ТЕОРЕМА (Вейерштрасса).
Монотонная и ограниченная числовая последовательность сходится.
ПРИМЕР. Докажем, что последовательность
сходится.
1) Покажем, что последовательность – возрастающая. Для этого распишем и по формуле бинома Ньютона. Имеем:
,
где .
.
Аналогично:
,
где .
.
Так как
, то
(
). Следовательно, все слагаемые
не превосходят соответствующих слагаемых
. Кроме того, в
добавляется еще одно слагаемое и оно положительно.
Таким образом, , §.
2) Покажем, что последовательность
– ограничена сверху. Для этого распишем
по формуле бинома Ньютона и оценим его. Имеем:
.
Здесь мы использовали тот факт, что , и, следовательно, . Теперь воспользуемся неравенством при и получим:
,
§.
Итак, мы доказали, что последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, она сходится. Ее предел принято обозначать буквой . Число – иррациональное. Мы доказали, что . Более точные вычисления приводят к результату
.
Число часто встречается в математике. В теоретических исследованиях удобно выбирать в качестве основания логарифма. Логарифм по основанию называют натуральным логарифмом и обозначают .
§. Предел функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .
Договоримся обозначать через -окрестность точки за исключением самой точки . Такую окрестность точки называют проколотой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Число называется пределом функции при , стремящемся к (или пределом функции в точке ), если для любого существует такое, что, если , то .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любой последовательности ( ) значений аргумента, стремящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Записывают: .
ТЕОРЕМА.
Определение предела функции на языке - и на языке последовательностей эквивалентны. Т.е. если в смысле первого определения, то и в смысле второго определения и наоборот.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Пусть в смысле определения 1. Т.е. для любого существует такое, что,
если , то . (1)
Пусть – любая последовательность значений аргумента, стремящаяся к ( ). По определению это означает, что для любого существует номер такой, что
, .
(Смотри геометрический смысл сходящейся последовательности и бесконечно большой последовательности. При этом мы берем проколотую окрестность точки , так как по условию .)
Но тогда, согласно (1), , . А это означает, что последовательность сходится к . Следовательно, в смысле определения 2.
2) Пусть в смысле определения 2. Т.е. для любой последовательности значений аргумента ( ), соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Предположим, что при этом предела функции при , стремящемся к в смысле определения 1 не существует. Это означает, что существует такое, что для любого найдется хотя бы одно число для которого , т.е. для которого . Обозначим это число для через , для – через , для – через , и т.д.
Так как , то ( ). Но по выбору имеем:
,
.
Но это противоречит условию, что в смысле определения 2. Следовательно, предположение было неверно и в смысле определения 1.
Следующие утверждения справедливы в силу определения 2 и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.
1) Если существует, то он единственный.
2) Если , то .
3) Пусть функции и имеют предел при и
, .
Тогда их сумма, разность произведение и частное тоже имеют предел при , причем
а) ;
б)
(и, в частности, для любого числа );
в) (при условии, что ).
4) Пусть и существует проколотая -окрестность точки такая, что
(или ), .
Тогда .
5) Пусть функции и имеют предел при . Если существует проколотая -окрестность точки такая, что
(или ), ,
то .
6) Пусть функции и имеют предел при , причем
.
Если существует проколотая -окрестность точки такая, что
, ,
то функция тоже имеет предел при и
.
Следующие два свойства пределов требуют доказательств.
7)
Если функция имеет предел при , то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки (говорят:
функция локально ограничена).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть . Возьмем . Тогда существует такое, что, если , то . Т.е.
, .
Рассмотрим . Имеем:
,
.
Следовательно, в функция ограничена.
8) Пусть , ( ). Если существуют и , то сложная функция имеет предел при , причем
. (2)
Формулу (2) называют формулой замены переменной в пределе.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно)
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется бесконечно малой при , если .
Свойства бесконечно малых функций
1) ТЕОРЕМА (роль бесконечно малых в теории пределов).
Число является пределом функции при тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая при .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (самостоятельно)
2) Сумма, разность, произведение двух (конечного числа) бесконечно малых при функций есть функция бесконечно малая.
Это утверждение является следствием свойства 3 пределов функций.
3) Пусть функция – ограниченна в некоторой окрестности точки , а – бесконечно малая при . Тогда их произведение – бесконечно малая при .
Это свойство справедливо в силу определения 2 и соответствующего свойства бесконечно малых последовательностей.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (на языке - ). Функцию называют бесконечно большой при , стремящемся к , если для любого существует такое, что, если , то .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке последовательностей). Функцию называют бесконечно большой при , стремящемся к , если для любой последовательности ( ) значений аргумента, стремящейся к , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.
Записывают: .
Если является бесконечно большой при и при этом , (или , ), то пишут:
.
Если является бесконечно большой при и при этом , (или , ), то пишут:
.
Определение 1 и определение 2 бесконечно большой функции эквивалентны (доказывается так же, как эквивалентность двух определений предела функции).
Свойства бесконечно больших функций
1) Если – бесконечно большая при , то функция – бесконечно малая при . Если функция – бесконечно малая при , то функция – бесконечно большая при .
2) Если функции и – бесконечно большие одного знака при , то их сумма – бесконечно большая того же знака при .
3) Если функция – бесконечно большая при , а функция – ограниченна в некоторой окрестности точки , то их сумма – бесконечно большая при .
4) Если функции и – бесконечно большие при , то их произведение – бесконечно большая при .
5) Если функции – бесконечно большая при , а функция имеет предел при , причем , то их произведение – бесконечно большая при .
6) Если функции – бесконечно большая при и для любого из некоторой окрестности точки имеет место неравенство ( ), то функция тоже является бесконечно большой при .
Все эти утверждения справедливы в силу определения 2 бесконечно большой функции и соответствующих свойств бесконечно больших последовательностей.