Несколько ответов к вопросам первого задания осеннего семестра

Несколько ответов к вопросам первого задания осеннего семестра.

Материальная точка – геометрическая точка, которой поставлено в соответствие положительное число - масса.
Системой отсчета (баз добавления слова геометрическая) в механике называется геометрическая система отсчета (геометрическая твердая среда), дополненная «часами», находящимися в каждой точке рассматриваемой геометрической твердой среды и синхронизированными по времени (время течет независимо от положения часов). Геометрическая твердая среда – континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы.(А12)
Траектория – кривая, по которой движется точка [тело] (А15)
Скорость точки
Ускорение
Способы задания движения: Координатный способ предусматривает введение обобщенных координат. Это любые три независимые величины, однозначно задающие положение точки в пространстве. Обознаются: Eстественный способ задания движения материальной точки Движение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качестве параметра выступает длина дуги траектории . Маркеев выделяет еще векторный способ (задание радиус-вектора, но по сути это то, же, что и задание координат)
↑↑↑
декартовы координаты (см. рис. 1).Эта система ортогональных осей неподвижна. С осями связываются орты , соответственно
Цилиндрические координаты: x = rcos φ, y = rsin φ, z=z. Полярные координаты – частный случай цилиндрических при z=const
В полярных координатах () для компонент скоростей вдоль координатных линий и вводятся, соответственно, термины: - радиальная скорость, - трансверсальная скорость. - радиальное ускорение, - трансверсальное ускорение.
Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:
Это любые три независимые величины, однозначно задающие положение точки в пространстве. Обознаются: .
Наряду с обобщенными координатами вводятся координатные линии – линии, которые описывает точка при изменении каждой из координат при фиксированных других. Выделяется произвольный момент времени . Фиксируется , т.е. . Эта даст координатную линию . Аналогично: даст координатную линию , и даст координатную линию
По правилам взятия производной сложной функции Орты: . Вводят величины - коэффициенты Ламе. С их помощью выражение для скорости принимает вид: .

Вводятся орты (локальный базис) - единичные векторы по касательным к координатным линиям . Каждому моменту времени, в общем, соответствует своя конфигурация ортов. Они могут быть неортогональны.
Для нахождения коэффициентов Ламе можно использовать формулу, где - элемент дуги вдоль соответствующей координатной линии . В декартовых координатах, например, все коэффициенты Ламе равны единице, и
Оси криволинейных координат не всегда ортогональны, поэтому стараются использовать ортогональные, для которых:
Цилиндрические координаты: Рассмотрим сферические координаты. Пользуясь формулой , находим . Тогда ,

Естественный способ задания движения. Движение рассматривается вдоль конкретной заданной траектории, а в качестве параметра выступает длина дуги траектории . Вводится естественный трехгранник Дарбу, состоящий из ортогональных ортов касательной, нормали и бинормали к данной точке траектории (). Скорость и ускорение: , где где - радиус кривизны траектории.
Касательный орт направлен по касательной к траектории в данной точке, нормаль к центру кривизны траектории, а бинормаль строится как векторное произведение . [Центр кривизны это центр соприкасающейся окружности (окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность испытывают касание, порядок которого не ниже 2.) с радиусом 1/k. (W)]
Естественный трехгранник Дарбу состоит из ортогональных ортов касательной, нормали и бинормали к данной точке траектории
См. п. 20 ↑↑↑
См. п. 20 ↑↑↑

Твердое тело – такая совокупность материальных точек, что расстояние между любыми двумя неизменно. С твердым телом жестко связана другая система координат , с началом в точке твердого тела и движущаяся относительно неподвижного пространства.

Закон распределения скоростей в твердом теле: . Закон распределения ускорений в твердом теле

Вектор угловой скорости вводится так, что : .Угловое ускорение .

Мгновенная ось вращения – ось, проходящая через вектор (геометрическое место точек с нулевыми мгновенными скоростями).
, здесь - вращательное ускорение, - осестремительное (всегда направлено к мгновенной оси вращения) [формула Ривальса – то же для любых 2х точек твердого тела]

Когда мгновенная ось неподвижна (), тогда вращательное ускорение совпадает с касательным и осестремительное ускорение совпадает с нормальным . В общем случае (), данное соотношение не выполняется, и кроме того, и не ортогональны.

