку µ § правее точки µ § на 20 мм, ближе ее на 10 мм и выше ЁC на 15 мм.

Решение:

1. Обозначим для себя приращение координат точки С относительно заданной точки B с учетом знака этого приращения:

µ §=20, µ §=10, µ §=15.

2. На оси x отметить разницу µ §и через полученную точку перпендикулярно к оси провести линию связи.

3. На линии связи отметить разницу µ §и обозначить горизонтальную проекцию искомой точки: µ §.

4. На той же линии связи отметить разницу µ §и обозначить фронтальную проекцию: µ §.

5. Через проекцию µ § провести линию связи перпендикулярно к оси µ §, отметить на ней разницу µ § и обозначить профильную проекцию: µ §.

В начертательной геометрии широко, а в техническом черчении ЁC преимущественно, используется безосный комплексный чертеж. В отличие от чертежа с осями проекций безосный комплексный чертеж применяется в тех случаях, когда отсутствует необходимость отражать положение каждой точки предмета относительно плоскостей проекций, когда достаточно иметь представление о положении точек только относительно друг друга.

Задача 3.(Рис. 10). Решить задачу 2 на безосном комплексном чертеже.

Решение:

На линии связи µ § отметить разницу µ § и через полученную точку под прямым углом провести линию связи для последующего построения на ней проекций µ §и µ §.

Для продолжения решения повторить пункты 3 и 4 предыдущей задачи и несколько изменить пункт 5. Через проекцию µ § провести линию связи параллельно линии µ §, отметить на ней разницу µ §и обозначить профильную проекцию: µ §.

Конкурирующие точки

Особый практический интерес вызывает относительное положение точек, когда они находятся на одном проецирующем луче. И в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию. Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Объяснение такому названию ЁC в том, что в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая ЁC нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, проекция другой точки ЁC невидима.

На пространственной модели проецирования () из двух конкурирующих точек µ §и µ § видима точка µ § по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке µ § точка µ § ближе к наблюдателю, чем точка µ §. И, соответственно, ЁC дальше от плоскости проекций µ §. То есть µ §.

Если видима сама точка µ §, то видима и её проекция µ §. По отношению к совпадающей с ней проекцией µ §. (Для наглядности и при необходимости невидимые проекции точек принято заключать в скобки).

Уберем на модели точки µ § и µ §. Останутся их совпадающие проекции на плоскости µ § и раздельные изображения ЁC на µ §. Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя µ §. Тогда по цепочке изображений µ § можно будет судить о том, что µ § и что видима и сама точка µ § и её проекция µ §.

Другой наблюдательµ § из двух конкурирующих точек µ §и µ § видит точкуµ § и её проекцию µ §. Поскольку общий проецирующий луч этих точек параллелен оси µ §, то признак видимости конкурирующих точек µ § и µ § определяется неравенством µ §.

Для примера рассмотрим две пары тех же конкурирующих точек на комплексном чертеже (Рис.12).

Судя по совпадающим проекциям µ § сами точки µ §иµ §находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси µ §. Значит сравнению подлежат координаты µ § этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае µ §. Из этого следует, что видима проекция µ §.

Точки µ § и µ § на том же комплексном чертеже находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси µ §. Поэтому из сравнения µ § делаем вывод, что видима проекция µ §.

Общее правило. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.

 Задача определения видимости конкурирующих точек имеет большое практическое значение. Поскольку окончательная обводка чертежа геометрической фигуры производится с учетом видимости её элементов.

ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

Способы задания геометрических фигур.

Два способа задания геометрических фигур: кинематический и статический.

Кинематический способ основан на перемещении в пространстве точки или образующей линии по определенному закону. Закон перемещения задается направляющими элементами: точками, линиями или плоскостями. Совокупность образующей и направляющих называется определителем геометрической фигуры. Пример записи: “µ §”. Здесь µ §ЁC название фигуры в общем случае, µ §ЁC образующая линия (точка с запятой), µ §и µ § ЁC направляющие линии и µ § ЁC направляющая плоскость. Если характер образующей понятен из названия фигуры, то в скобках отражаются только направляющие элементы. Например: “Коническая поверхность общего вида µ §”. В этом случае из названия фигуры ясно, что образующей является прямая линия, а в скобках ЁC только направляющие элементы: кривая линия µ §и вершина конуса µ §.

Статический способ основан на задании фигуры каркасом из неподвижных точек и линий. Каркас называется дискретным, если нет математической закономерности образования его элементов. Уплотнить такой каркас дополнительными элементами можно только с определенными погрешностями. Примером могут служить дискретные каркасы топографических и сложных технических поверхностей. Непрерывный каркас отличается закономерным образованием его элементов. Это дает возможность теоретически бесконечно уплотнять каркас дополнительными элементами. Примером может служить каркас конуса вращения, заданного семейством окружностей с центрами на оси вращения, радиусы которых ограничены прямой линией, проходящей через вершину конуса.

Прямая линия, плоскость и многогранник

Прямая линия может быть задана одним из двух способов (Рис13 и 14):

ЁC Точкой и направлением (кинематический способ). µ §.

ЁC Двумя точками (статический способ, точечный каркас): µ §.

Возможные способы задания плоскости (Рис.15):

ЁC Тремя точками. µ §.

ЁC Точкой и прямой линией µ §.

ЁC Двумя параллельными линиями µ §.

ЁC Двумя пересекающимися линиями µ §

ЁC Треугольником µ §. И так далее.

Геометрические фигуры относительно плоскостей проекций могут занимать произвольное (общее) или одно из частных положений.

Прямые и плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций. И отличаются тем, что при проецировании их метрические характеристики (расстояния, углы и площади) подвергаются искажению (Рис.16). На приведенном примере ни одна из проекций отрезка не равна длине самого отрезка µ §, искажены и углы наклона отрезка к плоскостям µ § и µ §. И, наконец, площадь ни одной проекции треугольника не равна площади самого треугольника. Примечание: углы наклона прямой к плоскостям проекций, как правило, имеют особые обозначения (угол µ §ЁC к плоскости µ §, µ § ЁC к µ § и µ § ЁC к µ §).

Геометрические фигуры ЁC частного положения параллельны или перпендикулярны к одной из плоскостей проекций. В первом случае это прямые и плоскости уровня, во втором ЁC прямые и плоскости проецирующие.

Прямые уровня: горизонталь (µ §), фронталь (µ §) и профильная прямая (µ §). По их названию становится понятно, относительно какой плоскости проекций каждая из них параллельна.

Плоскости уровня: горизо-нтальная, фронтальная и профильная.

Чертежи прямых и плоскостей уровня отличаются прежде всего тем, что метрические характеристика этих фигур проецируются без искажения. Примером может служить Рис.17. 

Фронталь µ §. На фронтальной проекции фронтали отражаются натуральная величина отрезка (µ §) и натуральная величина его наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций. При этом горизонтальная проекция отрезка, естественно, параллельна оси µ §.

Здесь же треугольник µ § ЁC в горизонтальной плоскости. Горизонтальная проекция треугольника отражает натуральную величину его площади. Что касается фронтальной проекции треугольника, то она вырождается в прямую линию, параллельную оси µ §.

Особенность вырожденной проекции любой геометрической фигуры состоит в том, что она обладает собирательным свойством. Это означает, что любая точка фигуры получает свое отражение на этой проекции.

Другая разновидность геометрических фигур частного положения ЁC проецирующие прямые и плоскости: горизонтально проецирующие, фронтально

проецирующие и профильно проецирующие. Само название фигур говорит о том, к какой плоскости проекций каждая из них перпендикулярна. Примером таких фигур (Рис.18) могут служить горизонтально проецирующий отрезок µ § и фронтально проецирующая плоскость µ §. Напомним, что основная особенность проецирующих фигур ЁC в наличии вырожденных проекций с известным уже замечательным свойством.

Одна из простейших позиционных задач ЁC относительное расположение

прямых линий. Которые (Рис.19) могут быть параллельными (µ §),

пересекающимися (µ §) или скрещивающимися прямыми (µ §).

Разница между пересекающимися и скрещивающимися прямыми заключается в наличии или в отсутствии у них общей точки. У пересекающихся прямых проекции общей точки лежат на одной линии связи. Для скрещивающихся прямых места пересечения их проекций означают совмещенные проекции конкурирующих точек, принадлежащих разным линиям. То, что это проекции конкурирующих точек, видно по их раздельным изображениям на другой плоскости проекций.

Практическая польза от применения конкурирующих точек ЁC не только в обнаружении скрещивающихся прямых. На приведенном примере расположение двух пар конкурирующих точек 1,2 и 3,4 говорит о том, что прямая µ § проходит за прямой µ §и над ней.

И это еще не все. При помощи конкурирующих точек определяется видимость на чертеже отдельных элементов фигуры. Например, видимость ребер многогранной фигуры (Рис.20).

Многогранник ЁC это составная поверхность, ограниченная плоскими гранями в

виде многоугольников. Это призмы, пирамиды и так далее. При пересечении друг с другом грани образуют ребра, ребра при своем пересечении образуют вершины многогранника. Совокупность ребер образует сетку, которая служит для построения изображений многогранника.

При обводке чертежа видимость очерковых проекций ребер не вызывает сомнений. Для остальных ребер видимость их проекций определяется при помощи конкурирующих точек. На приведенном примере задача определения видимости

проекций возникает для ребер µ §и µ §. Две пары конкурирующих точек на этих ребрах приводят к выводу, что обе проекции ребра µ § ЁC видимы. В частности, видимость горизонтальной проекции этого ребра определяется конкурирующими точками 1 и 2 на одном горизонтально проецирующем луче, пересекающем ребра µ §и µ §. Точка 1 на ребре µ § оказалась выше, чем точка 2 на ребре µ §. Поэтому в направлении общего проецирующего луча для наблюдателя видима не только точка 1, но и ребро, на котором она находится. Видимы, стало быть, и их горизонтальные проекции. Аналогично определяется видимость на фронтальной плоскости проекций. При помощи других конкурирующих точек 3 и 4 с общим на этот раз фронтально проецирующим лучом.

Кривая линия общего вида
Ограничимся кривыми линиями общего вида. Под которыми следует понимать плоские и пространственные кривые, не имеющие определенно выраженного закона образования. Для задания таких линий требуется: теоретически бесконечное, а практически ЁC разумное конечное число точек. Для подобных кривых наиболее часто встречается задача на построение третьей ее проекции по двум заданным.

Пример (Рис.21). Построить недостающую профильную проекцию кривой линии µ §.

На заданной линии задаем достаточно плотный ряд точек (1,2,ЎK) и для каждой из них решаем элементарную задачу на построение третьей проекции точки по двум заданным ее изображениям.

Рекомендуется при работе с кривыми линиями конечные и другие особые (опорные) точки обозначать буквами, а промежуточные точки ЁC цифрами. (И при необходимости ЁC с учетом видимости).

Кинематические поверхности

2.4(а). Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма: µ §

При образовании таких поверхностей образующая прямая скользит по направляющим линиям, оставаясь при этом параллельной к некоторой плоскости. Обычно в качестве плоскости параллелизма используется одна из плоскостей проекций.

Разновидности и , соответственно, названия подобных поверхностей определяются формой их направляющих: в виде кривых или прямых линий. Если, к примеру, криволинейные направляющие обозначить µ § и µ §, прямые направляющие -µ §и µ §и плоскость параллелизма как µ §, то будем иметь следующие названия поверхностей:

µ §ЁC цилиндроид,

µ §ЁC коноид,

µ §ЁC косая плоскость или гиперболический параболоид.

На рис.22 показана одна из таких поверхностей.

2.4(б). Линейчатые поверхности с одной направляющей и с собственной или несобственной точкой: µ § или µ §

При образовании подобных поверхностей образующая прямая µ §скользит по единственной криволинейной направляющей "µ §" и проходит через точку µ §или сохраняет определенное направление, заданное каким-либо вектором µ §или прямой линией. В первом случае (Рис.23) образуется коническая поверхность с вершиной µ §, во вором ЁC цилиндрическая поверхность с параллельными образующими (Рис.24).

2.4(в). Поверхности вращения: µ §

Поверхность вращения образуется вращением линии вокруг неподвижной оси.
Элементы поверхности вращения в общем виде (рис.25):

µ §ЁC Ось вращения.

µ § ЁC Образующая.

µ §ЁC Параллели. Из них:

µ §ЁC Горло.

µ §ЁC Экватор.

µ §ЁC Меридианы (главный меридиану, если он параллелен плоскости проекций).

Разновидности и названия поверхностей вращения определяются формой и расположением их образующей. Наибольшее распространение получили образующие в виде прямых линий и окружностей. Отсюда, соответственно, линейчатые и циклические поверхности вращения.

Вид линейчатой поверхности вращения зависит от положения образующей относительно оси вращения (рис.26).

Образующая может быть параллельной оси, пересекать ее или скрещиваться:

µ §ЁC Цилиндр вращения.

µ §ЁC Конус вращения.

µ §ЁC Однополостный гиперболоид вращения.

Вид циклической поверхности вращения так же зависит от положения образующей относительно оси вращения (рис.27). Предполагается, что в любом случае плоскость образующей окружности проходит через ось вращения. При этом центр µ § окружности или дуги окружности может быть на оси вращения или отстоять от нее на расстоянии меньшем или большем, чем радиус образующей:

1) µ §ЁC Сфера.

2) µ §ЁC Закрытый тор.

3) Фрагмент закрытого тора.

4) µ §ЁC Открытый тор.

ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Общие понятия взаимопринадлежности
Элементарная (основная) задача на принадлежность, без которой бесполезно пытаться решать любую задачу на ту же тему, - это задача на принадлежность точки к плоскости или к любой криволинейной поверхности. В общем случае: