Елабужский государственный педагогический университет
Ф.М. Сабирова, А.В.Акулинина


ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

И МАГНЕТИЗМ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ПО ФИЗИКЕ

Елабуга - 2006

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Елабужского государственного педагогического университета

УДК 537

ББК 22.34

С12

Кафедра общей физики

Рецензенты:

Хвалченко И. И., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры теоретической физики ЕГПУ.

Конюхов М.И., канд. тех. наук, доцент Елабужского филиала КГТУ им. А.Н.Туполева

Сабирова Ф.М. Электричество и магнетизм/
Ф. М. Сабирова, А. В. Акулинина / Учебно-методическое пособие для студентов нефизических специальностей и заочных отделений педвуза. – Елабуга: изд-во Елабужского пед. ун-та, 2006.– 55 с.

Елабужский государственный

педагогический университет, 2006 
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебно-методическое пособие подготовлено по разделу “Электричество и магнетизм” в соответствии с государственными образовательными стандартами высшего профессионального образования и предназначено для организации самостоятельной и аудиторной работы на лекционных и практических занятиях по курсу физики, а также самостоятельного изучения раздела. Теоретический и практический материал распределен по трем темам: электростатика, постоянный электрический ток, электромагнетизм. По каждой теме приведены блоки, посвященные решению задач, которые состоят из примеров решения задач и подборки задач для самостоятельного решения. Данное пособие рекомендовано для студентов специальностей с ограниченным числом часов по физике, а также студентов заочной формы обучения, в частности, для студентов технолого-экономического, биологического и нефизических специальностей физико-математического факультетов педагогического института.

ТЕМА 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§1. Закон сохранения электрического заряда.

Закон Кулона.
Все тела в природе способны электризоваться, то есть приобретать электрический заряд. В природе существуют частицы с электрическими зарядами проти­воположных знаков. Заряд электрона считают отрицательным, а заряд протона – элементарной частицы, которая входит в состав ядра атома, – положительным. Большинство тел электрически нейтрально; число электронов в них равно числу протонов. Если нарушить электрическую нейтральность тела, то оно становится наэлектризованным (заряженным). Тело заряжено отрицательно – значит, оно имеет избыток электронов. Тело, в котором электронов мень­ше, чем положительно заряженных частиц, заряжено положительно. При взаимодействии одноименные заряды отталкиваются, разно­именные – притягиваются.

Электрический заряд обладает свойством дискретности – при электризации электрический заряд изменяется на строго определенное значение, равное или кратное минимальному количеству электричества, называе­мому элементарным электрическим зарядом. Наименьшая по массе стабильная частица, обладающая элементар­ным электрическим отрицательным зарядом, называется электроном. Заряд электрона е = 1,6 10^-19 Кл. Масса электрона т_е = 9,1110^–31 кг. За­ряд протона положителен и по модулю равен заряду электрона, его масса т_р = 1,6710^–27 кг. Заряд тела, состоящего из N заряженных частиц, кра­тен целым значениям заряда электрона: q=±Ne. Заряд электрона впервые был измерен Р.Э.Милликеном в 1909 г. Дробных зарядов в свободном состоянии не существует.

Опытным путем был установлен фундаментальный закон природы –закон сохранения электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри этой системы.

Единица заряда – кулон (Кл).

Основным законом элек­тростатики является закон взаи­модействия двух неподвиж­ных точечных зарядов. Закон был эксперимен­тально установлен француз­ским физиком Ш. О. Кулоном в 1785 г.: сила элек­трического взаимодейст­вия между двумя неподвижными точечными зарядами, нахо­дящихся в вакууме, пропорциональна произведению за­рядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц физических величин].

Сила направлена по прямой, соеди­няющей заряды, то есть является центральной. Сила отталкивания , действующая на заряд q₂ со стороны одно­именного заряда q₁, совпадает по направлению с радиусом-вектором r, проведенным из q₁ к этому заряду. Сила притяжения, дейст­вующая на заряд q₂ со стороны разноименного заряда q₁, имеет проти­воположное направление (рис., 6). Силы отталкивания принято счи­тать положительными, силы притяжения – отрицательными. В векторной форме закон Кулона записывается в виде

Коэффициент k в законе Кулона в СИ опре­деляется по формуле :

=9.10⁹Н.м²/Кл², а _о= Ф/м =8,85.10^-12 Ф/м.

Здесь _о – электростатическая постоянная.

Таким образом, закон Кулона в скалярном виде: . Этот закон мы сформулировали для вакуума. С учетом среды:

где  - диэлектрическая проницаемость среды. Для вакуума =1. диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз в данной среде силы взаимодействия между точечными зарядами меньше, чем в вакууме, при одинаковых расстояниях.

§ 2. Электростатическое поле.

Напряженность электростатического поля.
Если имеем систему неподвижно распределенных электрических за­рядов, то их взаимодействие осуществляется посредством электрического (электростатического) поля. Электроста­тическое поле не изменяется во времени и создается только электриче­скими зарядами.

Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если в пространство, окружающее этот заряд q, внести другой заряд. Обычно для исследования свойств поля пользуются положительным за­рядом, который называют пробным и обозначают (считают, что пробный заряд не искажает изучаемого поля). На пробный заряд, помещенный в какую-либо точку поля, создаваемого зарядом q, действует сила

Если в одну и ту же точку поля вносить разные заряды q₁, q₂, q₃,..., то на них будут действовать разные силы F₁, F₂, F₃, ..., но отношение

F₁/q₁= F₂/q₂ = F_i/q_i=const

для этой точки поля всегда будет постоянным. Отношение называют напряженностью электростати­ческого поля.

Напряженность поля точечного заряда:

Единица напряженности — вольт на метр (В/м).

Напряженность – величина векторная. За направление вектора на­пряженности Е принимают направление силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещен­ный в данную точку поля.

Напряженность – сило­вая характеристика поля; она численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд:

.

Электростатическое по­ле графически удобно пред­ставлять силовыми линиями. Силовыми линиями или линиями напряженности поля называют линии, каса­тельные к которым в каж­дой точке совпадают с век­тором напряженности в данной точке поля. Линии напряженности

электрического поля направлены от положительного заряда к отрицательному, т. е. выходят из по­ложительного, а входят в отрицатель­ный заряды.

Густотой линий напряженно­сти характеризуют величину напряженности поля. В местах, где напряженность поля меньше, линии проходят реже. Примеры простейших электрических полей представлены на рис. 2. (а–д).

Электростатическое поле, во всех точках которого напряжен­ность поля одинакова по модулю и направлению ( = const), называют однородным. Примером такого поля могут быть электрические поля рав­номерно заряженной плоскости и плоского конденсатора вдали от краев его обкладок.
§ 3. Принцип суперпозиции полей. Диполь.
Если электростатическое поле создается не одним, а несколькими зарядами q­₁, q₂, …, q_n, то это поле будет действовать на пробный заряд, помещенный в некоторую точку поля силой . Эта сила равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности: . Но , тогда

.

Полученная формула выражает принцип суперпозиции полей: напряженность электрического поля, созданного несколькими точечными заряженными телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля диполя. Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по значению, но разно­именных точечных зарядов, расположенных на некотором расстоянии l друг от друга. Отрезок прямой l, соединяющий оба заряда, называют осью диполя.

Основной характеристикой диполя является его электрический или дипольный момент – вектор, численно равный произведению ql и на­правленный от отрицательного заряда к положительному:

.

Единица электрического момента диполя — кулон-метр (Кл м).

Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля диполя в произвольной точке , где и – напряженности полей, создаваемый соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Напряженность поля на продолжении оси диполя (в точке А рис. 4): . Обозначим OA=r. Тогда:

Для диполя , поэтому

.

Аналогично можно найти напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси из его середины:

Если диполь поместить в однородное электростатическое поле с на­пряженностью , то на каждый из его зарядов действует сила: на положительный F₊=+qE , на отрицательный F_– = – qE . Эти силы равны по модулю, но противоположны по направлению. Они образуют пару сил, плечо которой l sin , и создают момент пары сил М. Вектор М направлен перпендикулярно векторам и . Мо­дуль М определяется соотношением

где – угол между векторами р и Е.

