Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет

"Высшая школа экономики"
Факультет бизнес-информатики

отделение прикладной математики

Программа дисциплины
Теория индивидуального и коллективного выбора

для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

Авторы: Ф.Т. Алескеров, А.Н. Субочев, С.Г. Кисельгоф

1. 
   Рекомендовано секцией УМС Одобрено на заседании кафедры
   
2. 
   Прикладная математика и информатика высшей математики
   
3. 
   на факультете экономики
   
4. 
   Председатель Заведующий кафедрой
   
5. 
   
   
6. 
   _____________ С.О. Кузнецов _____________ Ф.Т. Алескеров
   
7. 
   
   
8. 
   Утверждено УС факультета
   
9. 
   бизнес-информатики
   
10. 
    Ученый секретарь
    
11. 
    
    
12. 
    _______________ ____________
    

13. 
    
    
14. 
    Москва
    

1. Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины "Теория индивидуального и коллективного выбора" устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра изучающих дисциплину "Теория индивидуального и коллективного выбора".

Программа разработана в соответствии с:

Рабочим учебным планом университета по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра, утвержденным 26 августа 2011 г.
2. Цели освоения дисциплины

Цель дисциплины - углубление понимания обучающимися такого социального феномена, как индивидуальный и коллективный выбор, учебные задачи курса - углубленное освоение ряда основных разделов теории выбора, таких как теория локальных процедур агрегирования, теория решений, основанных на правиле большинства, и теория обобщенных паросочетаний.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные факты теории локальных процедур агрегирования, теории решений, основанных на правиле большинства,теории обобщенных паросочетаний;

Уметь: строго доказывать все утверждения, сделанные при изложении материала курса;

Владеть: терминологией и методами теории выбора.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения	ОК-1		использование формально-логических доказательств, практика анализа реальных ситуаций с помощью построения их математических моделей
способность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, происходящие в обществе, и прогнозировать возможное их развитие в будущем	ОК-4		использование формально-логических доказательств, практика анализа реальных ситуаций с помощью построения их математических моделей
способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь	ОК-6		использование формально-логических доказательств
владение одним из иностранных языков на уровне не ниже разговорного	ОК-14	знает английскую терминологию, умеет прочесть английский текст научной статьи по данной предметной области	чтение специальной литература на английском языке, знакомство с международной (английской) терминологией данной предметной области
способность анализировать и интерпретировать финансовую, бухгалтерскую и иную информацию, содержащуюся в отчетности предприятий различных форм собственности, организаций, ведомств и т.д. и использовать полученные сведения для принятия управленческих решений	ПК-7		решение задач, в которых осваиваются математические модели и методы, позволяющие анализировать и интерпретировать различную информацию, использующуюся для принятия управленческих решений
способность критически оценить предлагаемые варианты управленческих решений и разработать и обосновать предложения по их совершенствованию с учетом критериев социально-экономической эффективности, рисков и возможных социально-экономических последствий	ПК-13		решение задач, в которых осваиваются математические модели и методы, позволяющие анализировать и интерпретировать различную информацию, использующуюся для принятия управленческих решений

4. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавров по направлению 010500.62 «Прикладная математика и информатика».

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

Дискретная математика

Геометрия и алгебра

Теория вероятностей и математическая статистика

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

необходимо знать основные факты теории множеств, теории графов и теории игр, владеть базовой терминологией этих дисциплин, уметь строить и анализировать логически строгие доказательства математических утверждений.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

• 
  Современные методы принятия решений
  
• 
  Принятие решений при многих критериях
  
• 
  Принятие индивидуальных и коллективных решений
  
• 
  Современные модели теории игр
  
• 
  Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений
  
• 
  Анализ и поддержка решений
  
• 
  Математические модели политической экономики
  

5. Тематический план учебной дисциплины

Вид учебной работы	Всего часов / зачетных единиц	Модули
		1	2	3	4	5
Аудиторные занятия (всего)	80	16	24	40
Лекции	40	8	12	20
Семинары	40	8	12	20
Самостоятельная работа (всего)	136	24	48	64
Вид итоговой аттестации – экзамен
Общая трудоемкость часы зачетные единицы	216	40	72	104
	7,5

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Семинары	СР	Всего
1.	Постановка задачи выбора. Предпочтения и полезность – Классические модели.	2	2	6	10
2.	Максимизация полезности с постоянным порогом или с порогом, зависящим от одной альтернативы	2	2	6	10
3.	Максимизация полезности с порогом, зависящим от обеих альтернатив.	2	2	6	10
4.	Максимизация полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив	2	2	6	10
5.	Локальное агрегирование вида PP	4	4	16	24
6.	Локальное агрегирование вида СС	4	4	16	24
7.	Локальное агрегирование вида PС	2	2	8	12
8.	Нелокальное агрегирование	2	2	8	12
9.	Обобщенные паросочетания: классические результаты	8	8	25	41
10.	Структура множества устойчивых паросочетаний	4	4	13	21
11.	Механизмы построения устойчивых паросочетаний: теория и практика	4	4	13	21
12.	Задача распределения неделимых объектов.	4	4	13	21

6. Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год				Кафедра	Параметры
		1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	8					письменная работа, 180 минут
	Контрольная работа			4			Домашняя контрольная работа с устной презентацией
	Домашнее задание		?
Промежуточный	Зачет		*				письменный зачет, 80 минут
Итоговый	Экзамен			*			письменный экзамен, 80 минут, просмотр работ проводится не позднее 7 дней после даты проведения экзамена

7. Содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
	Постановка задачи выбора. Предпочтения и полезность – Классические модели.	Общий взгляд на проблему выбора. Описание возможных задач, связанных с рациональным выбором. Парадоксы голосования. История теории индивидуального и коллективного выбора. Бинарные отношения и предпочтения. Бинарные отношения и функции полезности. Важнейшие классы бинарных отношений: линейные порядки, слабые порядки, частичные порядки. Теорема представления для конечного множества альтернатив. Теорема представления для бесконечного множества альтернатив. Теорема Кантора. Практическое применение этих моделей.
	Максимизация полезности с постоянным порогом или с порогом, зависящим от одной альтернативы	Неотрицательные пороговые функции: случай интервального выбора. Интервальные порядки и полупорядки. Свойства интервальных порядков и полупорядков. Максимальные антицепи в интервальных порядках. Произвольные пороговые функции и бипорядки. Теорема о представлении интервальных порядков, полупорядков и бипорядков. Практическое применение этих моделей.
	Максимизация полезности с порогом, зависящим от обеих альтернатив	Теорема о представлении. Пороговые функции, удовлетворяющие свойству полуметрики. Случай аддитивных пороговых функций. Мультипликативные пороговые функции и их свойства. Мультипликативные пороговые функции – два специальных случая. Теоремы о представлении. Полупорядки и интервальные порядки, представимые через максимизацию полезности с порогами обоих специальных типов. Практическое применение этих моделей.
	Максимизация полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив	Четыре типа пороговых функций. Эквивалентные модели для максимизации полезности для этих типов пороговых функций. Свойства соответствующих функций выбора. Связь модели максимизации полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив, с теоремой Самуэльсона. Вложение отношений и проблема максимизации полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив. Слабые бипорядки и их представление. Аддитивные пороги, зависящие от множества альтернатив. Простые и простейшие полупорядки. Слабое условие Чипмана и описание простых полупорядков. Практическое применение этих моделей.
	Локальное агрегирование вида PP	Локальное агрегирование вида PP (и индивидуальные мнения, и коллективное решение выражаются в виде бинарных отношений). Рациональность индивидуального поведения. Типы бинарных отношений. Аксиома независимости от посторонних альтернатив. Списочное представление процедур. Нормативные свойства процедур коллективного выбора. Ограничения рациональности. Федерационные правила и их частные случаи - диктатор, олигархия, коллегия.
	Локальное агрегирование вида СС	Локальное агрегирование вида СС (и индивидуальные мнения, и коллективное решение выражаются в виде функций выбора). Свойства функций выбора. Нормативные свойства функциональных правил.
	Локальное агрегирование вида PС	Локальное агрегирование вида PС (индивидуальные мнения выражаются в виде бинарных отношений, а коллективное решение в виде функции выбора). Нормативные свойства соответствий коллективного выбора. Ограничения рациональности. Q-федерационные правила и их частные случаи: q-диктатор, q-олигархия, q-Паретовское правило и др. Механизмы коллективного выбора.
	Нелокальное агрегирование	Нелокальное агрегирование. Позиционные правила. Пороговое агрегирование. Аксиоматика порогового агрегирования. Применение этих правил.
	Обобщенные паросочетания: классические результаты	Классическая модель Гейла-Шепли. Рынок свадеб (паросочетания вида 1-к-1) и модель приемной кампании (паросочетания вида 1-ко-многим). Множество устойчивых паросочетаний как ядро коалиционной игры. Алгоритм отложенного принятия. Стимулы участников при сообщении предпочтений, манипулирование предпочтениями. Стимулы вузов при определении квоты.
	Структура множества устойчивых паросочетаний	Множество устойчивых паросочетаний как решетка. Верхний и нижний элементы множества устойчивых паросочетаний. Теорема о сельских больницах. Модификация понятия устойчивости в случае предпочтений, являющихся частичными порядками. Решеточная структура множества устойчивых паросочетаний в общих случаях.
	Механизмы построения устойчивых паросочетаний: теория и практика	Теоретические основания и практические аспекты внедрения механизмов построения устойчивых паросочетаний. Механизм распределения выпускников медицинских вузов для прохождения интернатуры. Механизмы распределения учеников по школам в Нью-Йорке и Бостоне, США. Механизмы распределения абитуриентов по вузам в Венгрии, Турции, Германии.
	Задача распределения неделимых объектов.	Задача распределения неделимых объектов Шепли-Скарфа при отсутствии денежного обмена («распределение домов»). Алгоритм Top Trading Cycles. Алгоритм Random Serial Dictatorship Богомольной-Мулена.

8. Образовательные технологии

Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Занятия по курсу проходят в форме лекций и семинаров, с элементами живого обсуждения, что требует хорошей самостоятельной подготовки студентов, которую следует мотивировать домашними заданиями. Студенты должны быть строго ориентированы на самостоятельное овладение вопросами дисциплины и самостоятельное выполнение заданий, предусмотренных данным курсом. Самостоятельная работа студентов является важнейшей частью их занятий по данному курсу. Для усвоения материала курса и подготовке к контрольным работам студенты обязаны дома решать задачи, которые им высылает преподаватель. Для выполнения домашних заданий студентов можно разделить на мини-группы по три человека.

Другим элементом самостоятельной работы студентов являются их индивидуальные консультации с преподавателем. Преподаватель принимает студентов на кафедре во время своих присутственных часов. Все возникающие в процессе обучения по курсу вопросы, связанные с содержанием учебного материала, студенты должны обсуждать с преподавателем на консультациях.

Перед зачетом необходимо проводить установочную консультацию в часы и дни, согласованные с деканатом. Время проведения установочной консультации доводится до студентов учебной частью деканата.

Преподаватель должен согласовать с группой время проведения индивидуальных консультаций и регламент электронного общения, а также выслать студентам все необходимые информационные электронные ресурсы (программу курса, литературу, домашние задания, задачи для подготовки к зачетной контрольной работе) или довести до сведения студентов соответствующие адреса в адреса в Интернете, где они размещаются.

Занятия по курсу "Теория индивидуального и коллективного выбора" рекомендуется проводить на английском языке.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

1. Тематика заданий текущего контроля и вопросы для самопроверки

Домашнее задание.

Часть I. Данные задачи используются для составления вариантов контрольной работы 1 модуля.

1) Привести пример функции выбра, нерационализируемой никаким бинарным отношением.

2) Для данной функции выбора определить рационализируема ли она каким-либо бинарным отношением, рационализируема ли она частичным, слабым или линейным порядком.

Генеральное множество альтернатив А={a, b, c, d}. Дана функция выбора CF(B), BA.

B

a

b

c

d

a, b

a, c

a, d

b, c

b, d

c, d

a, b, c

a, b, d

a, c, d

b, c, d

A

CF

a

b

c

d

а

a

a

b

d

c

a

a

a



a

3) Доказать, что частичный порядок является ациклическим отношением. Доказать, что линейный порядок является частичным порядком.

4) По таблично заданным значениям функции полезности и функции ошибок построить отношение P: . Какими свойствами оно обладает?
Часть II. Данные задачи используются для составления вариантов письменного зачета 2 модуля.

1. Дано:

Комитет, состоящий из 11 депутатов, должен избрать председателя. Есть пять кандидатов на эту должность, обозначенных латинскими буквами: a, b, c, d, e. Предпочтения всех депутатов – линейные порядки, представленные столбцами таблицы профиля предпочтений. Альтернатива стоящая в столбце выше другой является более предпочтительной. В первой строке указано количество человек, чьи предпочтения представлены соответствующим столбцом. В случае равенства голосов действует правило старшинства: старший кандидат предпочитается младшему. Порядок старшинства совпадает с алфавитным порядком обозначений альтернатив, самым старшим кандидатом является кандидат a. Требуется: Определить кто будет выбран, если используется: а) правило Борда, б) правило простого большинства.

3 деп. 2 деп. 1 деп. 3 деп. 2 деп. c b d d e e c a b a d a e e c b d b a d a e c c b

2. Требуется: доказать, что ранжирование с помощью правила Борда не является локальной процедурой агрегирования индивидуальных предпочтений.

3. Дано: Коллектив из трех человек N={1, 2, 3}. Pi- бинарное отношение, представляющее предпочтения индивида i, iN.

Требуется: а) Построить списочный механизм, реализующий следующее правило агрегирования индивидуальных предпочтений R=(P1P2)P3; б) указать, есть ли у данной процедуры следующие свойства: 1 - положительная ненавязанность, 2 - отрицательная ненавязанность, 3 -монотонность, 4 - нейтральность, 5 - анонимность, 6+ - положительное свойство Парето, 6- - отрицательное свойство Парето.

4. Требуется: Построить списочный механизм, реализующий правило агрегирования индивидуальных предпочтений

обладающее следующими свойствами: 1 - положительная ненавязанность, 2 - отрицательная ненавязанность, 6- - отрицательное свойство Парето;

и не обладающее следующими свойствами: 3 -монотонность, 4 - нейтральность, 6+ - положительное свойство Парето.

Часть III. Вопросы и задачи для самопроверки по 3 части курса (обобщенные паросочетания)

1. 
   Классическая модель Гейла-Шепли
   
2. 
   Понятие устойчивого паросочетания. Доказательство совпадения ядра и множества устойчивых паросочетаний для классической модели.
   
3. 
   Алгоритм отложенного принятия. Доказательство устойчивости паросочетания, получаемого в результате применения алгоритма.
   
4. 
   Стимулы сторон при использовании алгоритма отложенного принятия.
   
5. 
   Манипулирование в задаче о свадьбах (1-к-1).
   
6. 
   Манипулирование в задаче о приемной кампании (1-ко-многим)
   
7. 
   Наилучшее и наихудшее устойчивые паросочетания. Доказательство существования.
   
8. 
   Структура множества устойчивых паросочетаний – решетка. Доказательство.
   
9. 
   Понятие устойчивого паросочетания в задаче с произвольными частичными порядками в качестве предпочтений. Структура множества устойчивых паросочетаний.
   
10. 
    Неэффективные устойчивые паросочетания. Устойчивые улучшающие циклы.
    
11. 
    Особенности механизмов, используемых при распределении учеников по школам в США.
    
12. 
    Особенности механизма, используемого при распределении абитуриентов по вузам Венгрии. Общие квоты по специальностям. Нижние квоты, необходимые для начала обучения по специальности.
    
13. 
    Особенности механизма, используемого при распределении абитуриентов по вузам в Турции. Влияние ограничения списка приемлемых объектов на реализацию алгоритма отложенного принятия.
    
14. 
    Российский механизм распределения абитуриентов по вузам как квазицентрализованная версия алгоритма отложенного принятия.
    
15. 
    Задача о распределении неделимых объектов.
    
16. 
    Алгоритм Serial Dictatorship и его свойства
    
17. 
    Алгоритм Top Trading Cycles и его свойства.
    
18. 
    Алгоритм Random Serial Dictatorship и его свойства
    

Приблизительный список тем для домашних контрольных работ по III части курса:

1. 
   Распределение учеников по школам в г. Бостоне, США
   
2. 
   Распределение учеников по школам в г. Нью-Йорке, США
   
3. 
   Организация обмена почками для трансплантации, регион Новая Англия
   
4. 
   Распределение абитуриентов по вузам в Венгрии
   
5. 
   Распределение абитуриентов по медицинским вузам в Германии
   
6. 
   Распределение абитуриентов по вузам в Турции
   
7. 
   Распределение мест в детских садах в Дании
   
8. 
   Распределение молодых врачей-терапевтов в интернатуру, США
   
9. 
   Распределение молодых врачей-гастроэнтерологов в интернатуру, США
   
10. 
    Распределение молодых враче в интернатуру, Великобритания
    
11. 
    Механизмы выбора курсов в бизнес-школах
    

10. Порядок формирования оценок по дисциплине

Курс состоит из трех частей: I часть (темы 1-4) – 1 модуль уч. года, II часть (темы 5-8) – 2 модуль уч. года, III часть (темы 9-12) – 3 модуль уч. года. Контроль знаний студентов включает формы текущего, промежуточного и итогового контроля. Формой текущего контроля являются контрольные работы, одна из которых проводится в конце 1 модуля по материалу I части курса, а вторая в середине 3 модуля по материалу III части курса. Формой промежуточного контроля является зачетная контрольная работа, которая проводится в конце 2 модуля по материалу II части курса. Формой итогового контроля является экзаменационная контрольная работа, которая проводится в конце 3 модуля по материалу III части курса.

На написание зачетной и экзаменационной контрольных работ и контрольной работы по I части курса дается 180 мин. Любой факт списывания, отмеченный преподавателем, приведет к получению оценки «1» (единица) за данную работу.

Контрольная работа по III части курса выполняется группами студентов дома. Она представляет собой обзор и анализ практического примера построения механизма поиска устойчивого распределения. При подготовке работы студенты читают и анализируют научные статьи, опубликованные по выбранной тематике, а также, при необходимости, нормативно-правовые документы. Темы работ и рекомендуемая литература выдаются преподавателем. Группа студентов может предложить свою тему работы по согласованию с преподавателем. Студенты выполняют контрольную работу в группах в течение двух недель, после чего сдают подготовленные письменные тексты, а также устно, с использованием презентации, представляют преподавателю и однокурсникам результаты проведенного исследования. На занятии, посвященном презентации выполненных контрольных работ, дополнительно оценивается участие слушателей.

Преподаватель также оценивает самостоятельную работу и работу студентов на семинарских занятиях. На лекциях и семинарских занятиях в третьем модуле студентам могут быть даны задания для самостоятельной работы, которые нужно выполнить до следующего семинарского занятия. За правильное решение одной из этих задач у доски во время следующего семинара студент получает один балл. Полученные таким образом баллы преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Перед промежуточным или итоговым контролем определяется число набранных баллов N. Каждый балл, набранный таким образом в течение третьего модуля, увеличивает взвешенную сумму, с помощью которой рассчитывается оценка за итоговый контроль на 0,2 (эти величины прибавляются к сумме до того, как произведено округление).

В конце второго модуля происходит проверка домашней работы студентов с защитой решений. Полученная оценка учитывается в результирующей оценке за промежуточный контроль.

Результирующая оценка за текущий контроль за 1 и 2 модуль равна

О_{текущий, м. 1-2} = 0,4*О_{контр. работа 1} + 0,6*О_{дом. работа}

Результирующая оценка за текущий контроль за 3 модуль равна оценке за контрольную работу:

О_{текущий, м. 3} = О_{контр. работа 2}

Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где О_зачет – оценка за зачетную письменную работу:

О_{промежуточный} = 0,5·О_зачет + 0,5·О_{текущий, м. 1-2}

Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля в форме зачета: арифметический.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где О_{экзамен} - оценка за экзаменационную письменную работу, а N₃ – число баллов, набранных на семинарах в течение 3 модуля.

О_{итоговый} = 0,7·О_{экзамен} + 0,3·О_{текущий, м. 3} (+ 0,2·N₃)

Способ округления накопленной оценки итогового контроля в форме экзамена: арифметический.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом выставляет результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:

О_{дисциплина} = 0,5·О_{промежуточный} + 0,5·О_{итоговый}

Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине: арифметический.

11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. М.: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006.
11.2 Основная литература

1. 
   Алескеров Ф.Т., Субочев А.Н. Об устойчивых решениях в ординальной задаче выбора // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 426. №3. С. 318-320. (Есть электронная версия. Размещена на личных страницах авторов на сайте НИУ ВШЭ.)
   
