А.В. Коротков, Ю.А. Куликов
Марийский государственный технический университет, Йошкар-Ола, Россия
Одним из источников упругих колебаний труб и трубопроводов являются пульсации давления рабочей среды. Под действием пульсаций труба совершает обычные вынужденные колебания, связанные с растяжением-сжатием стенки (труба “дышит”). В определённых условиях стационарные режимы колебаний становятся динамически неустойчивыми, в системе развивается параметрический резонанс.
Результаты исследования устойчивости осесимметричных форм колебаний прямолинейных труб, как тонкостенных цилиндрических оболочек, представлены в многочисленных работах, например [1]. Отличительной особенностью параметрических колебаний криволинейных труб является наличие наряду с простыми резонансами комбинационных резонансов суммарного типа [2].
Рис. 1. Расчетная схема
Рассмотрим трубу (рис. 1), осевая линия которой представляет дугу окружности радиуса
, длиной 
, с центральным углом (углом гиба) 
. Труба имеет идеально круглое поперечное сечение радиуса 
, причём 
. Толщина стенки 
. Края трубы закрыты абсолютно жесткими невесомыми заглушками. Стенка трубы образована перекрёстной спиральной намоткой волокон или армированной ленты на оправку. Распределения коэффициентов армирования и эффективных упругих постоянных в зависимости от углов армирования ±
, структуры пакета слоёв и технологической схемы намотки даны в [3].
Труба находится под действием моногармонического давления 
, где 
– среднее (рабочее) давление, 
– параметр пульсации; 
и 
– амплитуда и круговая частота.
Возмущённую форму, соответствующую отклонению движения от невозмущённого, аппроксимируем функциями вида:
(1)
Здесь 
и 
– перемещения точек срединной поверхности в окружном и радиальном направлениях, 
и 
– осевая и окружная координаты, 
– время, 
– обобщенные координаты, соответствующие стержневым (
= 1, 2 и 
= 1) и оболочечным ( = 1, 2 и = 2, 3, 4, …) формам. Индекс = 1 соответствует колебаниям в плоскости трубы, индекс = 2 – колебаниям по нормали к плоскости. Стержневая (балочная) форма отражает перемещения, связанные с движениями поперечного сечения трубы как жёсткого целого, оболочечные формы – перемещения, связанные с деформированием стенки оболочки. Рассматриваются = 2, 3, 4, .., 
волн в окружном направлении и одна полуволна в осевом направлении.
На основании аппроксимации (1), полубезмоментной теории анизотропных слоистых оболочек и уравнений Лагранжа второго рода получены две независимые системы связанных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами жесткости
, (2)
которые описывают параметрические колебания трубы, как в плоскости её кривизны, так и по нормали к плоскости. При этом 
– множитель, 
– масса единицы длины трубы, 
– жёсткость стенки на изгиб в окружном направлении, 
, 
, 
– эффективные упругие постоянные [4], 
– коэффициент параметрического возбуждения, 
– критическое внешнее давление, соответствующее статической потере устойчивости, 
– коэффициент демпфирования, 
. Элементы матриц 
, 
, 
определяются рекуррентными формулами [5].
Разрешающая система уравнений (2) описывает параметрические колебания связанной оболочечно-стержневой системы. Источником параметрического возбуждения служит периодическое изменение объёма внутренней полости. При этом давление ”работает” не на основных (осесимметричных) перемещениях, а на дополнительных перемещениях, связанных с изгибными деформациями стенки.
Из анализа структуры матрицы следует, что стержневая форма ( = 1) связана с оболочечной формой ( = 2). Это значит, что колебания трубы как стержня сопровождаются колебаниями стенки оболочки, связанными со сплющиванием поперечного сечения (проявляется эффект Кармана). Взаимодействие стержневой и оболочечных форм обусловлено упругими связями, интенсивность которых характеризуется недиагональными элементами матрицы и зависит от длины трубы и параметра кривизны 
. Чем короче труба и чем больше параметр , тем сильнее проявляются эти связи. Кроме того, оболочечные формы взаимодействуют друг с другом: раздельно – чётные гармоники ( = 2, 4, 6, …) и – нечётные гармоники ( = 3, 5, 7, …). Чем меньше радиус кривизны и больше число , тем сильнее взаимодействие.
В условиях номинального рабочего режима идеальную трубу рассматриваем как параметрически возбуждаемую систему с малой глубиной модуляции параметра 
. Анализ устойчивости упругих колебаний ограничиваем областью низших собственных частот. Для расчета границ областей неустойчивости при главных простых резонансах 
и главных комбинационных резонансах 
(
, 
= 1, 2, .., 5) используем метод малого параметра [1]. Возмущённую форму движения представляем в виде суперпозиции собственных форм. Для решения задачи на собственные значения используем метод Якоби.
В докладе представлены результаты исследования зависимости спектров низших собственных форм и частот от рабочего давления, а также геометрических, структурных и технологических факторов. Полученные результаты сопоставлены с данными расчётов МКЭ.
Показаны картины резонансных полос в зависимости от угла гиба трубы = 5º, 90º, 135º, 180º (при = const) и углов армирования = ±55º, ±65º, ±75º. Установлено, что при уменьшении кривизны трубы низшая собственная частота 
увеличивается, а высшие частоты 
, 
, 
, 
наоборот, уменьшаются и приближаются к собственным частотам прямой трубы. При этом области динамической неустойчивости смещаются в сторону меньших значений 
, относительная ширина полос сужается. При = 5º области неустойчивости 
и 
практически исчезают.
С увеличением углов армирования ± области динамической неустойчивости, соответствующие главным простым и главным комбинационным резонансам, смещаются в сторону больших значений . При этом области неустойчивости и сужаются, а области неустойчивости 
, 
, 
, 
и 
, 
, наоборот, расширяются.
литература
1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1956. – 600 с.
2. Куликов Ю.А. Вибропрочность тонкостенной криволинейной трубы под действием пульсирующего внутреннего давления // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 1993. – № 3. – С. 23–30.
3. Куликов Ю.А., Лоскутов Ю.В. Механика трубопроводов из армированных пластиков. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004. – 156 с.
4. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Анализ собственных частот колебаний тонкостенных многослойных труб из армированных пластиков // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2008 – Т. 14. – № 2. – С. 236–249.
5. Коротков А.В., Куликов Ю.А. Свободные колебания многослойных криволинейных труб из армированных пластиков // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2009. – Т. 15. – № 2. – С. 203–220.