Лекция 10.
Распределение 
2.
Пусть имеется n независимых случайных величин 1, 2, ..., n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина
распределена по закону, который называется “распределение 2” или “распределение Пирсона”. Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.
При n > 1 график плотности распределения случайной величины 2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.
Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины 2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения 2. Обычно такая таблица позволяет
|
q n |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
... |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
|
1 |
0,0315 |
0,0398 |
0,0239 |
... |
2,71 |
3,84 |
6,63 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
10 |
2,56 |
3,25 |
3,94 |
... |
16,0 |
18,3 |
23,2 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Таблица 1.
по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль q2, если q и q2 связаны соотношением
P(2 > q2) = q.
Эта формула означает: вероятность того, что случайная величина 2 примет значение, большее чем определенное значение q2, равна q.
Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения 2. Из него видно, что случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы с вероятностью q = 0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q = 0,975 превышает 0,00098.
Задача. Найти интервал (12, 22), в который случайная величина 2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.
Решение. График плотности распределения 2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:
P(2 < 12) = P(2 > 22) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)
тогда P(12 < 2 < 22) = 0,9.
Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: 22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(2 > 12) = 0,95. Из таблицы 1. определяем: 12 = 3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины 2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).
Распределение Стьюдента.
Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида
,
где и – независимые случайные величины, причем – нормально распределенная случайная величина с параметрами M = 0 и D = 1, а распределена по закону 2 c k степенями свободы.
Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.
График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.
Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P(t > tq) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.
|
q k |
0,1 |
0,05 |
... |
0,01 |
0,005 |
... |
|
1 |
6,314 |
12,71 |
... |
63,57 |
318 |
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
12 |
1,782 |
2,179 |
... |
3,055 |
3,428 |
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Таблица 2 | ||||||
Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.
Решение. Очевидны соотношения:
P(–x < t < x) = P(t < x) = 1 – P(t x) = 0,9.
Из последнего равенства следует:
P(t x) = 0,1 , (n = 12).
Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.
Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.
Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 , следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= – x,
x2 = x, причем x определяется из условия
P(t > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:
P(t > –3,055) = 0,995.
Распределение Фишера.
Важные приложения имеет в статистике случайная величина
,
где – случайная величина, распределенная по закону 2 с k1 степенями свободы, а – случайная величина, распределенная по закону 2 с k2 степенями свободы.
Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что
P(F > Fq) = q.
Обычно таблицы составляются для значений q, равных 0,05 или 0,01, а иногда для обоих этих значений. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 3.
-
k1
k2
1
...
10
...
20
...
1
161,4647,8
...
241,96056
...
2486209
...
...
...
...
...
...
...
...
10
4,9610,04
...
2,974,85
...
2,774,41
...
...
...
...
...
...
...
...
Таблица 3.
В этой таблице в верхней части каждой клетки дается значение Fq при q = 0,05 , а в нижней части — при q = 0,01.