Стонякін Федір Сергійович

Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського
НОВАЯ ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА ДЛЯ ИНТЕГРАЛА БОХНЕРА
Научное направление: 1. математика и механика, 1.1. математика.

Ключевые слова: теорема Радона-Никодима, интеграл Бохнера, локально выпуклое пространство, -субдифференциал, -липшицево отображение.
ВВЕДЕНИЕ
Как хорошо известно [1 – 6], классическая теорема Радона-Никодима о представимости абсолютно непрерывных функций множества в виде интег-рала Бохнера неверна для отображений в произвольные локально выпуклые пространства (ЛВП). Это обстоятельство, в частности, привело к понятию свойства Радона-Никодима (RNP). В случае конечной меры µ, заданной на борелевской σ-алгебре подмножеств вещественного полусегмента , любое счётно-аддитивное µ-абсолютно непрерывное отображение в пространство с RNP, имеющее сильную ограниченную вариацию, представимо в виде неопределённого интеграла Бохнера. Пространства с RNP играют важнейшую роль в анализе ввиду связей с современными теорией вероятностей, теорией игр, гармоническим анализом и топологией [7–9]. Тем не менее, ограниченность класса пространств с RNP привело к активной работе над созданием новых теорем типа Радона-Никодима для отображений в векторные пространства [5, 10 – 14].

В настоящей работе мы по-новому подходим к этой задаче для отобра-жений , где – произвольное вещественное отделимое ЛВП, и вводим новое понятие -субдифференциала (определение 1), на базе кото-рого доказываем новую форму теоремы Радона-Никодима о представимости в виде интеграла Бохнера (теорема 1). В работе использована методика негладкого анализа, теории меры и интеграла, а также функционального анализа. Результаты поданы к опубликованию в один из украинских научных журналов.

1. -СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЙ МНОЖЕСТВА

Понятие субдифференциала как обобщение понятия производной возникло для выпуклых функций и со временем нашло многочисленные приложения и обобщения, большей частью – в теории оптимизации и дифференциальных уравнений [15 – 17]. В данном пункте для отображений мы введём новое понятие -субдифференциала. Обозначим через произвольную замкнутую выпуклую окрестность нуля в ЛВП E, – замкнутую выпуклую оболочку множества .

Определение 1. Для произвольного частным -субдифференциалом в точке , отвечающим , назовём следующее множество:

; если , то

будем считать, что ( – нуль в ).
Множество назовём -субдифференциалом, а отоб-ражение -субдифференцируемым в точке x, если компактно и

окрестн. .
Если µ – классическая мера Лебега на , то -субдифференциал условимся называть просто -субдифференциалом и обозначать . Следующие свойства -субдифференциала проверяются непосредственно.

Предложение 1. Если отображение дифференцируемо по мере µ в точке , то .
Предложение 2. Пусть аддитивно. Тогда , где . Если дифференцируемо в обычном смысле справа и слева, то -субдифференциал есть следующий векторный отрезок
.

Предложение 3.

где G – ЛВП, а – множество лин. огранич. операторов из E в G.

В пункте 3 будет показано, что -субдифференцируемость является значительно более общим понятием, чем дифференцируемость по мере µ.
2. НОВАЯ ТЕОРЕМА РАДОНА-НИКОДИМА
В этом пункте мы докажем главный результат работы. Начнём с ряда вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Пусть отображение -субдифференцируемо в точке . Если последовательность полусегментов стягивается к , то содержит все возможные частичные пределы последовательности

. (1)

Более того, если ЛВП метризуемо, то такие пределы обязательно существуют.

Доказательство. Заметим, что в силу определения 1 все возможные пределы любой последовательности (1) содержатся в каждом из множеств , и потому содержатся и во множестве .

Пусть теперь – метризуемое ЛВП. Для некоторой последовательности - окрестностей нуля , где , имеем

, тогда

. (2)

Выберем теперь последовательность точек из пересечений (2). Так как множество компактно, а значит и секвенциально компактно (то есть любая последовательность элементов имеет сходящуюся подпоследовательность) в силу метризуемости ЛВП [18], то содержит подпоследовательность . Тогда , ч.т.д.

Следующий результат является следствием предложения 3(iii) и класс-сической теоремы Радона-Никодима для вещественнозначных функций [19].
Лемма 2. Пусть отображение счётно-аддитивно, абсолютно непрерывно относительно конечной меры µ и -субдифференцируемо µ-почти всюду на . Тогда для произвольного и селектора справедливо

µ-п. в. на . (3)

Пусть – определяющее семейство полунорм в ЛВП Напомним, что имеет сильную ограниченную вариацию, если конечна величина ; F µ-абсолютно непрерывно, если ( – нуль в E).

Применяя лемму 1 и сепарабельность множества в случае, если имеет сильную ограниченную вариацию (и, следовательно, не более, чем счётное множество точек разрыва), можно проверить следующий вспомогательный результат.
Лемма 3. Пусть – вещественное банахово пространство, имеет сильную ограниченную вариацию и -субдифференцируемо µ-почти всюду на . Тогда любой селектор сепарабельнозначен µ-п. в. на .