В однородном поле момент пары сил стремится повернуть ди­поль так, чтобы векторы и бы­ли параллельны.

§4. Поток вектора электрического смещения. Теорема Гаусса.
Смещением называется величина, определяемая (для вакуума) формулой:

То есть это силовая характеристика поля в вакууме.

Если есть однородное поле со смещением D, то потоком электрического смещения называется величина:

где  – угол между нормалью к площадке S и направлением D (рис.7).

Если поле неоднородно (рис.8), то можно выбрать малую площадку dS, в рамках которой поле можно считать однородным. Поток через нее:

Рассчитать поток электрического смещения через любую поверхность можно по формуле:

,

где – проекция вектора D на нормаль к площадке dS:

Поток вектора напряженности электрического поля определяется как:

.

Теорема Гаусса позволяет определить поток вектора смещения (или напряженности) электростатического поля, создаваемого системой зарядов. Рассмотрим частный случай. Определим поток электрического смещения сквозь сфери­ческую поверхность радиусом r, в центре которой расположен точечный заряд +q. По формуле для потока имеем . Для точечного заряда .

Линии электрического смещения перпендикулярны поверхности сферы, =0; следовательно, cos  = 1. Тогда =D.

Теорему Гаусса можно записать в виде:

Если поле создается несколькими зарядами, то

.

Теорема Гаусса: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности.

Применение теоремы Гаусса.

Пусть дана бесконечно большая, равномерно заряженная плоскость с поверхностной плотностью  (поверхностная плотность заряда ). Вслед­ствие симметрии силовые линии перпендикулярны плос­кости и направлены от нее в обе стороны. Выделим элементарную площадку площадью dS (имеющих заряд dq= dS). В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, перпендикулярный заряженной плоско­сти с основанием dS (рис.). Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cos =0), то поток вектора смещения сквозь боковые стороны цилиндра, равен нулю. Полный поток сквозь цилиндр равна сумме потоков через его основания: . По теореме Гаусса . Откуда , или

Используя теорему Гаусса, можно определить смещение, а также напряженность электрического поля, создаваемого: 1) бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или цилиндром с линейной плотностью : или , где r – расстояние от нити до точки, в которой определяется смещение (напряженность); 2) равномерно заряженной сферической поверхности с общим зарядом Q: или .
§ 5. Работа перемещения заряда в электростатическом поле.

Потенциал поля. Разность потенциалов.

Если в поле заряда +q перемещаем пробный заряд q из точки 1, удаленной от заряда +q на расстояние r₁, в точку 2, находящуюся на расстоянии r₂ от заряда +q, то работу по перемещению пробного заряда можно определить как: .

Учтем: 1) F =Еq’– кулоновская сила, действующая на пробный заряд q’ в каждой точке поля с напряженностью Е; 2) Напряженность поля точечного заряда: ; 3) (см. рис.) и произведем подстановки в формулу для работы:



Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зави­сит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения на­чальной и конечной точек траектории. Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа, совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:

 

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Из обращения ее в нуль следует, что линии напряженности электростатического поля никогда не могут быть замкнуты сами на себя. Они начинаются и кончаются на зарядах, либо уходят в беско­нечность. Это свидетельствует о наличии в природе двух родов электрических за­рядов. Формула справедлива только для электростатического поля.

При перемещении зарядов изменяется их взаимное расположение, поэтому работа, совершаемая электрическими силами, в этом случае рав­на изменению потенциальной энергии перемещаемого заряда:

,

откуда следует, что потенциальная энергия заряда q: . Принято считать (при ), поэтому: .

В любой точке поля потенциальная энергия W заряда численно равна работе, которую необходимо совершить для перемещения заряда из бесконечности в эту точку.

Отношение зависит только от q и r. Эту величину называют потенциалом:

Единица электрического потенциала ­– вольт (В).

Она характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы по­ложительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля. Потенциал является энергетической характеристикой электрическо­го поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения. Для поля точечного заряда: .

Потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов: .

Работа сил поля при перемещении заряда q’ из точки 1 в точку 2 может быть записана в виде:

Величину называют разностью потенциалов (напряжением) электриче­ского поля. Понятие разности потенциалов применимо лишь к двум различным точкам поля.

