Лекция №6

Тема: «Взаимодействие заряженных частиц с веществом»

Вопросы:

1. 
   Формула Резерфорда. Волны де Бройля. Опыты Хофштадтера. Формула Мотта. Форм-фактор.
   
2. 
   Ионизационное торможение заряженных частиц. Уравнение Бете-Блоха.
   
3. 
   Пробег заряженных частиц в веществе. -электроны.
   
4. 
   Упругое рассеяние заряженных частиц на ядрах. Ядерное взаимодействие.
   
5. 
   Тормозное излучение.
   
6. 
   Излучение Вавилова-Черенкова.
   

1. Формула Резерфорда. Волны де Бройля. Опыты Хофштадтера. Формула Мотта. Форм-фактор.
К заряженным частицам относятся электроны, протоны, дейтоны, -частицы, положительные и отрицательные мезоны и гипероны, ядра (ионы) тяжелых элементов. Взаимодействие этих частиц с электронами, атомами, ядрами среды происходит через кулоновские, электромагнитные и ядерные силы. Поэтому число различных процессов взаимодействия достаточно велико. Основными механизмами взаимодействия заряженных частиц с веществом являются электромагнитное взаимодействие с электронами вещества (ионизация), а также внутриядерные взаимодействия с нуклонами ядра.

Процессы взаимодействия разделяют на упругие и неупругие. При упругом взаимодействии не изменяется природа частиц и их суммарная энергия остается постоянной до и после взаимодействия. Происходит только перераспределение энергии между взаимодействующими частицами. Возможен и такой случай, когда не происходит изменения энергии каждой из взаимодействующих частиц, а изменяется только направление их движения (рассеяние электрона на электронах, например). При неупругом взаимодействии также не изменяется природа частиц, но их суммарная энергия после взаимодействия меньше (часть энергии тратится на возбуждение атомов, излучение, нагревание системы, совершение работы и т.п.). Для разных частиц в различных диапазонах энергии преобладают те или иные процессы. Основное различие во взаимодействии тяжелых и легких заряженных частиц состоит в том, что для легких частиц существенны потери энергии в результате электромагнитного излучения (радиационные потери энергии).

Вероятность рассеяния заряженной частицы в кулоновском поле ядра описывается формулой Резерфорда. Дифференциальное сечение рассеяния нерелятивистской бесструктурной (точечной) заряженной частицы с нулевым спином в кулоновском поле бесспинового точечного ядра (с массой значительно большей массы частицы) можно вычислить в рамках классической и квантовой электродинамики. В обоих случаях приходят к формуле Резерфорда, которая в пренебрежении отдачей ядра выглядит одинаково в системах лабораторной (ядро покоится) и центра масс (суммарный импульс частицы и ядра нулевой):

Здесь Z_e – заряд частицы, Z_яe – заряд ядра, Т_ – кинетическая энергия частицы, b – прицельный параметр.

Формула Резерфорда получена для потенциала ядра и применима при r>R_я.

При выводе пренебрегали экранировкой внешними электронами. Из выражения для r_min можно определить размер ядра (либо увеличивая кинетическую энергию частицы, либо уменьшая ее заряд). Можно также изучать рассеяние на большие углы , что соответствует уменьшению прицельного параметра “b”. При этом надо рассматривать такие малые расстояния, при которых формула Резерфорда начнет нарушаться (это будет означать, что частица начинает “чувствовать” поверхность ядра).

На рис.15 представлен результат эксперимента по рассеянию  - частиц с Т_=22МэВ на ядре . Видно, что при 90^о происходит отклонение от формулы Резерфорда. Оценим “b” для угла =90^о, при котором начинается это отклонение:

Уменьшение числа -частиц, рассеянных под большими углами (>90⁰), по сравнению с формулой Резерфорда, объясняется их поглощением ядром за счет ядерных сил (радиус действия которых ≈10^-13см).

Рис.15.

Формула Резерфорда рассматривает процесс взаимодействия заряженных частиц на корпускулярном уровне. Но микрочастицы обладают и волновыми свойствами. Их длина волны определяется формулой де Бройля:

где

При рассеянии должны проявляться волновые свойства рассеиваемой частицы (рис.16). Если рассеяние происходит на круглом объекте с четкими границами радиуса R, то дифракция возникает при   R и дифракционные минимумы проявляются при углах





Рис.16

Хофштадтер использовал для экспериментов по рассеянию пучок электронов с Т_е=250 МэВ. Их длина волны уже достаточно мала, и наблюдалась дифракционная картина. При использовании электронов с Т_е=750 МэВ (рис. 17) дифракционная картина ещё более отчётлива (рассеяние на ядре ⁴⁰₂₀Са). Из положений минимумов можно оценить радиус ядра ⁴⁰₂₀Са:

Используя для оценки радиуса ядра формулу для ⁴⁰₂₀Са получим R=3,6 Фм.

Из формулы угловой зависимости дифференциальных сечений рассеяния можно извлечь пространственное распределение плотности заряда в ядре ρ(r).

Из экспериментальных данных по упругому рассеянию электронов на ядре можно извлечь сведения о пространственной структуре ядра-мишени. Упругое рассеяние означает, что не происходит изменения внутреннего состояния ядра после рассеяния. Оно не возбуждается. Прежде всего рассмотрим рассеяние электронов на точечном (бесструктурном) и бесспиновом ядре. Рассеяние на точечном объекте, естественно, всегда только упругое. Для дифференциального сечения рассеяния должна иметь место формула наподобие формулы Резерфорда. Однако эта формула должна отличаться от формулы Резерфорда в двух отношениях:

1. 
   должна быть применима к релятивистским частицам (v≈c)
   
2. 
   должна учитывать наличие ненулевого спина (½) у электрона
   

Такая формула была получена Моттом в рамках квантовой электродинамики и (в пренебрежении отдачей ядра) имеет вид:

Множитель cos²θ/2 появляется из-за наличия спина у электрона. Формула Мотта получена в предположении бесструктурности (точечности) ядра. Если ядро – протяжённый сферически- симметричный и бесспиновый объект с плотностью заряда ρ(r), то экспериментальное сечение упругого рассеяния электронов на нём будет отличаться от моттовского неким дополнительным множителем, который определяется только кулоновским взаимодействием и называется кулоновским форм-фактором:

Величина форм-фактора F зависит от ρ(r) и может быть рассчитана для любого ρ(r), так как известен характер взаимодействия электронов с любым заряженным объектом – это электромагнитное взаимодействие. Электроны не участвуют в ядерном (сильном) взаимодействии и взаимодействуют с ядром почти исключительно посредством электромагнитного поля. Это важное преимущество электронов по сравнению с другими зондирующими частицами, такими, например, как , n , p, которые участвуют в ядерных взаимодействиях. Кроме того, на современном уровне знаний электрон можно считать точечной частицей (до расстояний порядка см у электрона не обнаружена структура (отличие от точечности)). Таким образом, в форм-фактор упругого рассеяния даёт вклад только ρ(r) ядра. Следует также отметить, что форм-фактор зависит от величины импульса, который получило ядро при рассеянии. Схема нахождения ρ(r) такова. Определяют и затем сравнивают с . Из этих различий находят F. Подбирают такое ρ(r), которое воспроизводит значение F: . В свою очередь, так как заряд ядра создаётся протонами, , где - волновая функция протона в ядре (в пренебрежении отличиями в индивидуальных волновых функциях протонов ядра, иначе следовало бы использовать сумму ).
2. Ионизационное торможение заряженных частиц. Уравнение Бете-Блоха.
Поскольку действие -излучения и нейтронов скорее результат воздействия вторичного излучения, т.е. электронов и протонов отдачи, чем результат их первичных взаимодействий, данные, полученные при изучении взаимодействия заряженных частиц с веществом, можно использовать не только для описания действия быстрых электронов или ионов, но также и для описания воздействия -излучения и нейтронов.

Проходя через вещество, заряженные частицы теряют свою энергию при упругом рассеянии на ядрах атомов среды, ионизации атомов и их возбуждении, а также при образовании тормозного излучения. Специфика взаимодействия электронов с веществом при этом в том, что при соударениях с атомными электронами они могут терять значительную часть своей энергии – в среднем до половины (и рассеиваться на большие углы). В результате путь электрона в среде не будет прямолинейным, как для тяжёлых заряженных частиц, и траектории электронов с равной энергией могут быть различными.

При электромагнитном взаимодействии быстрой заряженной частицы с электронами атомов вещества, атомы переходят в возбуждённое состояние. Спектр этих состояний дискретный. Когда электрон вырывается из атома, энергия его имеет значения 0eчаст, атом при этом ионизируется.

Увеличение энергии электрона происходит за счёт кинетической энергии падающей частицы. Тяжёлая заряженная частица ничтожно отклоняется от своего прямолинейного пути и этим отклонением можно пренебречь.

Пусть частица с зарядом и массой со скоростью пролетает на расстоянии (прицельный параметр) от электрона атома:


- электростатическая сила,

_{_|_} и _|| - нормальная и предельная ее составляющие.

Взаимодействие приведёт к тому, что частица получит импульс

; (т.к. продольная компонента силы на пути до точки наибольшего сближения и после нее имеет противоположенные знаки.)

Если считать, что взаимодействие существенно только на некотором расстоянии (отрезке пути), равном , то время пролёта . Кулоновская сила на этом участке , поэтому

.

Переданная электрону энергия , т.е. эту энергию (в среднем) и теряет падающая частица.

Чтобы учесть все электроны, с которыми взаимодействует тяжёлая падающая частица на расстоянии , рассматривают кольцевой слой и цилиндр единичной длины (объём ), в котором находится электронов ( - электронная плотность). В результате взаимодействия с ними заряженная частица теряет энергию на единице длинны пути вдоль трека (ЛПЭ – линейные потери энергии):

.

Чтобы получить полные потери энергии, следует проинтегрировать. Но при интегрировании от 0 до получается бессмысленный результат ( и частица тормозится мгновенно, а при - интеграл расходится).

Поэтому следует выражение для ЛПЭ переписать в виде и определить и .

В классической физике определяется исходя из максимальной энергии, которая может быть передана электрону в атоме. При лобовом столкновении она равна , и эта энергия, как показано выше, равна , следовательно, из равенства получаем для :

.

В релятивистском случае для получаем

.

Учитывая квантовомеханический характер столкновения, согласно принципу неопределённости для получаем .

Практически всегда , поэтому в качестве минимального значения прицельного параметра выбирают .

Предельное значение выбирают, определяя такое значение прицельного параметра, при котором не происходит возбуждения атома, т.е. когда возрастает настолько, что время столкновения начинает превышать период обращения электронов по орбите . При этом падающая частица перестаёт терять энергию на взаимодействие с этим атомом. Из этих соображений выбирают , где - средняя частота обращения электронов вещества по их атомным орбитам.

В релятивистском случае надо учесть, что поле падающей частицы сжимается относительно направления движения. В результате сжатия время столкновения уменьшается и станет , тогда оценка максимального значения прицельного параметра будет следующей:

.

Последнее приводит к тому, что энергия будет передаваться более удалённым электронам.

Точный расчет для ионизационных потерь энергии тяжёлой заряженной частицей приводит к выражению (*), в котором - число атомов в 1 см³, - эффективный атомный номер, , - средний ионизационный потенциал атомов поглощённого вещества – мера энергии, необходимой для удаления электронов из соответствующих состояний, умноженная на частоту событий. Значение примерно определяется по формуле .

Под понимают порядковый номер элемента, 1 г которого поглощает ту же энергию -излучения, что и 1 г сложного вещества (при тех же условиях облучения). Когда ослабление -лучей обусловлено комптоновским эффектом ; где - весовые доли входящих в сложное вещество элементов, - их атомные номера. В случае, когда фотоэффектом пренебречь нельзя .

Это уравнение — это уравнение Бете-Блоха для ионизационных потерь энергии тяжёлыми заряженными частицами. Когда через вещество проходит электрон, эта формула изменится, т.к. электрон существенно отклоняется от своего первоначального направления после взаимодействия с электронами атомов (кроме того, возникают так называемые обменные эффекты, имеющие квантовую природу). В этом случае выражение для удельных потерь энергии примет вид

;

- кинетическая энергия электрона.

Т.о. для частицы данного типа . Для релятивистской области энергий наблюдается некоторый рост ЛПЭ (в области энергий свыше 10 МэВ) за счёт члена в скобках, связанного с тормозной способностью вещества.

Если переписать величину в зависимости от энергии частицы с массой M, то получим , откуда видно, что ЛПЭ прямо пропорциональны массе частицы и обратно пропорциональны её кинетической энергии. На рис. 18 приведена зависимость ЛПЭ в воде для некоторых частиц в функции от их энергии.

Рис.18. Зависимость ЛПЭ частиц в воде от их энергии:

1 – электроны, 2 – протоны, 3 – -частицы.

В области низких энергий (низких скоростей) заряженной частицы изменяется её заряд. Так, -частица, проходящая через вещество, не всегда имеет двойной заряд, поскольку она может, захватив электрон, продолжать свой путь как частица, имеющая одиночный заряд, и вследствие этого слабее взаимодействующая. Вероятность захвата увеличивается по мере того как частица замедляется. При достаточно низких скоростях одиночно заряженный ион гелия подхватывает ещё один электрон и таким способом превращается в атом гелия с ещё более низкой плотностью ионизации. Эти процессы учтены Баркасом, который предложил формулу для заряда частицы, зависящего от скорости .

При низких скоростях и , таким образом, и . С другой стороны, поскольку так же снижается, как при высоких энергиях, ЛПЭ должны пройти через максимум, известный под названием максимум Брэгга, рис. 19.

Рис.19. ЛПЭ электронов и протонов в H₂O в зависимости от их энергии:

1 – протоны, 2 – электроны.

Небольшой подъём при высоких энергиях связан с релятивистскими эффектами (в квадратных скобках в уравнении Бете-Блоха).

В табл. 6 приведены ЛПЭ для различных излучений. Следует ожидать, что излучения, характеризующиеся неодинаковыми физическими характеристиками, будут также различаться и по биологической эффективности.

Табл.6. Значения ЛПЭ для разных видов излучений (H2O или биологическая ткань с =1)

Излучение	ЛПЭ, КэВ/мкм	Излучение	ЛПЭ, КэВ/мкм
-излучение (8 МэВ)	0,2	-частицы (5 МэВ)	90
Рентгеновское (200 КэВ)	2,5	-частицы (3,4 МэВ)	130
Протоны (2 МэВ)	17	Ионы углерода (100 МэВ)	160

3. Пробег заряженных частиц в веществе. -электроны.
В пучке электронов даже при одинаковой их начальной энергии различные частицы по-разному углубляются в толщу вещества. Это связано с их рассеянием. Лишь некоторые электроны могут пройти весь путь в одном направлении. Минимальная толщина поглотителя, необходимая для полного поглощения энергии заряженной частицы, называется линейным пробегом (). Среднее значение модуля вектора между началом и концом пробега заряженной ионизирующей частицы в данном веществе называется средним линейным пробегом (). С увеличением энергии частицы её пробег в веществе возрастает. Пробег заряженной частицы в различных веществах будет обратно пропорционален концентрации электронов в поглощающей среде . Т.к. ( - число Авогадро, - плотность среды, А – массовое число), то , т.е. пробег, если его выражать в массе вещества, приходящегося на единицу площади , будет зависеть только от . За исключением атома водорода и атомов тяжёлых элементов эта величина (начало и середина таблицы Менделеева). Величину называют средним массовым пробегом.

Длина пробега заряженных частиц зависит от заряда и энергии частиц и может быть рассчитана для средних и высоких энергий при интегрировании уравнения Бете-Блоха. Кривые «длина пробега – энергия» для электронов, протонов и -частиц в воде приведены на рис. 20.

Рис. 20. Длина пробега электронов (1), протонов (2) и -частиц (3) в органических веществах с плотностью =1г/см² в зависимостью от энергии.
Чем больше первоначальная энергия частицы, тем больше её пробег в веществе. Для низких энергий падающих частиц эта теория становится неточной и значения, вычисленные для соответствующих длин пробега, недостоверны.

В конце пробега, заряженная частица создаёт больше ионов на единицу пути, чем в начале (рис. 21). Это следует из зависимости линейной плотности ионизации (ЛПИ) от скорости частицы, т.е. из того, что .

Рис. 21. Линейная плотность ионизации для протонов (140 МэВ, биологическая ткань) – 1 и дейтинов (190 МэВ, Н₂О) – 2.
Длина пробега некоторых типов заряженных частиц (в том числе и испускаемых некоторыми изотопами) представлена в таблицах 7-9.

Табл. 7

Длина пробега электронов
Е, КэВ	, мкм
0,1	0,0031
1,0	0,0554
10,0	2,517
100	141,2
480	1651

Табл. 8.

Длина пробега -частиц
Е, МэВ	Воздух, см	Биоткань, мкм
4	2,5	31
4,8	3,3	40
5,5	4,0	49
8,8	8,6	105

Табл. 9.

Длина пробега электронов
Изотоп	Е, МэВ	Воздух, см	Биоткань, мкм
	0,0179	0,2	-
	0,155	15,5	200
	0,167	16,3	240
	0,255	46,5	600
	1,704	600	8000
	3,58	1400	19000

Падающая быстрая заряженная частица передаёт выбитому из атома электрону столь большую энергию, что тот в свою очередь ионизирует соседние атомы до своей полной остановки. В таких случаях говорят об образовании -электронов (иногда устанавливают порог: если их энергия >>100 эВ). На пути движения -электронов наблюдаются вызванные ими скопления ионов (рои). Чем выше энергия -электронов, тем реже рои образуются. Доля скоплений с числом ионов, равным 1, 2, 3, 4 и более четырёх43%; 22%; 12%; 10% и 13% их общего числа. В среднем -электроны способны создать 3-4 пары ионов на своём пути. Почти половина всех ионизаций от заряженных частиц создаётся -электронами.

Возбуждение атомов требует меньше энергии, чем ионизация, и летящая частица способна возбуждать атомы, расположенные на большем удалении от её траектории, чем при ионизации. Поэтому на каждый акт ионизации приходится несколько актов возбуждения, на которые расходуется энергия летящей частицы. В среднем одна пара ионов образуется при поглощении в веществе биологического объекта примерно 33-34 эВ, что больше среднего потенциала ионизации (10-17 эВ). Соответственно этому энергия, теряемая падающей частицей на образование одного скопления ионов, составляет в среднем 100 эВ.

4. Упругое рассеяние заряженных частиц на ядрах. Ядерное взаимодействие.
При пролёте заряженной частицы вблизи ядра передача энергии ядру за счёт кулоновских сил будет невелика. Траектория частицы будет заметно отличаться от прямолинейной, но приближённо и в этом случае можно пользоваться выражением Бете-Блоха (с тем отличием, что m_ч < M_я, передаваемый ядру импульс будет в Z_я раз больше. Z_яe – заряд ядра; Ze – заряд падающей частицы; M_я = A ∙ m_p).

Отношение энергий, передаваемых при столкновениях частицы с ядром и электроном, равно

Поскольку ядер в Z_я раз меньше, чем электронов, то это отношение станет равным

,

т.е. вклад потерь энергии из-за столкновений с ядрами в общие потери энергии незначителен. Но эти столкновения вызывают рассеяние падающих частиц. Электроны претерпевают многократное рассеяние. Угол результирующего рассеяния (отклонения) α является статистической суммой малых углов отклонения при индивидуальных актах рассеяния. (для малых углов отклонения) при индивидуальном рассеянии на угол Θ_i определяется как (взято по большому числу траекторий). Средний угол многократного рассеяния после прохождения в веществе . Определяя α в веществе, можно оценить энергию частицы и её массу. В релятивистском случае ; (для малых Θ; ).

