МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

проф. Т.П. Лукашенко

1 курс, 1 семестр.

Множества и операции над ними. Свойства операций. Законы Моргана. Декартово произведение множеств и его свойства. Натуральные, целые и рациональные числа, их свойства. Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел. Принципы полноты действительных чисел. Их эквивалентность. Эквивалентные множества. Счётные множества и их свойства. Несчётные множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.

Открытые и замкнутые множества и их свойства. Теоремы о конечных подпокрытиях и о существовании предельной точки. Предел последовательности и его свойства. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число "е". Критерий Коши сходимости последовательности. Частичные пределы последовательности, их свойства. Числовые ряды.

Два определения предела функции, их эквивалентность. Свойства предела функции. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы и их свойства. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Предел функции по базе и его свойства.

Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Теорема об обратной функции. Модуль непрерывности. Элементарные функции, их свойства. Замечательные пределы. Производная, касательная, дифференциал и их связи. Правила вычисления производных. Производные элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Бонне. Следствия теоремы Лагранжа. Свойства производной. Правила Лопиталя. Формула Тейлора с различными формами остаточного члена. Ряды Тейлора. Разложения некоторых элементарных функций.

Достаточные условия локального экстремума. Глобальные экстремумы функции на отрезке. Выпуклость, точки перегиба. Свойства выпуклых функций. Неравенство Иенсена. Свойства односторонних производных выпуклых функций. Условия выпуклости.

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Основные неопределённые интегралы. Интегрирование рациональных дробей, различных иррациональностей, тригонометрических и некоторых других выражений.

1 курс, 2 семестр.

Определённые интегралы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока. Основная лемма о существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Аддитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по Курцвейлю-Хенстоку. Формула Ньютона-Лейбница и следствия из неё.

Верхняя мера Лебега и её свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость ограниченных и непрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну. Ограниченность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интегралов Римана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него дополнительные свойства интеграла Римана.

Интегрируемость по Мак-Шейну функции, равной нулю почти всюду. Два определения измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейну ограниченных измеримых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование первообразных.

Леммы Сакса-Хенстока. Непрерывность интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну. Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали. Дифференцируемость почти всюду интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом.

Определённые интегралы Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и Курцвейля-Хенстока-Стилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограниченной вариации и их свойства. Функции ограниченной вариации как разность неубывающих функций. Интегрируемость в смысле Римана-Стилтьеса непрерывных функций по функциям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле Римана-Стилтьеса. Сведение интеграла Римана-Стилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Первая и вторая теоремы о среднем.

Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.

Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство , норма и метрика в нём. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компакты, их свойства. Критерий компактности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки. Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в , их пределы, свойства. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полнота .

Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах). Непрерывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип сжимающих отображений. Связные множества в метрических и нормированных пространствах и их свойства. Путь, длина пути и её свойства в метрических, нормированных пространствах и в .

Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Геометрический смысл дифференцируемости функций нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению. Градиент. Правила дифференцирования. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.

Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа, интегральной и Пеано. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия его существования. Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции. Условный экстремум. Метод неопределённых множителей Лагранжа его отыскания.

2 курс, 3 семестр.

Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Операции над рядами. Абсолютная и условная сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости: ограниченность частичных сумм, сравнения. Признаки де Аламбера, Коши, интегральный Коши-Маклорена, Куммера, Раабе и Гаусса. Ряды с членами произвольных знаков и ряды комплексных чисел. Признак Лейбница. Преобразование Абеля. Последовательности ограниченной вариации и их свойства. Признаки Абеля и Дирихле.

Теоремы Коши и Римана о перестановках членов ряда. Умножение числовых рядов. Теоремы Коши и Мертенса. Бесконечные произведения. Условия сходимости. Разложение функции в бесконечное произведение. Метод суммирования Чезаро (средних арифметических), его вполне регулярность и необходимое условие суммируемости. Метод суммирования Абеля. Теорема Фробениуса о суммируемости методом Абеля рядов, суммируемых по Чезаро. Вполне регулярность метода Абеля.