Если принять , то . Потенциал данной точки поля равен работе перемещения единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
§ 6. Связь между напряженностью и потенциалом.
Напряженность и по­тенциал – силовая и энергетическая характеристики одной и той же точки поля; следо­вательно, между ними должна существовать однозначная связь.

Рассмотрим перемещение заряда q’ в однородном электрическом поле, напряженность которого (рис.12). Заряд перемещается из точки, потенциал которой ₁, в точку с потенциалом ₂. Работа, которую совершают силы электростатического поля при этом перемещении: .

C другой стороны, эта работа может быть представлена как:

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем .

В общем случае неоднородного поля точки 1 и 2 нужно выбрать так, чтобы можно было считать напряженность постоянной. Переходя к пределу , получим .

Через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве. В векторном виде:

Выражение называется градиентом потенциала. Эта величина характеризует быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии. Знак «минус» означает, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала. Связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряжен­ности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Графически распределение потенциала электрического поле можно изображать с помощью эквипотенциальных по­верхностей – совокупностей точек, имеющих одинаковый потенциал. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности да­ют эквипотенциальные линии.

Эквипотенциальные линии (поля точечного заряда) представляют собой концентрические окружности, эквипотенциальные поверхности — концентрические сферы. Из рисунка видно, что линии напряженности (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.
§ 7. Проводники и диэлектрики в электрическом поле.
По электрическим свойствам все вещества делятся на три больших класса: диэлектрики, полупроводники и проводники. К проводникам относятся: металлы (проводимость осуществляется свободными электронами), электролиты (проводимость осуществляется ионами и сопровождается переносом вещества), плазма (носителями тока являются свободные электроны, а также положительные и отрицательные ионы).

Рассмотри твердые металлы. В металлических проводниках концентрация свободных электронов порядка 10²⁸ м^–3. Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия заря­дов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

• на­пряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю (Е = 0), т. е. потенциал внутри проводника = const;

• напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности (Е = Е₀).

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника эквипотенциальна. Если проводнику сообщить некоторый заряд q, то он распределится по внешней поверхности проводника. При внесении незаряженно­го проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движе­ние: положительные — в направлении вектора , отрицательные – в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными заряда­ми. Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю . Пе­рераспределение носителей заряда происходит до тех пор, пока напряженность поля внутри проводника не будет равна нулю, а линии напряженности вне проводника перпендикулярны его поверхности. (Вследствие принципа суперпозиции: , , но  ). Таким образом, нейтральный про­водник, внесенный в электрическое поле, раз­рывает часть линий напряженности. Индуци­рованные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри провод­ника имеется полость, то при равновесном ин­дуцированном распределении зарядов напряженность поля внутри полос­ти равна нулю. Индуцированные заряды исчезают при удалении провод­ника из электрического поля.

Идеальный диэлектрик тот, который не проводит электрический ток. У диэлектриков нет свободных электронов, но положительные и отрицательные заряды в атомах смещаются друг относительно друга, то есть образуют диполь с электрическим моментом . В отсутствии поля эти диполи ориентированы произвольным образом, то есть суммарный дипольный момент равен нулю: . Если диэлектрик поместить во внешнее поле с напряженностью , тогда диполи ориентируются в этом поле (рис.15). Такое состояние диэлектрика называется поляризацией. Поляризация диэлектрика приводит к появле­нию связанных зарядов _св, на его поверхности. Напряженность электростатического поля, созда­ваемого связанными зарядами, направлена противопо­ложно напряженности внешнего, поляризующего ди­электрик электростатического поля (рис.). Напря­женность суммарного поля внутри диэлектрика равна:  . Но  .

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной вели­чиной Р, называемой поляризованностью, т. е. векторной суммой дипольных моментов молекул, находящихся в единице объема:

где – дипольный момент отдельно взятой молекулы, п – концентрация атомов или молекул в объеме V.

Единица поляризованности – кулон на квадратный метр (Кл/м²).

Для изотропного диэлектрика поляризованность пропорциональна напряженности поля внутри него:

(7.1)

где – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, зависящая от строения вещества и температуры, величина безразмерная. Она отражает степень реакции среды на внешнее воздействие электрического поля.