Потери энергии за счёт ядерного взаимодействия играют существенную роль только в случае сильно взаимодействующих частиц: π-мезонов, протонов высоких энергий и т.п. α- и β-излучение в радиоактивных распадах практически не испытывает ядерных взаимодействий. Поскольку это короткодействующие силы, значит, частица должна приблизиться на расстояние ~ 10^-12 см. Для ионизационных потерь аналогичное расстояние ~ 10^-8 см. Поэтому для ядерных взаимодействий сечение взаимодействия σ_я ~ 10^-24 см², а для ионизационного торможения σ_и ~ 10^-16 см², откуда σ_я/σ_и ≈ 10^-8, т.е. только в одном случае из 10⁷ – 10⁸ столкновений произойдёт ядерная реакция.

Однако в ядерных соударениях частица теряет очень большую энергию, тогда как при столкновениях с атомом ~35 – 60 эВ.

5. Тормозное излучение.
Любая заряженная частица, движущаяся с ускорением, излучает электромагнитные волны. При рассеянии кулоновским центром (масса M_я и заряд Z_яe) частица массы m, заряда e и скорости v = β ∙ c претерпевает отклонение и, значит, получает ускорение. В классической электродинамике показано, что заряд, испытывающий ускорение в течение времени dt излучает энергию

;

с – скорость света, - ускорение. Т.к. , то . А это означает, что радиационные потери энергии наиболее существенны у самых лёгких частиц (электронов). Для протонов при той же энергии эффект уже в 4 ∙ 10⁶ раз меньше.

Релятивистский квантовый расчёт Бете и Гайтлера для потери энергии электроном на тормозное излучение показал:

,

где n – число атомов в 1 см³ вещества, E – полная энергия излучающего электрона; .

Отношение потери энергии на тормозное излучение к потерям энергии на ионизацию равно

.

Из этого отношения видно, что, например, в воздухе потери энергии на излучение сравнимы с потерями на ионизацию при E_кр ≈ 80 МэВ, тогда как, например, для свинца - при E_кр ≈ 10 МэВ. E_кр – это энергия, при которой потери на тормозное излучение будут равны потерям энергии на ионизацию (эту энергию называют критической).

6. Излучение Вавилова-Черенкова.
Невелики и потери энергии на световое излучение Вавилова-Черенкова, которое возникает при движении заряженной частицы в среде со скоростью, превышающей скорость света в этой среде.

Заряженная частица, двигаясь внутри диэлектрика с постоянной скоростью, создаёт вдоль своего пути локальную поляризацию его атомов. Сразу же после прохождения частицы поляризованные атомы возвращаются в исходное состояние и излучают электромагнитные волны. При определённых условиях эти волны складываются и наблюдается излучение. Когда скорость частицы больше фазовой скорости света в среде, наблюдается эффект запаздывающей поляризации среды, в результате чего диполи ориентируются преимущественно вдоль направления движения частицы, и волны, испускаемые на различных участках, оказываются в фазе. Т.о. в отдалённых точках будет существовать результирующее поле, причём излучение будет наблюдаться под углом Θ относительно траектории частицы, при котором волны будут когерентны и образуют плоский волновой фронт. Диапазон относительных скоростей, при которых наблюдается излучение Вавилова-Черенкова ; n – показатель преломления, ). В воде (n = 1,33) β_мин. = 1/1,33 = 0,75. Для электронов β > 0,75 выполняется при

.

Максимальный угол, под которым наблюдают излучение Вавилова-Черенкова в воде

Поскольку , а CosΘ не может быть больше 1, излучение может возникнуть только при наличии среды с n > 1 (т.к. β < 1).

Пороговая скорость заряженной частицы для наблюдения эффекта Вавилова-Черенкова: .

Эффект нашёл применение для детектирования быстрых заряженных частиц, определения их скорости и направления движения.