УДК 621.01: 62-231.31

А.Р.ЗАЙЦЕВ

СИНТЕЗ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЁХЗВЕННИКА

ПО КРАЙНИМ положениям шатуна

Постановка задачи

На рис. 1 показан шарнирный четырёхзвенник. Здесь приняты следующие обозначения: 1 – кривошип, 2 – шатун, 3 – коромысло; - длина кривошипа, - длина шатуна, - длина коромысла (длина стойки - принята равной 1); - угловая координата звена 1, - угловая координата звена 2, - угловая координата звена 3, - угол передачи.

Рис. 1. Шарнирный четырёхзвенник

В статье решается задача синтеза шарнирного четырехзвенника по крайним положениям шатуна. Заданными величинами являются: - угол размаха шатуна (угловое перемещение шатуна 2 между двумя его крайними положениями); - угол поворота кривошипа 1, соответствующий повороту шатуна 2 на угол между двумя его крайними положениями. Синтезируемый шарнирный четырёхзвенник имеет три взаимно независимых параметра: , и . Как будет показано ниже, два из трёх указанных параметра являются вычисляемыми, а один – свободным параметром.

Примем параметр механизма в качестве свободного параметра, тогда параметры и будут вычисляемыми. Кроме того, в статье решена оптимизационная задача: найдено оптимальное значение , свободного параметра , при котором экстремальный (наименее благоприятный) угол передачи принимает максимально возможное значение.

Крайние положения шатуна

Составим уравнения геометрического анализа шарнирного четырёхзвенника, изображённого на рисунке 1:

(1)

Дифференцируя уравнения (1) по входной координате , получим:

(2)

где , - аналоги угловых скоростей.

Из уравнений (2) найдём:

(3)

В крайних положениях шатуна . Тогда на основании первой из формул (3) получаем

, ,

(4)

где - значения углов и в тех двух положениях механизма, когда шатун 2 занимает крайние положения. Отсюда следует, что в крайних положениях шатуна звенья 1 и 3 взаимно параллельны, то есть

.

(5)

На рис. 2 изображён шарнирный четырёхзвенник в двух крайних положениях шатуна.

Рис. 2. Шарнирный четырёхзвенник в крайних положениях шатуна

В двух крайних положениях шатуна уравнения (1) примут следующий вид:

(6)

Уравнения (6) имеют четыре неизвестных величины: , , и .

Преобразуем обе системы:

, .

(7)

Из уравнений (7) найдём:

, , , .

(8)

Поскольку принадлежит 1-ой или 2-ой четвертям, а - 3-й или 4-й, выбираем соответствующие знаки перед радикалами.

Из уравнений (6) находим и :

, , , .

(9)

Уравнения синтеза

Из рис. 2 однозначно определяются величины, которые были заданы на этапе постановки задачи. Угол можно выразить через угловые координаты шатуна (2). Максимальный размах кривошипа (1) между крайними положениями шатуна , соответствующий рабочему ходу можно выразить через угловые координаты кривошипа в крайних положениях шатуна.

(10)

или

	(11)
	(12)

Преобразуем данные уравнения, таким образом, что бы в них не присутствовали синусы, это позволит избавиться от корней при обратной подстановке:

, .

(13)

Решение уравнений синтеза

Подставляем в (13) уравнения (8) и (9):

(14)

Введём для упрощения расчётов следующую замену переменных:

(15)

Упростим уравнения (14) с помощью замены (15):

(16)

Сгруппируем уравнения (16) относительно :

(17)

Вычтем из первого уравнения второе и выразим :

.

(18)

Перед радикалом в данном случае стоит знак «+», так как длина не может быть отрицательной.

Подставим формулу (18) в первое из уравнений (17) и сгруппируем его относительно :

(19)

Решив уравнение (19) как биквадратное, можно прийти к следующему результату:

.

(20)

Данное решение предлагает четыре возможных корня уравнения (19). Два из них (с отрицательным радикалом) можно отбросить сразу, так как длина не может быть отрицательной. Третий же корень является комплексным, так как подкоренное выражение получается отрицательным.

Выполнив подстановку (15) в уравнения (18) и (20), получаем итоговые выражения:

(21)

В формулах (21), длина является свободным параметром, значение которой можно выбирать произвольно в относительных единицах по отношению к длине стойки .

Оптимизация механизма путём выбора оптимальной длины с

В процессе эксплуатации механизма качество передачи сил определяется величиной углов давления. Поэтому при выборе свободного параметра необходимо постараться сделать так, чтобы экстремальный (наименее благоприятный) угол передачи принимал своё наибольшее значение, тем самым, уменьшая угол давления.

Как видно из рис. 1, угол передачи определяется из теоремы косинусов

,

(22)

где - угол передачи при данном угле .

Минимальный угол передачи возникает в тот момент, когда кривошип ложится на линию стойки, то есть . Соответственно максимальный при , т.е.

, ,	(23)
,	(24)

где - максимально допустимый угол передачи. При этом

, ,	(25)
,	(26)

где - экстремальный угол передачи, ,

.

(27)

Если подставить в формулу (27) выражения для длин и (см. формулы (21)), то при заданных углах и можно построить зависимость:

.

(28)

В качестве примера рассмотрим одну из таких зависимостей (рис. 3 и 4).

Так как , то . Продифференцируем выражение (28) по длине :

.

(29)

При раскрытии выражения (29) получается полином вида:

,

(30)

Рис. 3. Пример зависимости cosext = f( c ) при  = 45 0,  = 210 0

где - коэффициенты, зависящие от заданных величин: и .

Б
ыла сделана попытка выразить аналитически длину из выражения (30) с помощью метода Монте-Карло, но формулы получились очень громоздкими. Поэтому нахождение параметра из условия (30) является рациональным лишь в случае численного решения уравнения (29). Один из вариантов такого решения представлен в таблице.

Рис.4. Пример значений экстремального угла передачи при различных значениях длины коромысла с.

Таблица

Значение оптимальной длины коромысла

(ориентировочный экстремальный угол давления).

		Угол размаха шатуна 
		10	20	30	40	50	60	70	80	90
Рабочий ход φр	180	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	190	0,3 (60)	0,6 (57)	0,73 (54)	0,85 (54)	0,9 (48)	0,94 (45)	0,95 (42)	0,96 (39)	0,985 (36)
	200	0,215 (48)	0,45 (48)	0,66 (48)	0,8 (42)	0,9 (42)	0,9 (39)	0,96 (36)	0,985 (33)	0,985 (30)
	210	0,17 (36)	0,385 (36)	0,6 (36)	0,77 (36)	0,86 (36)	0,94 (33)	0,985 (33)	0,985 (33)	1,03 (27)
	220	0,12 (27)	0,3 (27)	0,51 (30)	0,69 (30)	0,83 (30)	0,94 (30)	0,985 (27)	1,03 (27)	1,03 (24)
	230	0,128 (21)	0,29 (21)	0,45 (24)	0,6 (24)	0,77 (24)	0,9 (24)	0,985 (24)	1,03 (21)	1,07 (21)
	240	-	0,26 (18)	0,36 (18)	0,555 (21)	0,73 (21)	0,985 (21)	0,985 (21)	1,07 (21)	1,07 (18)
	250	-	0,23 (12)	0,36 (12)	0,51 (15)	0,66 (15)	0,815 (15)	0,94 (15)	1,07 (15)	1,11 (15)
	260	-	0,215 (6)	0,32 (9)	0,45 (9)	0,6 (12)	0,75 (12)	0,985 (15)	1,03 (15)	1,11 (15)
	270	-	-	0,28 (6)	0,43 (6)	0,55 (9)	0,69 (9)	0,86 (9)	0,985 (12)	-
	280	-	-	-	-	0,45 (6)	0,6 (6)	0,77 (6)	-	1,03 (9)
	290	-	-	-	-	-	-	-	0,8 (6)	0,985 (6)
	300	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	310	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	320	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	330	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	340	-	-	-	-	-	-	-	-	-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Система проектирования плоских рычажных механизмов. – М.: Машиностроение, 1988. – 233 с.-