Поляризованность направлена вдоль внешнего электростатического поля Е₀, в котором находится диэлектрик. Вектор электрического смещения для диэлектрика: .

Подставим сюда (7.1):

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

 относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше, чем в диэлектрике. Эта величина безразмерная.
§8. Электроемкость. Конденсаторы.
Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхно­сти так, что напряженность поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику сообщить такой же заряд q, то он также распределится по поверх­ности проводника. Отсюда вытекает, что потенциал проводника пропор­ционален находящемуся на нем заряду: .

Коэффициент пропорциональности С называют электроемкостью:

Электроемкость проводника или системы проводников – физиче­ская величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрические заряды.

Единица электроемкости – фарад (Ф).

Для примера рассчитаем электроемкость уединенного проводника, имеющего форму сферы радиусом R. Используя соотношение между потенциалом и напряженностью электростатического поля , найдем: .

При вычислении полагаем, что _= 0. Следовательно, электроемкость уединенной сферы равна:

Из этого соотношения видно, что электроемкость зависит как от геометрии проводника, так и от относительной диэлектрической прони­цаемости среды.

Известно, что электроемкость проводника в общем случае зависит как от среды, в которой он находится, так и от расположения окружаю­щих его проводников. Практический интерес представляют конденсато­ры – система из двух проводников, обкладок, разделенных диэлектри­ком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Элек­троемкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками. При этом расстояние между обкладками значительно меньше их площади. По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сфери­ческие и слоистые конденсаторы. Электроемкость плоского конденсатора ,

где S - площадь пластины, d – расстояние между пластинами.

Для получения необходимой электроемкости конденсаторы соеди­няют в батарею. Различают два вида соединений: параллельное и после­довательное.

При последовательном соединении конденсаторов (рис.16): q₁= q ₂= ...= q _n= q ₀;

;

При параллельном соединении конденсаторов (рис.17):

U₁=U₂=...=U_n=U₀; q₀ = q₁+ q₂+ ...+q_n= ;

C₀=C₁+C₂+...+C_n= .

§9. Энергия электростатического поля.
Пусть два точечных заряда q₁ и q₂ находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенци­альной энергией: ,

где ₁₂ и ₂₁ — соответственно потенциалы поля заряда q₂ в точке нахожде­ния заряда q₁ и заряда q₁ в точке нахождения заряда q₂ .

Для точечных зарядов: ;

Следовательно, или

Таким образом:

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(9.1)

– потенциал поля, создаваемого п – 1 зарядами (за исключением q_i) в точке, в которой находится заряд q_i..

Энергия уединенного заряженного проводника. Уединенный незаряженный проводник можно зарядить до потен­циала , многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его по­тенциал на d, тогда .

Следовательно,

т. е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на величину: .

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энер­гию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до : (9.2)

Применяя соотношение  = q/C, получаем следующие выражения для потенциальной энергии: ,

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

W= , (9.3)

где U= –разность потенциалов между обкладками. Полученные формулы справедливы при любой форме обкладок конден­сатора.

Для плоского конденсатора: , тогда

, (9.4)

где – объем конденсатора. Формула (9.4) показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, – напряженность Е. Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема):
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ 1.

Примеры решения задач.

Задача 1. Три одинаковых положительных заряда по 1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (см. рис.18) Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Дано: q₁=q₂=q₃=1.10^-9Кл. Найти: q₄ -?

Решение. Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например q₁, находился в равновесии.

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

(1)

где , , – силы, с которыми соответственно действуют на заряд q₁ заряды q₂ , q₃ и q₄, – равнодействующая сил , .

Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: F – F₄=0 , или F = F₄.

Выразив в последнем равенстве F через F₂ и F₃ и учитывая, что F₂=F₃, получим: F₄= F₂ . Применяя закон Кулона и имея в виду, что q₂=q₃=q₁, найдем , откуда

(2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что r₁= ; cos = cos 60^o=0,5. С учетом этого формула (2) примет вид: . q₄=0,58.10^-9 Кл = 0,58 нКл

Задача 2. Два одинаково заряженных шарика, имеющие массу 0,5 г каждый и подвешенные на нитях длиной 1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряд каждого шарика.

