Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать монотонность логарифмической функции :

При эта функция убывает,

при – возрастает.

1. 
   Решим неравенство:
   

Решение	Пояснения
	Т.к. =3, то запишем данное неравенство в виде
	Т.к. основание логарифмов 2 больше единицы ,то логарифмическая функция возрастающая и аргументы связаны неравенством того же знака
	а ОДЗ неравенства задается условием
	Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
	Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения.
	Решим эту систему:

x

13

21

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Ответ: .

2. 
   Решим неравенство:
   

Решение	Пояснения
	ОДЗ неравенства определяется условием
	Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака
	Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
	Так как второе неравенство более жесткое, чем первое, то полученная система равносильна второму неравенству

Ответ:

Такие же соображения используются и при решении более сложных неравенств.

3. 
   Решить неравенство:
   

Решение	Пояснения
	ОДЗ неравенства определяется условием
	Учтем, что
	Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака
	Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
	Решаем эту систему:

Решим первое неравенство системы методом интервалов:





-1

x

+

-

-

Решим первое неравенство системы методом интервалов:



-1

x

+

-

-





-1

x



Найдем общие решения этих неравенств:

Ответ: .

4. 
   Решить неравенство:
   

Решение	Пояснения
	Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10:
	Воспользуемся свойством логарифма , получим:
	Введем замену переменной y=lgx и приведем к неравенству третьей степени:
	Разложим его на множители:
	Т.к. при любых значениях y, то
	Получаем простейшее логарифмическое неравенство:
	откуда

Ответ:

В случае если в основании показательной или логарифмической функции входит неизвестная величина х, то необходимо рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит промежутку и когда принадлежит промежутку .

5. 
   Решить неравенство: .
   

Решение:

ОДЗ неравенства определяется условиями:



, откуда



а) При , т.е.

, имеем:

, откуда

,

так как при таком основании функция убывающая)

Решим это неравенство:

IIIIIIIIIIIIII

3

x

-1

IIIIIIIIIIIIIIIIIIII



,

учитывая ограничения на x (, имеем:



б) При , т.е.

с учетом ОДЗ: , имеем:

, откуда

,

(так как при основании большем 1 логарифмическая функция возрастающая).

Решим это неравенство:

IIIIIIIIIII

3

x

-1



,

С учетом ограничений на x (,получаем:

.

Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем решение неравенства:

.

Задания для самостоятельного решения.

Решите неравенства:

Найдите целые числа х, при которых

выполняется неравенство:

Найдите наименьшее целое х,

удовлетворяющее неравенству:

Найдите наибольшее целое х,

Удовлетворяющее неравенству: