Теорема Безу. Корни многочленов

-+

Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов.
Цель урока: Познакомить учащихся с методом решения уравнений, основанном на применении теоремы Безу. Научить использовать его при решении уравнений.

Задачи: вырабатывается умение: логически мыслить, анализировать, решать уравнения высших степеней.

Ход урока

1. Проверить усвоение изученного.

Повторить алгоритм деления многочлена на многочлен.

а) Выполнить деление:

(х³-4х²-11х+30): (х-2)

б) Найти значение многочлена

х³-4х²-11х+30 при х=2

в) Выполнить деление

(х³-4х²-11х+30): (х-3)

г) Найти значение многочлена

х³-4х²-11х+30 при х=3

2. Изучение нового материала

Любой многочлен R(x) можно представить в виде:

P(x)= (х-а) Q(х) + r, где r=P(a)
Пример 1. Найти остаток от деления х⁴-6х³+8 на х+2
Теорема Безу. Если уравнение а₀хⁿ + a₁xⁿ^-1+ … + a_n-1x+a_n = 0,

где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример 2. Решите уравнение

х³-8х²+19х-12=0
Свободный член – 12 имеет делители 1, 2,  3, 4, 6, 12.

При x=1 значение многочлена равно 0. Это означает, что 1 является корнем уравнения, а х³-8х²+19х-12 делится на x-1.

Выполнив деление, получим уравнение х²-7х+12=0 , решая которое, получим что x=3 или x=4.

Ответ: 1; 3; 4.

Сформулировать обобщенную теорему Безу

3. Решение задач.

1) Решить уравнения:

а) х³-3х²-4х+12=0,
б) х³+4х²+5х+2=0,
в) х⁴+4х³+х²-12х-12=0,
г) х⁴+4х³-х²-16х-12=0.
2) Доказать, что уравнение не имеет целых корней:

а) х²-х-1=0,

б) х⁴-5х²+6=0,
в) х⁴+х³+х²+х+1=0.
3) Уравнение х³+17х²+bх-17=0 имеет три различных целях корня. Найти b
4. Итоги урока.

Какие уравнения можно решить с помощью теоремы Безу? Можно ли решить уравнение этим методом, если коэффициенты дробные? Какие еще методы применяются при решении таких уравнений?

Домашнее задание. Выучить теорему Безу.

1) Решить уравнение:

а) х³+3х²-5х-10=0,
б) х⁴-5х³+11х²-25х+30=0,
в) х⁴+3х²-3х³+12х-28=0.
2) Решить уравнение двумя способами:

а) х³-5х²-4х+20=0,

б) х³-3х²-3х+1=0,
в) 6х⁴-35х³+62х²-35х+6=0.
Индивидуальное задание: изучить схему Горнера и на следующем уроке сделать сообщение.

Тема урока: Дробно-рациональные уравнения.
Цель урока: Познакомить учащихся с различными методами решения дробно-рациональных уравнений. Научить правильно выбирать метод решения уравнений.

Задачи: выработать умение: логически мыслить, анализировать, пользоваться методом интервалов.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

Проверить решение двух уравнений:

а) ,
уравнение решается по общей схеме.

Вопрос: как лучше выполнить умножение (х-2)²(х+2)².

Выбрать более простой способ.

б) .

Вопрос: можно ли это уравнение с помощью замены привести к уравнению вида а)?
2. Изучение нового материала.

Рассмотреть на примерах различные методы решения дробно-рациональных уравнений.

1) Общая схема решения уравнения: . Уравнение равносильно системе:
Пример 1. Решить уравнение:

2) Метод замены переменных.

имерППППппрррПример 2. Решить уравнение:
Замена приводит к квадратному уравнению , которое имеет корни: t₁=0,5; t₂=2. Решая далее уравнения:
и ,

получим корни заданного уравнения: ; ; 1; 4.

3) Применение основного свойства дроби

Пример 3. Решить уравнение

Замечаем, что повторяется выражение x²+15, но замена: t= x²+15 не приводит к более простому уравнению.

Проверим, что 0 не является решением уравнения и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x. Получим уравнение:

Далее делаем замену: и получаем уравнение:

Откуда t=7 или t=14. Решая уравнения:
и , получим корни уравнения: и .
Заметим, что если 0 является решением, то его следует записать в ответ.
3. Решение задач.

Решить уравнения:

а)

;
б)

;
в)

;
г)

.

4. Итоги урока. Какие методы можно применять при решении дробно-рациональных уравнений?
5. Домашнее задание

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

Творческое задание: решить уравнение:

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа 1

Вариант 1

1. Преобразовать в многочлен:

а) (2а²– 3в)³,

б) (а + 2)⁶.

2. Разложить на множители:

а) 27х³ + 108х²+144х + 64,

б) 64х⁶– у⁶.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х³ + 8х² + 11х – 20) : (х + 5),

в) (х³ + 2х² – 7х – 14) : (х + 2),

с) (2х⁴ + 4х³ – 11х² – 10х +15) : (2х² – 5).

Вариант 2

1. Преобразовать в многочлен:

а) (3а⁴ + 2в)³,

б) (х – 4)⁵.

2. Разложить на множители:

а) 8х³ – 60х²+150х – 125,

б) 243х⁵ – у⁵.

3. Разделить многочлен на многочлен:

а) (х³ - 7х² + 14х – 8) : (х – 2),

в) (х³ + 4х² – 5х – 20) : (х + 4),

с) (2х⁴ + 6х³ – 9х² – 21х +7) : (2х² – 7).
Самостоятельная работа 2

Вариант 1

1. Сократить дробь: .

2. Выделить целую часть: а) ; в) .
3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х³ – 6х² + 11х – 6 = 0,

в) х³ – 5х² – 2х + 24 = 0,

с) х⁴ + 3х³ – 13х² – 17х + 26 = 0.

Вариант 2

х³+ 9х² + 27х + 27

1. Сократить дробь: х³ + 27 .

х⁴+ 5х – 2 х⁵ + 4

2. Выделить целую часть: а) х – 3 ; в) х³ – 2х + 1 .

3. Решить уравнения с помощью теоремы Безу:

а) х³ – 7х² + 14х – 8 = 0,

в) х³ – х² – 14 х + 24 = 0,

с) х⁴ + 4х³ – 9х²– 16х + 20 = 0.

Самостоятельная работа 3

Вариант 1
1. Решить уравнения:

а) ,

б) ,

в) .

г) (х +2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) = –15,

д) .

Вариант 2

1. Решить уравнения:

а) ,

б) .

в) (х² +3х – 4) (х² +3х –7 ) = 18,

г) (х – 2) (х – 4) (х – 6) (х – 8) = –15,

д) .

Самостоятельная работа № 4

Вариант 1

Решить возвратные уравнения:
1. 4х³ – 5х² – 5х + 4 = 0,
2. 3х⁴ + 5х³ – + 5х + 3 = 0.
Решить однородные уравнения:
1. 3(х² – 5)² + 4(х² – 5) (х + 7) – 7 (х + 7)² = 0,
2. (х – 2)⁴ + 5(х + 2)⁴= 6(х² – 4)².

Вариант 2

Решить возвратные уравнения:
1. 5х³ – 4х² – 4х + 5 = 0,
2. 2х⁴ – 5х³+ 4х²– 5х + 2 = 0.
Решить однородные уравнения:

3(х² + 5)² + 4(х² + 5) (х – 7) – 7 (х – 7)² = 0,
(х-3)⁴ + 4(х + 3)⁴ = 5(х² – 9)².

Самостоятельная работа № 5

Вариант 1

Решить дробно-рациональные уравнения:

а) ,
б) .
Решить уравнения:
1. |х - 5| + |х + 2| = 7,
2. |2х – 3| + |2х – 5| = 2,
3. 5|х|² – 3|х| = 2.

Вариант 2

Решить дробно-рациональные уравнения:

а)

б) .

Решить уравнения:
1. |х + 4| + |х - 7| = 11,
2. |2х + 3| + |2х – 5| = 8,
3. 7|х|² – 4|х| = 3.

Самостоятельная работа № 6

Вариант 1

Решить уравнения:
1. ,
2. sin 2x – 3cos 4x = 4,
3. sin x = х² + 4х + 5.
Найти значения а, при которых уравнение

3sin x – 7 cos x = a

имеет корни.

Вариант 2

Решить уравнения:

.
sin 2x – 4 cos 4x = 5,
cos x = х² + 6х + 10.

Найти значения а, при которых уравнение

4 sin x – 5 cos x = a

имеет корни.

Самостоятельная работа № 7

Вариант 1

Решить систему уравнений:

) х² + ху + у² = 37,

х + у = 7;

) 5х² – 7ху + 2 у² = 0,

3х² + у²= 4;

в) х² + у² + 3ху = 31,

ху = 6.