Дано: m₁=m₂=m=0,5г=5.10^-4 кг, l=1м; r=4 cм=4.10^-2м.

Найти: q₁=q₂=q-?

Решение. Так как шарики заряжены, то на каждый из них действует сила электростатического отталкивания . Кроме того на шарики действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Направления сил указаны на рисунке. По условию равновесия равнодействующая всех сил равна нулю:

(1),

где . Выбираем систему координат х0у и запишем уравнение (1) в проекциях на оси 0х и 0у:

0х: F_э– F_н sin= 0 (2), 0у: mg – F_н сos = 0 (3).

Уравнение (2) делим на уравнение (3): F_э / mg= tg  (4).

По условию r<<l, поэтому tgsin=r/2l. Тогда из (4)

q²/4_or² =mgr/(2l), отсюда q= 1,3.10^-9 (Кл)_.
Задача 3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 30 нКл и -10 нКл. Расстояние между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 15 см от первого и на расстоянии 10 см от второго зарядов.

Дано: q₁=3.10^-8Кл, q₂=10^-8Кл, d=0,2 м, r₁=0,15 м; r₂=0,10 м.

Найти: E-?

Решение. Согласно принципу суперпозиции , где , . Вектор направлен по силовой линии от заряда q₁, так как q₁>0, вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q₂, так как q₂ < 0 (рис. 20).

Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:

,

где угол  может быть найден из треугольника со сторонами d, r₁ и r₂: cos =( d² – r₁² – r ₂²)/( 2 r ₁ r ₂)=0,25.

. Е=16,7 кВ/м.
Задача 4. Шарик массой 1 г перемещается между точками, потенциал первой 600 В, второй - равен нулю. Определить скорость шарика в первой точке, если во второй точке его скорость 30 см/с. Заряд шарика 10 нКл.

Дано: m=10^-3 кг, ₁=600 В, ₂=0, ₂=0,3 м/с, q=10^-8 Кл

Найти: ₁=?

Решение. Шарик перемещается в электрическом поле под действием силы со стороны поля. Работа этой силы А = q (₁ – ₂). По теории об изменении кинетической энергии А=Е_К, где Е_К = - изменение кинетической энергии шарика. q(₁–₂)= . Отсюда ₁= ; ₁=0,28 (м/с).
Задача 5. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 10⁶ м/с. Длина конденсатора 1 см, напряженность электрического поля в нем 5.10³ В/м. Найти скорость электрона при вылете из конденсатора и его смещение y.

Дано: ₀=10⁶ м/с; l=10^-2м, Е=5.10³ В/м; m_e=9,1/10^-31 кг; q_e=1,6.10^-19 Кл.

Найти:  - ? y -?

Решение. Сила тяжести, действующая на электрон F_т=mg=9.10^-30 Н.

Со стороны электрического поля на электрон действует сила

F_э =q_e E=1,6.10^-19.5000 =8.10^-16Н.

Следовательно, F_т << F_э. Можно считать, что движение электрона происходит только под действием силы F_э. Так как вектор начальной скорости электрона параллелен пластинам, то траектория электрона - парабола. Движение электрона можно рассматривать как сумму двух движений - вдоль осей 0х и 0y. Вдоль оси 0х - движение равномерное со скоростью ₀. Поэтому l =₀ t, где t - время движения в поле конденсатора, откуда:

t=l /₀ (1).

Вдоль 0у - движение равноускоренное под действием силы F_э =q_e E.

По второму закону Ньютона F_э = m_e a. Отсюда ускорение электрона:

а= (q_e E)/ m_e . (2)

Начальная скорость вдоль оси 0у: _0y=0. Тогда перемещение вдоль оси 0у: y= аt²/2. Учитывая (1) и (2), получим:

y=q_e E l² / (2m_e₀) y=4,4 .10^-2 м.

Скорость электрона в момент вылета из конденсатора направлена по касательной к траектории его движения. Она равна: , где _x=₀, _y=at=(q_e E l)/(m_e ₀) =8,8.10⁶ (м/с).

Тогда = =8,85.10⁶ (м/с)
Задачи для самостоятельного решения.
1.1. Два точечных заряда, находясь в воздухе (=1) на расстоянии 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить заряды в масле, чтобы получить ту же силу взаимодействия?

1.2. Два одинаковых проводящих шарика малых размеров расположены в воздухе на расстоянии 60 см друг от друга. Их заряды равны 410^–7 Кл и 0,810^–7 Кл. Шарики приводят в соприкосновение, а затем удаляют на прежнее расстояние. Определить силу их взаимодействия до и после соприкосновения.

1.3. Два положительных точечных заряда q и 4q закреплены на расстоянии 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд q₁ так, чтобы он находился в равновесии.

1.4. Два точечных заряда q=1,1 нКл каждый находятся на расстоянии 17 см. С какой силой и в каком направлении они действуют на единичный положительный заряд, находящийся на таком же расстоянии от каждого из них?

1.5. Два шарика одинаковых радиуса и массы подвешены на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда q_o=0,4 мкКл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол 2=60^о. Найти массу каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса 20 см.

1. 6. Два точечных заряда 4 нКл и -2 нКл расположены на расстоянии 60 см. Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему будет равна напряженность, если второй заряд заменить на положительный той же величины.

1.7. Какой угол с вертикалью составляет нить, на которой висит заряженный шарик массой 10 г, помещенный в горизонтальное однородное электрическое поле напряженностью 20 кВ/м? Заряд шарика 2,5 мкКл.

1.8. Электрическое поле создано двумя бесконечными плоскостями, заряженными равномерно одноименными зарядами с поверхностными плотностями ₁=2 нКл/м² и ₂=4 нКл/м². Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей.

1.9. В элементарной теории атома водорода Бора принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите радиуса 52,8 пм. Определить: 1) скорость электрона на орбите, 2) потенциальную энергию электрона в поле ядра.

1.10. Металлический шар радиусом 5 см несет заряд q=10 нКл. Определить потенциал электростатического поля: 1) на поверхности шара; 2) на расстоянии а=2 см от его поверхности.

1.11. Найти заряды на каждом из конденсаторов в цепи, изображенной на рис. 1.11, если С₁=2 мкФ, С₂=4 мкФ, С₃=6 мкФ, E=18 В.

1.12. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов U₁=500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними 1,5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами внесли парафин (=2). Какова будет разность потенциалов между пластинами U₂ после внесения диэлектрика? Найти также емкость конденсатора С₁ и С₂ до и после внесения диэлектрика.

1.13. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см. К пластинам приложена разность потенциалов U₁=3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 5 см? Найти энергии конденсатора до и после раздвижения пластин?

1.14 Решить предыдущую задачу при условии, что сначала конденсатор отключается от источника напряжения, а затем раздвигаются пластины конденсатора.

1.15. Заряженная пылинка массой 10^-8 г находится в однородном электростатическом поле между двумя горизонтальными пластинами, из которых нижняя заряжена до потенциала 3 кВ, а верхняя до потенциала – 3 кВ. Расстояние между пластинами 5 см. Пылинка, находясь в начале на расстоянии 1 см от нижней пластины, долетела до верхней за время t=0,1 с. Найти заряд пылинки. Каким зарядом должна обладать пылинка. чтобы оставаться в равновесии?

1.16. В двух одинаковых плоских конденсаторах пространство между обкладками заполнено диэлектриком с =3 в одном наполовину, в другом полностью. Найти отношение емкостей этих конденсаторов.

1.17. Найти емкость системы конденсаторов, изображенной на рисунке 1.17. Емкость каждого конденсатора 0,5 мкФ.

1.18 Разность потенциалов между точками А и В 6 В (см.рис.1.18). Емкость первого конденсатора 2 мкФ и емкость второго конденсатора 4 мкФ. Найти заряды q₁ и q₂ и разности потенциалов U₁ и U₂ на обкладках каждого конденсатора.

1.19. Шар радиусом 1 м заряжен до потенциала 30кВ. Найти энергию заряженного шара.

1.20. Конденсатору, емкость которого равна 10 пФ, сообщен заряд 1 нКл. Определить энергию конденсатора.

следующая страница>