МНОЖЕСТВО ПАРЕТО В ЗАДАЧЕ ХЕДЖИРОВАНИЯ НЕСКОЛЬКИХ АКТИВОВ ОПЦИОНАМИ

Уренцов О. В.
(Вычислительный центр РАН, Москва, helgu@hotbox.ru)

Введение

Проблема управления рисками является одной из основных проблем в финансовой инженерии. Важное место среди финансовых инструментов, используемых для ее решения, занимают опционы. Опционы — это контракты, которые гарантируют своему покупателю право, но не обязательство, что-либо предпринять. Чаще всего, это право купить или продать определенное количество единиц некоторого базового актива по оговоренной цене. Опционы имеют ограниченный срок действия. Если опцион не исполняется к концу своей «жизни», он теряет свою силу. Опционы, которые могут быть исполнены в любой момент в течение заданного интервала времени, называются американскими, а те, которые можно исполнить лишь по прошествии заранее фиксированного периода времени, — европейскими. В настоящей статье рассматриваются европейские опционы. Опционы делятся на два вида – call и put. Опционы call гарантируют их держателям право покупки некоторого количества единиц базового актива по цене исполнения (страйку) опциона. Напротив, опционы put гарантируют их владельцам право продать некоторое количество единиц базового актива по цене исполнения опциона. За такое право покупатель опциона платит определенную сумму, зависящую от страйка и срока исполнения опциона и называемую ценой или премией опциона.

На рынке владелец каких-либо активов не может угадать, сколько они будут стоить в будущем: цены могут как вырасти, так и упасть.

Однако он может воспользоваться инструментом опционов, дабы снизить потери при неблагоприятном развитии событий.

1. Модель рынка

Рассмотрим ситуацию с несколькими активами. Их стоимости в различные моменты времени являются случайными величинами и задаются функциями распределения. Владелец активов имеет возможность застраховаться от нежелательной конъюнктуры цен на рынке путем покупки опционов. Цены на опционы зависят от их страйков. Возможности владельца активов ограничим предположением о том, что его целью является именно хеджирование, а не спекуляция. Через случайные величины стоимости активов выражается суммарный финансовый поток, приведенный к определенному периоду времени по определенной дисконтной ставке, поэтому он сам по себе тоже носит случайный характер и тоже задается некоторой функцией распределения.

2. Постановка задачи.

Для владельца активов решающей величиной является суммарный финансовый поток. Он зависит от страйка опциона и от затрат, произведенных на покупку опционов. Поскольку результирующий финансовый поток является случайной величиной вследствие зависимости от цен на активы, то нижний уровень финансового потока, а также вероятность его получения тоже являются важными для владельца. Таким образом, возникает задача нахождения множества Парето в пространстве нескольких критериев.

В работе [2] была рассмотрена однокритериальная задача минимизации расходов при фиксированной вероятности и уровне исполнения для двух активов. Удалось решить задачу лишь в частном случае. Поэтому стал актуальным вопрос о ее численном решении в общем случае. Это дало бы одну точку из трехмерного множества Парето.

Если для рассматриваемого случая верно, что линейная комбинация частных критериев дает паретовскую точку, то решение задачи о построении всего множества Парето может существенно продвинуться.

Литература

1. 
   Ereshko F.I., Gasanov I.I. Computation of the Pareto Set under Options Hedging // The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence, International Joint Conference on Neural Networks. USA, Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002
   
2. 
   Уренцов О. В. Вспомогательная задача для нахождения множества Парето в задаче хеджирования двух активов опционами // Современные сложные системы управления (HTCS'2004): Материалы IV международной конференции. – Тверь: ТГТУ, 2004