Свойства квадратного трехчлена

“Главная” функция в школьном курсе алгебры – это квадратный трехчлен, он постоянно всплывает в разных разделах программы. Постараемся поэтому познакомиться с ним поближе и подружиться.

Функция  называется квадратичной функцией, или квадратным трехчленом. Как вы знаете, график этой функции – парабола.

Координаты вершины параболы  , где , 

При  ветви параболы направлены вверх, и область значений функции  есть  ; будем обозначать это как .

При  ветви параболы направлены вниз и область значений функции  .

Прямая  является осью симметрии параболы.

• 
  Если дискриминант  , то график функции пересекает ось OX в двух точках (то есть два корня у квадратного уравнения ).
  
• 
  Если дискриминант , то график касается оси OX. Иногда говорят, что у уравнения – пара совпадающих корней, а иногда – что один.
  

(На самом деле в этом случае  , т.е.  — корень кратности 2)

• 
  Если , то график целиком лежит выше оси OX ( ) или ниже оси OX (), то есть у уравнения нет корней.
  

 

Формулы корней квадратного уравнения:

1. 
    
   
2. 
   если  — чётно, то
   

(Корни существуют при .)

Для решения квадратных неравенств необходимо четко представить, как расположен график квадратного трехчлена, а это зависит только от знаков коэффициента а и дискриминанта .

Полезно запомнить следующую таблицу, иллюстрирующую все случаи расположения графика квадратного трехчлена при разных сочетаниях знаков  и .

 

Также полезно запомнить следующие теоремы:

Теорема Виета. Если  и  корни уравнения  , то



Теорема. Если  и  – корни квадратного уравнения , то квадратный трехчлен  делится без остатка на и  , и верно тождество: 

Важны следствия из теоремы Виета:

Пусть  и  – корни уравнения  , тогда:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   если , то 
   

Кстати, необходимо уметь выделять полный квадрат из квадратного трехчлена (именно используя этот прием, были получены формулы для корней квадратного уравнения см. (1) § 6 стр. 24)

Например:

 

Пример 1. Содержит ли область значений функции

 отрезок  ?

Решение.

Область значений функции  , где  – ордината вершины параболы.

Абсцисса вершины:

Так как  , то отрезок  содержится во множестве :

(Обратите внимание на обозначение принадлежности множеств!)

 

Пример 2. Найти наименьшее значение функции



Решение.

Перемножим крайние скобки и совершим операции внутри центральной скобки:

Сделаем замену  – квадратный трехчлен от  . Область значений функции  – это  , где абсцисса вершины  и ордината вершины .

При замене  перейдет в  при .

Таким образом, надо найти наименьшее значение функции  при  . Вершина параболы  имеет координаты (0; -1) и весь промежуток  расположен правее вершины на оси t.

Следовательно, область значений функции  при  – это  и наименьшее значение 

 

Пример 3. Найти область значений функции

Решение.

Выразим  из основного тригонометрического тождества и подставим в выражение :

Сделаем замену .

При этом  перейдет в  при .

Абсцисса вершины этого квадратного трехчлена .

Следовательно,  достигается в вершине ;

 достигается на том конце отрезка [-1, 1], который отстоит дальше от вершины, то есть при .

Следовательно, искомая область значений  и .

Пример 4. При каких  наименьшее значение функции:

на отрезке  равно 3?

Решение.

Функция  – квадратный трехчлен; его график- парабола, с ветвями, направленными вверх.

Пусть  – абсцисса вершины параболы.

1. 
   если , то 
   
2. 
   если , то 
   
3. 
   если , то 
   

Исследуем эти случаи.

1. 
    решений нет,
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Ответ: , 

 

Домашнее задание

1. 
   Найти число  и второй корень уравнения:
   
   1. 
       , если ,
      
   2. 
       , если ,
      
   3. 
       , если .
      
2. 
   Найти все значения  , при которых:
   
   1. 
      корни уравнения  удовлетворяют соотношению ,
      
   2. 
      корни уравнения  относятся как 1:2
      
3. 
   Исследовать взаимное расположение графиков функций  и  в зависимости от параметра :
   

,