Теперь переходим к основной теореме. Напомним, что интегрируемость некоторого отображения по Бохнеру в ЛВП означает его интегрируемость во всех фактор-пространствах, построенных по ядрам определяющих полу-норм ЛВП и пополненных относительно фактор-норм.

Теорема 1. (Теорема Радона-Никодима). Пусть счётно-аддитивное абсо-лютно непрерывное относительно конечной меры µ отображение имеет сильную ограниченную вариацию и -субдифференцируемо µ-п.в. на . Тогда произвольный селектор µ-интегрируем по Бохнеру на и справедливо равенство

. (4)

Доказательство. 1) Рассмотрим произвольный селектор и функци-онал . Учитывая µ-абсолютную непрерывность и равенство (3), получаем ,

откуда вытекает µ-инегрируемость по Петтису на и равенство

. (5)

2) Покажем, что произвольный селектор в равенстве (5) µ-инегрируем на по Бохнеру. Пусть – пополнение фактор-пространств относительно фактор-норм , – канонические вложения, . Применяя к обеим частям (5), получим

. (6)

Следовательно, любой селектор слабо µ-измерим, а в силу леммы 3 µ-п.в. сепарабельнозначен и поэтому (см. [2, с.86]) сильно измерим. Далее, введём следующую последовательность функций множеств на :

для ,

. (7)

Поскольку имеет сильную ограниченную вариацию и каждая точка лежит только в одном полусегменте вида (7), то для произвольных и имеем

. (8) Заметим, что для произвольной точки -субдифференцируемости ото-бражения (а значит и ; в силу предложения 3(iii)) имеется последовательность полусегментов вида (7), стягивающихся к . Тогда по лемме 1 множество частичных пределов последовательности , где непусто и содержится в . Обозначим

через и выберем такую функцию , что

.

Не уменьшая общности рассуждений и переходя, если нужно, к подпоследо-вательности, получаем для некоторого . Имеем

µ-п.в. на . (9)

Поскольку сильно измерим, то из (8), (9), µ-интегрируемости веще-ственной функции (см. [19], гл. 3, § 6) и известной теоремы Фату [19] вытекает, что , т.е. селектор интегрируем по Бохнеру на [2]. Теперь из (6) вытекает

. (10)

Так как пространство банахово, то из (10) по стандартной схеме (см. [2], с. 101 и [19], с. 142) можно показать, что µ-п.в. на верно равенство (производная берётся в банаховом пространстве ), то есть множество µ-п.в. одноточечно на . Следовательно, все селекторы µ-п.в. совпадают на и произвольный селектор интегрируем по Бохнеру на , откуда ввиду призвольности следует, что любой селектор интегрируем по Бохнеру в . Остаётся лишь заметить, что равенство (4) теперь вытекает из (5).

Замечание 1. Известен ряд теорем Радона-Никодима [5, 10 – 14] для вектор-нозначных функций множества , в которых наряду с условиями абсо-лютной непрерывности и ограниченности сильной вариации на отображение налагается так называемое условие компактности среднего образа (или очень близкое к нему), которое значите-льно сложнее условия -субдифференцируемости µ-п.в. на I (здесь рассмат-риваются все измеримые множества , а не только полусегменты).
3. -ЛИПШИЦЕВЫ ОТОБРАЖЕНИЯ
Теперь перед нами возникают два естественных вопроса: существуют ли отображения, удовлетворяющие условиям теоремы 1, и нельзя ли заменить условие µ-почти всюду -субдифференцируемости обычной дифференци-руемостью по мере? В этом пункте мы введём класс -липшицевых отобра-жений в отделимые ЛВП и покажем, что любое отображение из этого класса удовлетворяет условиям теоремы 1. Более того, мы построим пример -липшицева отображения, являющегося -субдифференцируемым, но не дифференцируемым по мере µ всюду, кроме одной точки (пример 1) .
Определение 2. Будем говорить, что отображение -липшицево на (или ), если существует такой выпуклый компакт , что

. (11)

Если µ – классическая мера Лебега на прямой, то будем говорить, что отображение -липшицево и обозначать .

Мы сохраняем обозначения предыдущих пунктов. Заметим, что если , то µ-абсолютно непрерывно и имеет сильную ограниченную вариацию (т.к. ). Далее, и достат. малого , откуда . Выберем .

Поскольку , а множество секвенциально компактно (см. доказательство леммы 1) в банаховом пространстве , то по лемме 1 -субдифференцируемо на , причём . Теперь по теореме 1 , откуда в силу определения интеграла Бохнера . Пример 1. Пусть – пространство вещественных функций на с определяющей системой полунорм , соответствующей топологии поточечной сходимости. Обозначим через классическую меру Лебега на прямой. Определим отображение , где , следующим образом: и .

Положим . Как оказывается, имеет левую и правую производные всюду на : , , где ; . Легко видеть, что и поэтому нигде на не дифференцируемо. Однако ввиду предложения 2 всюду на -субдифференцируемо и (векторный отрезок).

Далее, отображение имеет сильную ограниченную вариацию и является абсолютно непрерывным относительно меры . Следовательно, в силу теоремы 1 . Более того, согласно теореме о среднем для интеграла Бохнера (см. [3]) , где .

Непосредственной проверкой устанавливается секвенциальная компакт-ность, а значит, и компактность множества . Далее, – компакт в силу отделимости и полноты ЛВП E, а также известной теоремы М.Г. Крейна [18]. Итак, для компакта верно (11), т.е. .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В первом пункте работы предложено новое в нелинейном анализе понятие -субдифференциала для функций множеств в ЛВП. Основные результаты содержатся во втором пункте, где доказана новая форма теоремы Радона-Никодима о представимости в виде интеграла Бохнера для отобра-жений (теорема 1). В пункте 3 введён новый класс -липши-цевых отображений, удовлетворяющих условиям теоремы 1; приведён пример, показывающий, что в случае неметризуемых ЛВП -субдиф-ференциал может лучше описывать дифференциальные свойства интеграла Бохнера, чем обычная дифференцируемость по мере.

По нашему мнению, главным выводом настоящей работы является то, что понятие субдифференциала, использовавшееся ранее преимущественно в задачах оптимизации, может оказаться полезным в теории векторнозначного интегрирования. Основная же теорема может применяться, например, для обобщения некоторых результатов как теоретических (напр., [7, 8]), так и прикладных (напр., [9]) работ для отображений в пространства без RNP.

СПИСОК ЦИТИРУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. 
   Bochner S. Integration von Funktionen, dere Werte die Elements eines Vektorraumes, – Fund. Math. – 20(1933) – P. 262–276.
   
2. 
   Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: ИЛ, 1962 – 829 с.
   
3. 
   Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures. – Amer. Math. Soc., Providence, 1977.
   
4. 
   Mikisinski J. The Bochner integral. – Birkh. Verlag, Basel, 1978.
   
5. 
   Chi G. A geometric characterization of Frechet spaces with RNT, – Proc. Amer. Math. Soc. – 48(1975) – P. 371–380.
   
6. 
   J.M.A.M. van Neerven. Approximating Bochner integral by Riemann sums, – Indag. Math. (N. S.) – 13(2002) – P. 197–208.
   
7. 
   Boyd C., Dineen S., Rueda M.P. Asplund operators on locally convex spaces, – Proc. Of the second ISAAC congress, Vol. 2, Kluwer Acad. Publ., Int. Soc. Anal. Appl. Comput. – 8(2000) – P. 1049–1056.
   
8. 
   Boyd C., Dineen S., Rueda M.P. Locally Asplund spaces of holomorphic functions, – Mich. Math. J. – 50(2002) – no 3 – P. 493–506.
   
9. 
   Amarante M., Maccheroni F., Marinassi M., Montrucchio L. Cores of
   

Non-Atomic Market Games. – New York, NY 10027, 2005.

10. 
    Moedomo S., Uhl J.J. Radon-Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals, – Pasific J. of Math. – 38(1971) – no 2 – P. 531–536.
    
11. 
    Gilliam D. Geometry and the Radon-Nikodym theorems in strict Mackey convergence spaces, – Pasific J. of Math. – 65(1976) – no 2 – P. 353–364.
    
12. 
    Sumbusini A.R. Un Theorema de Radon-Nikodym in spaze locamente con-vessi rispetto alla integrazione per seminorme, – Riv. Mat. Univ. Parma – 4(1995) – no 5 – P. 49–60.
    
13. 
    Ганиев И.Г., Сайдалиев З. Теорема Радона-Никодима для векторных мер со значениями в К-пространстве измеримых функций, – Успехи мат. наук – 50(1995), вып. 2 – С. 209–210.
    
14. 
    Р. дель Кампо, Э. де Амо. Техника секвенциальной плотности в приближённой версии теоремы Радона-Никодима, – Сибирский мате-матический журнал – 48(2007), N 3 – С. 586–592.
    
15. 
    Borwein J. M., Zhu Q. J. A survey of subdifferential calculus with applica-tions, – Nonlinear analysis. Ser. A: Theory and methods – 38(1999), N 6. – P. 62–76.
    
16. 
    Демьянов В.Ф., Рощина В.А. Обобщённые субдифференциалы и экзо-стеры, – Владикавказский мат. журнал – 8(2006), N 4. – С. 19–31.
    
17. 
    Girejko E., Piccoli B. On some consepts of generalized differentials, –
    

Set-valued analysis – 15(2007). – P. 163 – 183.

18. 
    Эдварс Э. Функциональный анализ. Теория и приложения. – М.: Мир, 1969 – 1069 с.
    
19. 
    Березанский Ю.М, Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. – К.: Вища школа, 1990 – 600 с.