Вариант 2

Решить систему уравнений:

) х²- ху + у² = 21,

х + у = 9;

б) 4х² – 9ху + 5у² = 0,

5х² + 2у² = 7;
в) х²+ у² + 5ху = 60,

ху = 8. .

Самостоятельная работа 8

Вариант 1

Решить систему уравнений:

а) ,

;
x + y + 3z = 1,

б) 2x – y + 2z = 5,

–x + 2y – 5z = –4;

в) ах +2у = 6,

3ах - у = 2.
Вариант 2

Решить систему уравнений:

а) ,

;

x + 2y – 4z = –1,

б) 2x – y + 3z = 9,

–x + 4y – 2z = –5;

в) х – 3ау = 4,

3х + ау = 7.

Самостоятельная работа 9

Вариант 1

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  5.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 2х – 5у + 10  0,

б) ху  –6.

Вариант 2

1. Решить неравенства:

а) ,

б)  4.

2. Изобразить на плоскости множество решений неравенства:

а) 3х + 2у – 8  0,

б) ху  –8.

Зачет № 1

по теме «Алгебраические уравнения»

Вариант 1.

Теорема Безу.

Решить уравнение: х³ – 8х² + 19х – 12 = 0.

Какое уравнение называется следствием из другого уравнения?

Какое из данных уравнений является следствием другого уравнения:

2(х + 3) + х (х – 4) = (х – 4) (х + 3 )

или + = 1 ?

Какое уравнение называется однородным? Привести пример уравнения с двумя переменными. Решить уравнение:

2(х² – 1)² – 5(х² – 1) (х² + 4х) + 2 (х² + 4х)² = 0.

Решить уравнения:

5х³– 6х² – 6х + 5 = 0,
2х⁴+ 3х³ – 16х² + 3х + 2 = 0.

Вариант 1.

Обобщенная теорема Безу.

Решить уравнение: 2х³+ 5х² – х – 1 = 0.

Какие уравнения называются равносильными? Привести пример.

Равносильны ли уравнения:

(х – 3) (х + 5) = 0 и ?

Какие уравнения называются возвратными? Решить уравнения:
1. 12х⁴ – 20х³ – х² – 20х + 12 = 0,
2. х³ – 5х² – 5х + 1 = 0.
Решить уравнение: 2(х² – 4)² + 5(х² – 4) (х² – 2х) – 3(х² – 2х)².

Зачет № 2

по теме «Алгебраические уравнения»

Вариант 1.

Дробно-рациональные уравнения. Методы решения. Решить уравнения:

а)

;

б) .

Что значит решить уравнения с параметрами? Решить уравнения:
1. х² – 2ах + а² – 1 = 0;
2. (а² – 9) · х + а + 3 = 0.
Решить уравнения, содержащие знаки модуля:
1. |х – 7| – |4 – 2х| = 2;
2. х² – 5|х| – 6 = 0.

Вариант 2.

Методы решения уравнений, содержащих знаки модуля. Решить уравнения:

|х²– 5х| = 5х - х²,
|х + 5| - |6 – 3х| = 3.

Метод оценки. Решить уравнения:

а) |х² – 5х - 6| +

= 0,

б) 3 sin 4х – 4 cоs 2х = 7.

Решить уравнения:
1. х² – 6ах + 9а² – 2а + 2 = 0.

б)

.
Зачет № 3

по теме «Системы алгебраических уравнений и неравенств»

Вариант 1.

Методы решения систем уравнений с двумя переменными.

Решить системы уравнений:

а) х² + у² – ху = 13,

ху = 12 ;

б) (3х – 4)² + (5у – 2)²= 328,

(3х – 4) (5у – 2) = 36;

в) х² – 4ху + 3у² = 0,

х² – 5у² = – 8.

Метод интервалов. Решить неравенство:

(х – 3)² (х + 7)

≥ 0.

2 – х
Изобразить множество решений неравенства:

а) у ≥ 2х²,

б) (х – 3)² + (у + 2)² ≤ 9.

Вариант 2.

Методы решения систем уравнений с двумя переменными.

Решить системы уравнений:

а) х² + у² + 3ху = 31.

ху = 6 ;

б) (5х – 4)² + (3у + 2)²= 65,

(5х – 4) (3у + 2) = 36;

в) х² + 5ху – 6у² = 0,

2х² + 5у² = 63.

Метод интервалов. Решить неравенство:

(х – 5) (х + 2)²	≥ 0.
4 – х

Изобразить множество решений неравенства:

а) у ≤ – х²,

б) (х + 2)² + (у – 3)² ≥ 16.