Плоскопараллельное движение - это движение твердого тела, при котором движения всех его точек лежат в плоскостях параллельных некоторой плоскости. Для него
Кривошип — звено кривошипного механизма, совершающее цикловое вращательное движение на полный оборот вокруг неподвижной оси. (W)
Шатун - подвижная деталь механизма, соединяющая поступательно перемещающуюся деталь с вращающимся валом. Крейцкопф (ползун) - деталь кривошипно-ползунного механизма, совершающая возвратно-поступательное движение по неподвижным направляющим. Подшипник — изделие, являющееся частью опоры, которое поддерживает вал, ось или иную конструкцию, фиксирует положение в пространстве, обеспечивает вращение, качение или линейное перемещение с наименьшим сопротивлением, воспринимает и передаёт нагрузку на другие части конструкции. Подпятник - опорная деталь, поддерживающая вертикальный вал и воспринимающая на себя всю действующую вдоль оси вала нагрузку (упорный подшипник) Шарнир - подвижное соединение деталей, конструкций, допускающее вращение только вокруг общей оси или точки. (W)
Движение тела с одной неподвижной точкой: , а - инвариант относительно выбора полюса
. Угловая скорость вращения мгновенной оси – угловая скорость, с которой вращается мгновенная ось вращения. (КЭП). Мы использовали ее в задаче про конус, который катался по плоскости и угловая скорость движения его точек складывалась из угловой скорости движения его мгновенной оси и угловой скорости движения точек относительно этой самой оси.
В кинематике любое движение можно свести к сложению абсолютного и относительного движений. Движение подвижной оси относительно неподвижной – переносное движение, а вот уже движение относительно подвижной – относительное движение.
Абсолютное движение ( [=absolute]) – движение точки относительно неподвижной среды, Относительное движение ([=relative]) – движение точки относительно подвижной среды, Переносное движение () – движение подвижной среды относительно неподвижной среды (или движение точки за счет подвижной среды, как если бы точка была «приклеена»)
Скорости и ускорения обозначенных движений можно складывать:
Формула Кориолиса: , где - ускорение Кориолиса.
Если твердое тело движется относительно некоторой подвижной среды и вместе с ней движется относительно другой, принятой за неподвижную, то иногда оказывается удобным при определении скоростей и ускорений точек тела пользоваться формулами: где
Метод Виллиса позволяет определить угловые скорости в плоских механизмах, наподобие, кривошипа. Переходим в систему отсчета, неизменно связанную с кривошипом. В этой системе отсчета кривошип неподвижен, а абсолютные угловые скорости всех колес изменятся на величину . Затем записываются условия равенства скоростей точек касания соседних колес в системе, связанной с кривошипом и, собственно, находятся угловые скорости.
Поступательная СК – СК, движущаяся поступательно относительно условно неподвижной. В таких системах кориолисово ускорение отсутствует. Вращательная СК, соответственно, совершает вращательное движение относительно условно неподвижной (предположение, в учебниках такого нет) .
Величина и линия действия – скользящий вектор. Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если одна из другой получается с помощью элементарных операций: добавление элементарного векторного нуля, а также сложение пучка векторов и разложение векторов в пучок. Также следует сказать, что имеется два инварианта системы векторов относительно выбора полюса: главный вектор и проекция главного момента на главный вектор.

Критерий эквивалентности – две системы скользящих векторов эквивалентны в том и только в том случае, если равны их главные векторы и главные моменты относительно произвольно выбранного полюса.
Основные характеристики системы векторов – главный вектор и главный момент. - главный вектор, - главный момент, момент винта – проекция клавного момента на главный вектор (является инвариантом):
Найдется такая точка , что Предположим, есть еще такая точка : Тогда должна лежать на параллели и проходить через . На линии, проходящей через и , главный момент будет иметь минимальное значение. При этом главный момент равен , и называется моментом винта.Другими словами, приводя систему векторов к виду, при котором главный вектор и главный момент параллельны, мы приводим систему векторов к винту.
Приведение системы к винту и приведение системы векторов к простейшему виду это одно и то же.
Уравнение оси минимальных моментов:
В кинематике соответствует , а соответствует .

Случай	Теория скользящих векторов	Кинематика
	Винт	Кинематический винт
	Равнодействующая	Вращение
	Равнодействующая пара	Поступательное движение
	Равновесие	Покой

Постулаты динамики… Первый закон Ньютона: «Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго». Второй закон Ньютона: «В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе». Третий закон Ньютона: «Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению».(W). Принцип независимости действия сил: «Результат действия (сообщение уснорения, обратно пропорционального массе) силы не зависит от остальных действующих сил». Принцип освобождаемости от связей: «Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить их связи и заменить их реакциями». / Тела и поверхности, ограничивающие движение, называются связями, а силы – реакциями связей/
Механической связью называют ограничения, накладываемые на координаты и скорости механической системы, которые должны выполняться на любом её движении.(W)

Основные динамические величины: импульс , момент импульса и кинетическая энергия .

Понятия инерциальной и неинерциальной систем отсчета определяется первым законом Ньютона.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы точек (твердого тела) равна кинетической энергии движения центра масс системы с мысленно сосредоточенной в нем массой всех точек (твердого тела), плюс кинетическая энергия относительного движения относительно системы отсчета с началом в центре масс и движущейся поступательно.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Законы изменения основных динамических величин:
Если поле описывается одной функцией, то это поле будет потенциальным, при условии, что для : - дифференциальный критерий потенциальности поля.
Элементарная работа:
Элементарная работа потенциальных сил:
↑↑↑
Качение без проскальзывания – качение, при котором скорость точки соприкосновения тела с поверхностью равна скорости поверхности.
Из формулы Кориолиса можно получить закон изменения импульса в неинерциальной системе отсчета , где вводятся переносная и кориолисова силы инерции:
Законы изменения основных динамических величин в НСО: (кориолисова сила работы не совершает)
Условия относительного равновесия – условия равновесия в неинерциальной системе отсчета – изменение основных динамических величин равно нулю (см. уравнения выше)
Нахождение точки приложения переносной силы инерции однородного вращающегося стержня. . . Если - расстояние от до элемента , то , а . Итак, . Можно было найти это расстояния из соображений того, что в треугольнике центр тяжести находится на медиане расстоянии 2/3 от вершины.
Центральные силы
Закон площадей (справедлив для любого центрального поля)
Используя закон площадей можно получить формулу Бине: Если записать второй закон Ньютона и немного его преобразовать, можно получить уравнение Бине: . Есть подозрение, что переменные Бине это 1/r и φ. По крайней мере,других переменных в формулах Бине нет.
Вторая формула Бине: В поле всемирного тяготения , т.е. , где - решение коническое сечение - эллипс, в другой форме решение пишут так:
Задача двух тел – изучение движения двух материальных точек под действием сил их взаимного притяжения или отталкивания. В ходе решения задачи вводится понятие приведенной массы и устанавливается, что в этой задаче могут происходить только плоское движение. (А99)
Уравнение конического сечения в полярных координатах, связанных с фокусом эллипса и направлением на перигей: (полярная ось совпадает с направлением на перигей)
Связь фокального параметра и эксцентриситета с геометрическими характеристиками эллипса:
Связь фокального параметра и эксцентриситета с динамическими величинами в центральном поле с потенциальной энергией : ,
Связь значения эксцентриситета с формой траектории: => эллипс ( => окружность радиуса ), => парабола, => гипербола
- финитное движение (спутники, планеты), - инфинитное движение. При инфинитном движении тело может удалить сколь угодно далеко, при финитном – нет. («финитное»=ограниченное) (W)
Первая космическая скорость(7.9 км/с) — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. Вторая космическая скорость (11.2 км/с) (параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.(W)
Законы Кеплера для планет: I «Каждая из планет солнечной системы совершает плоское движение с постоянной секторальной скоростью». II «Траекториями всех планет служат эллипсы, в общем фокусе которых расположено Солнце». III «Отношение квадратов времен обращения планет к кубам больших полуосей их эллиптических траекторий одинаково для всех планет: »
Рассеивание частиц, которое производил Резерфорд называют Кулоновским рассеиванием потому, что оно базируется исключительно на силах электростатического взаимодействия, и минимальное расстояние между частицами зависит только от потенциала поля. Ньютоновское поле – поле гравитационных сил, минимальное расстояние зависит от размеров частиц. Прицельное расстояние (прицельный параметр - параметр удара), в теории рассеяния частиц расстояние между рассеивающим силовым центром и линией первоначального движения рассеиваемой частицы. Формула Резерфорда - это формула для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц в телесный угол Ω, в кулоновском поле другой неподвижной заряженной частицы или ядра (мишени). В системе центра инерции записывается следующим образом: , где Z1 и Z2 — заряды налетающей частицы и мишени, m,v — масса и скорость налетающей частицы, Θ — двумерный угол рассеяния, e — элементарный заряд, dσ — дифференциальное сечение, Ω — телесный угол(W)
Законы изменения импульса и кинетического момента системы переменного состава: , где , а , где
Уравнение Мещерского: , где - скорости уходящих и приходящих масс в подвижной поступательной системе, связанной с телом.
Формула Циолковского является решением уравнения Мещерского при отсутствии внешних сил, а масса в систему «не приходит»:

Oz – неподвижная ось. Тогда для нее выполняется:В правой части уравнения второе слагаемое – проекция момента реактивных сил на ось Oz. Следует учитывать, что момент инерции относительно оси z – величина переменная. Это уравнение описывает вращение переменного состава вокруг неподвижной оси (М273)

Кватернион (от лат. quaterni - по четыре) - обобщение понятия комплексного числа. Имеет вид: , где - специальные единицы. . По сути представляет из себя пару скаляра и вектора. Для базисных векторов вводится операция кватернионного умножения. Если запишем , то
Свойства кватернионного умножения: дистрибутивность , ассоциативность , отсутствие коммутативности в общем случае - равенство выполняется только при коллинеарности, когда =0, но - при циклической замене кватернионов.
Сопряженный кватернион: , следует заметить, что , нормированный кватернион: , обратный кватернион: ,
Тригонометрическая запись кватерниона:
Кватернионные уравнения можно решать переходя к тригонометрической записи кватерниона и используя формулу, аналогичной формуле Муавра , а можно – в векторной форме.
Параметры Родрига-Гамильтона – компоненты кватерниона в его собственном базисе. Собственный базис кватерниона - тот базис, поворот из которого задается этим кватернионом. Например, повороты на углы Эйлера задаются в собственном базисе: ;; .
Произвольное положение твердого тела с неподвижной точкой относительно базиса задается некоторым нормированным кватернионом по формулам: . При этом каждому положению твердого тела соответствуют два значения кватерниона, отличающиеся знаком. Для точки: . Кватернионы, рассматриваемые как алгебра на R, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно 0 может быть записан в виде , где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . (W)

Теорема Эйлера о конечном повороте. Любое положение твердого тела с неподвижной точкой может быть получено из начального положения одним поворотом вокруг некоторой оси на некоторый угол . При этом ось конечного поворота коллинеарна векторной части кватерниона , а угол конечного поворота определяется формулой .
В общем базисе в случае поворотов, задаваемых кватернионами итоговый поворот задается произведением в обратном порядке: . В собственном базисе – в прямом порядке (*- значит, что кватернионы заданы в собственном базисе):
Углы Эйлера ( - угол прецессии, - угол нутации, - угол собственного вращения) , , - в собственном базисе

Оператор набла (Гамильтона): . Приобретает смысл в сочетании со скалярной функцией, к которой применяется. Градиент — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой: Дивергенция – дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное: , . Ротор – дифференциальный оператор над векторным полем: (W)
Частная производная – производная, которая берется по определенной переменной, при взятии которой остальные переменные, от которых может зависеть функция полагаются константами. Полная производная - производная функции по времени вдоль траектории. (W)
Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям и равный по модулю площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Справедлива формула , где