2. 
   Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Задача Эрроу в теории группового выбора (анализ проблемы) // Автоматика и телемеханика. 1983. № 9. С. 127-151. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
   
3. 
   Субочев А.Н. Доминирующие, слабоустойчивые и непокрытые множества: свойства и обобщения // Автоматика и Телемеханика. 2010. №1. C. 130-143. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
   
4. 
   Мюллер Д. Общественный выбор III. М.: Изд. дом ГУ-ВШЭ, 2007.
   
5. 
   Aleskerov F., Kurbanov E. A Degree of Manipulability of Known Social Choice Procedures // Current Trends in Economics: Theory and Applications / Eds. Alkan A., Aliprantis Ch., Yannelis N. N.Y.: Springer-Verlag, 1999. P. 13-27. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
   
6. 
   Aleskerov F., Subochev A. Matrix-vector representation of various solution concepts. Working paper WP7/2009/03. M.: State University - Higher School of Economics, 2009. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
   
7. 
   Zakharov A. Spatial voting theory: A review of Literature. Рукопись. (Есть электронная версия. Высылается студентам по электронной почте.)
   

11.3 Дополнительная литература

1. 
   Adams J., Merrill S. III. Voter turnout and candidate strategies in American elections // The Journal of Politics. 2003. V. 65. P. 161-189.
   
2. 
   Aizerman M., Aleskerov F. Voting operators in the space of choice functions // Mathematical Social Sciences. 1986. V. 11. N. 3. P. 201-242.
   
3. 
   Aleskerov F. Arrovian Aggregation Models. Dordercht: Kluwer Academic Publishers, 1999.
   
4. 
   Ansolabehere S., de Figueiredo J., Snyder J. Why is there so little money in US politics? // Journal of Economic Perspectives. V. 17. P. 105-130.
   
5. 
   Duggan J. 2007. A systematic approach to the construction of non-empty choice sets // Social Choice and Welfare. 2007. V. 28. P. 491-506.
   
6. 
   Gale, D., Shapley L. S. College admissions and the stability of marriage // The American Mathematical Monthly. 1962. №69 (1). P. 9-15.
   
7. 
   Laslier J.F. Tournament Solutions and Majority Voting. Berlin: Springer, 1997.
   
8. 
   Laver M. Policy and the dynamics of political competition // The American Political Science Review. 2005. V. 99. N. 2.
   
9. 
   Lin T., Enelow J., Dorussen H. Equilibrium in multicandidate probabilistic spatial model
   
10. 
    Myerson R., Weber R. A theory of voting equilibria // American Political Science Review. 1993. V. 87. N. 1.
    
11. 
    Patty J., Snyder J., Ting M. Two’s Company, Three’s an Equilibrium: Strategic Voting and Multicandidate Elections // Quarterly Journal of Political Science. V. 4. N. 3. P. 251-278.
    
12. 
    Polischuk L., Savvateev A. Spontaneous (non) emergence of property rights // Economics of Transition. 2004. V. 12. P. 103-127.
    
13. 
    Roth, A. E. The Economics of Matching: Stability and Incentives // Mathematics of Operations Research. 1982. №7. P. 617-628.
    
14. 
    Roth A.E. and Sotomayor M.A.O. Two-Sided Matching: A Study in Game-Theoretic Modeling and Analysis, Cambridge University Press, 1990
    
15. 
    Subochev A. Dominant, Weakly Stable, Uncovered Sets: Properties and Extensions. Working paper WP7/2008/03. Moscow: State University - Higher School of Economics, 2008.
    
16. 
    Zakharov A. A model of candidate location with endogenous valence // Public Choice. 2009. V. 138. Iss. 3. P. 347-366.
    

Разработчики:

кафедра высшей математики

на факультете экономики ГУ-ВШЭ, профессор, д.т.н., Ф.Т. Алескеров
кафедра высшей математики

на факультете экономики ГУ-ВШЭ, доцент, к.ф.-м.н., А.Н. Субочев

кафедра высшей математики

на факультете экономики ГУ-ВШЭ, преподаватель, С.Г.Кисельгоф

Эксперты:

____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
____________________ ___________________ _________________________

(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)