Критерий Маркова-Гордона перестановки предельных переходов. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Операции с равномерной сходимостью. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Дини, Лейбница, Абеля и Дирихле равномерной сходимости. Теорема об изменении порядка пределов и следствия из неё. Полнота пространства C(K) непрерывных на компакте функций. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.

Критерий компактности Хаусдорфа. Равностепенная непрерывность. Теорема Арцеля-Асколи. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Теорема единственности. Теорема Абеля. Функции комплексного переменного. Формула Эйлера.

Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции.

Функции, зависящие от параметра; равномерное стремление к пределу; связь с равномерной сходимостью последовательностей. Критерий Коши. Свойства равномерной сходимости. Перестановка пределов, дифференцирование и интегрирование пределов функций, зависящих от параметра.

Собственные интегралы с параметром. Их свойства: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость.

Несобственные интегралы с параметром, их равномерная сходимость. Критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дини, Абеля и Дирихле. Свойства несобственных интегралов с параметром: переход к пределу, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость (собственная и несобственная). Интеграл Дирихле.

Интегралы (функции) Эйлера, их свойства. Связь бетта и гамма функций. Формула дополнения гамма-функции. Интеграл Пуассона. Формула Стирлинга.

Пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Тождество Бесселя и неравенство Бесселя. Ортогональные системы и ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье. Замкнутость, равенство Парсеваля-Ляпунова, полнота; связь этих понятий.

Свёртка и её свойства. Аппроксимативная единица (δ-образная последовательность) и теорема о ней. Примеры. Теоремы Вейерштрасса о приближении полиномами и тригонометрическими многочленами.

Пространство l², его полнота.

Измеримые функции и их свойства. Теорема Егорова. Измеримость интегрируемых по Курцвейлю-Хенстоку функций. Эквивалентность интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока на ограниченных функциях. Неравенство Чебышёва и теорема Б. Леви (о предельном переходе) для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока. Критерий интегрируемости неотрицательных измеримых функций и следствия из него. Эквивалентность интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока на неотрицательных функциях.

Пространство его полнота. Замкнутость системы многочленов Лежандра в и тригонометрической системы в Тригонометрические ряды Фурье и их свойства: линейность, инвариантность относительно сдвигов, симметрий, сжатий, дифференцирования; ряд Фурье свёртки, равенство Парсеваля-Ляпунова, почленная интегрируемость. Стремление к нулю коэффициентов Фурье интегрируемых по Мак-Шейну функций. Представление частичных сумм. Ядро Дирихле. Признак Дини и следствия из него. Принцип локализации Римана. Признак Дирихле-Жордана. Суммирование тригонометрических рядов методами Чезаро-Фейера и Абеля-Пуассона.

2 курс, 4 семестр.

Брусы и простые множества в , их мера и её свойства. Мера Жордана. Измеримые множества и их свойства. Кратный интеграл Римана, его определение и простейшие свойства. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости Дарбу. Множества меры нуль по Лебегу. Критерий интегрируемости Лебега. Некоторые свойства кратного интеграла Римана. Теоремы о связи интеграла Римана и меры Жордана. Теоремы о сведении кратных интегралов к повторным. Замена переменных в кратном интеграле: мера образа множества меры ноль по Жордану (Лебегу); одновременная интегрируемость. Теорема о замене переменных в кратном интеграле.

Несобственный кратный интеграл.

Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Грина. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования. Поверхности в , их площадь. Поверхностные интегралы I и II рода, их свойства. Кусочно гладкие поверхности. Формула Остроградского-Гаусса. Ротор векторного поля. Формула Стокса. Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Грина. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.

Поверхности в , их площадь. Поверхностные интегралы I и II рода, их свойства. Кусочно гладкие поверхности. Формула Остроградского-Гаусса. Ротор векторного поля. Формула Стокса.

Пространство, сопряженное к . Антисимметричные билинейные и полилинейные формы и их свойства. Внешнее произведение. Касательное пространство. Касательное отображение. Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование. Замена переменных. Интеграл от дифференциальной формы по цепи. Обобщённая формула Стокса и её частные случаи.