Логарифмические неравенства
При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать монотонность логарифмической функции
:
При
эта функция убывает,
при
– возрастает.
-
Решим неравенство:
-
Решение
|
Пояснения
|
|
Т.к. =3, то запишем данное неравенство в виде
|
|
Т.к. основание логарифмов 2 больше единицы ,то логарифмическая функция возрастающая и аргументы связаны неравенством того же знака
|
|
|
|
а ОДЗ неравенства задается условием
|
|
Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
|
|
Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения.
|
|
Решим эту систему:
|
x
13
21
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Ответ:

.
-
Решим неравенство:
-
Решение
|
Пояснения
|
|
|
|
ОДЗ неравенства определяется условием
|
|
Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака
|
|
Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
|
|
Так как второе неравенство более жесткое, чем первое, то полученная система равносильна второму неравенству
|
|
|
Ответ:
Такие же соображения используются и при решении более сложных неравенств.
-
Решить неравенство:
-
Решение
|
Пояснения
|
|
|
|
ОДЗ неравенства определяется условием
|
|
Учтем, что
|
|
Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака
|
|
Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств
|
|
Решаем эту систему:
|
|
|
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
-1
x
+
-
-
Решим первое неравенство системы методом интервалов:
-1
x
+
-
-
-1
x
Найдем общие решения этих неравенств:
Ответ:
.
-
Решить неравенство:
-
Решение
|
Пояснения
|
|
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10:
|
|
Воспользуемся свойством логарифма , получим:
|
|
Введем замену переменной y=lgx и приведем к неравенству третьей степени:
|
|
|
|
Разложим его на множители:
|
|
Т.к. при любых значениях y, то
|
|
|
|
Получаем простейшее логарифмическое неравенство:
|
|
откуда
|
|
|
|
|
Ответ:
В случае если в основании показательной или логарифмической функции входит неизвестная величина х, то необходимо рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит промежутку
и когда принадлежит промежутку
.
-
Решить неравенство:
.
Решение:
ОДЗ неравенства определяется условиями:
, откуда
а) При
, т.е.
, имеем:
, откуда
,
так как при таком основании функция убывающая)
Решим это неравенство:
IIIIIIIIIIIIII
3
x
-1
IIIIIIIIIIIIIIIIIIII
,
учитывая ограничения на x (
, имеем:
б) При
, т.е.
с учетом ОДЗ:
, имеем:
, откуда
,
(так как при основании большем 1 логарифмическая функция возрастающая).
Решим это неравенство:
IIIIIIIIIII
3
x
-1
,
С учетом ограничений на x (
,получаем:
.
Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем решение неравенства:
.
Задания для самостоятельного решения.
Решите неравенства:
Найдите целые числа х, при которых
выполняется неравенство:
Найдите наименьшее целое х,
удовлетворяющее неравенству:
Найдите наибольшее целое х,
Удовлетворяющее неравенству: