СОДЕРЖАНИЕ



1 Основы способа наименьших квадратов.
1.1 Сущность задачи уравнивания.

До сих пор в теории погрешностей мы, по сути, решали три задачи:

1. Математическая обработка результатов многократных измерений (равноточных или неравноточных) одной величины с целью нахождения вероятнейшего значения этой величины и оценки ее точности.

2. Оценка точности функций одной или нескольких независимо измеренных величин.

3. Оценка точности по результатам двойных измерений.

Если бы при создании геодезических сетей выполнялись только необходимые измерения, проблема их математической обработки исчерпывалась решением этих задач. Однако на практике кроме необходимых выполняют также избыточные измерения, например, в треугольнике измеряют не два, а все три угла. Это дает возможность контролировать качество измерений, повышать надежность определяемых величин и производить надежную оценку их точности.

Таким образом, на практике мы имеем дело не с простой совокупностью независимо измеренных величин, а с системой измеренных величин, связанных жесткими математическими условиями (например, сумма углов в треугольнике должна быть равна 180„a и т.д.).

Отсюда возникает потребность нахождения таких значений измеренных величин, которые бы полностью удовлетворяли математическим условиям данной системы. Достигается это введением соответствующих поправок.

Задача эта получила название: уравнивание геодезических измерений.

Задача уравнивания возникает тогда и только тогда, когда благодаря избыточным измерениям, между измеренными величинами возникают математические соотношения, которые необходимо удовлетворить.

1.2 Два подхода к решению задачи уравнивания.

Существует два подхода к решению задачи уравнивания. Рассмотрим их по существу.

1. Возьмем треугольник, где измерены все три угла. Следовательно, имеет место уравнение

µ §,

где µ §- измеренные углы, µ §- поправки.

Рис. 1.1

Обозначив:

µ §,

где µ §- невязка в треугольнике, можем записать

µ §. (1.1)

В (1.1) µ § - неизвестные, а µ §- свободный член.

Мы получили одно уравнение с тремя неизвестными, которое имеет множество решений, т.е. система является неопределенной.

2. Возьмем систему трех нивелирных ходов с одной узловой точкой. Неизвестной при этом будет высота узловой точки µ §.
h1

h3

1

1

3

h2

2

Рис. 1.2

Следовательно, можно записать три уравнения

µ § (1.2)

где µ §- высоты исходных реперов, µ §- высота узловой точки, µ §- измеренные превышения.

Таким образом, мы имеем три уравнения с одним неизвестным Н. Следовательно, мы снова получили неопределенную систему.

Подведя итог, можно сказать, что решение задачи уравнивания всегда приводит к неопределенной системе уравнений, которая не имеет единственного решения, т.е. не может быть решена по правилам алгебры.

Где же выход?

Решение предложили в начале ХІХ в. немецкий математик и геодезист Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и французский математик Андриен Мари Лежандр (1752-1833). Оно получило название способ наименьших квадратов.
1.3 Принцип наименьших квадратов и его обоснование.

Сущность решения по принципу наименьших квадратов состоит в том, что системы (1.1) и (1.2) решаются под условием

µ §, (1.3)

где р ЁC веса измерений, т.е. под условием минимума суммы квадратов поправок, умноженных на веса измерений. В случае равноточных измерений (1.3) принимает вид:

µ §.

Рассмотрим решение задачи уравнивания по этому способу на примере системы (1.2).

Представим (1.2) в виде:

µ §

где µ § и подставим в (1.3).

µ §

Чтобы найти минимум функции f(H) возьмем производную по переменным µ § и приравняем ее нулю.

µ §

или

µ §.

В результате получим:

µ §. (1.4)

Выражение (1.4) представляет собой общую арифметическую средину.

Чтобы убедиться, что решение (1.4) действительно дает минимум (1.3), найдем вторую производную:

µ §.

Вторая производная положительна. Следовательно,

µ §.

Подведем итог:

1. Мы получили единственное решение системы (1.2). При этом оно оказалось общей арифметической срединой, что подтверждает единство принципа наименьших квадратов и принципа арифметической средины.

2. Из (1.3) и (1.4) следует, что решение (1.4) соответствует минимуму функции (1.3) и соответственно минимуму эмпирической средней квадратической погрешности единицы веса:

µ §.

Следовательно, вес определяемой величины, равный:

µ §,

где с ЁC произвольная положительная постоянная.

При любых значениях с, [p] PH будет максимальным.

Поэтому решение, найденное способом наименьших квадратов соответствует наибольшему весу определяемой величины.

Возникает вопрос, насколько принцип наименьших квадратов отвечает природе накопления погрешностей измерений, рассмотренной нами в первой части, и становятся ли значения измеренных величин, исправленные поправками, найденными способом наименьших квадратов, ближе к их истинным значениям?

Другими словами, не является ли способ наименьших квадратов каким-то надуманным алгоритмом?

По этому вопросу еще в конце ХІХ века известный немецкий геодезист Ф.Р. Гельмерт дал следующее разъяснение:

1. Если результаты измерений содержат только случайные погрешности, подчиняющиеся нормальному закону распределения, то значения неизвестных, полученные по способу наименьших квадратов будут вероятнейшими значениями неизвестных и обладать наименьшей средней квадратической погрешностью.

2. Если результаты измерений содержат погрешности, обладающие только свойствами компенсации, значения неизвестных, хотя и будут иметь наибольший вес, но не могут считаться вероятнейшими значениями неизвестных.

3. Если же результаты измерений помимо случайных, существенно отягощены систематическими погрешностями, то уравнивание измерений по способу наименьших квадратов даст, как всегда однозначное решение, но найденные значения не будут вероятнейшими и не будут обладать наибольшим весом.

Применительно к двум подходам, сформулированных нами в 1.2 в виде уравнений (1.2) и (1.1) существует два способа уравнивания:

1. Параметрический способ

2. Способ уравнивания измеренных величин, связанных условиями.
2 Параметрический способ уравнивания.
2.1 Постановка задачи. Уравнения поправок.

Пусть для определения значений неизвестных x,y,z,ЎKt выполнены равноточные независимые измерения µ §. Общее число неизвестных t , общее число измерений n. При чем n>t, т.е. система неопределенная.

Неизвестными могут быть координаты пунктов, высоты реперов и другие величины, значения которых необходимо определить.

Измеряемыми величинами в этом случае будут горизонтальные направления, горизонтальные или вертикальные углы, длины линий, превышения и т.д.

Между неизвестными x,y,zЎKt и измеренными величинами Li существуют точные математические зависимости, которые в общем виде можно представить:

µ §, (2.1)

где Vi ЁC поправки к измеренным значениям Li .

На основании (2.1) сможем записать систему уравнений поправок в общем виде:

µ § (2.2)

Перед уравниванием уравнения (2.2) необходимо привести к линейному виду. Для этого введем приближенные значения неизвестных µ § и поправки к этим приближенным значениям µ § т.е.

µ § (2.3)

Подставим (2.3) в (2.2)

µ §. (2.2а)

Разложим функцию fi в ряд Тейлора, ограничиваясь только первыми степенями поправок. В результате получим:

µ §, (2.4)

где µ §.

Введем обозначения:

µ § (2.5)

С учетом (2.3), (2.4), и (2.5) система уравнений поправок (2.2) принимает вид:

µ § (2.6)

Общее число уравнений поправок равно числу измерений n.
2.2 Минимум µ §. Нормальные уравнения.

Возьмем систему уравнений поправок в линейном виде. Чтобы выкладки были не такими громоздкими, ограничимся только тремя неизвестными, имея ввиду, что полученные результаты можно будет распространить на любое число неизвестных. Итак,

µ § (2.7)

Число уравнений больше числа неизвестных. Число уравнений n, число неизвестных 3. Число избыточных измерений r = n ЁC 3, а потому система (2.7) не имеет единственного решения.

Найдем для этой системы минимум µ §. Возведем в квадрат левые и правые части уравнений поправок (2.7), а результаты сложим.

µ § (2.8)

Чтобы найти минимум µ §, возьмем от функции (2.8) частные производные по неизвестным µ § и приравняем их нулю

µ §

Сократив на общий множитель 2, получим

µ § (2.9)

В системе (2.9) число неизвестных равно числу уравнений. Такая система имеет единственное решение. Вот почему уравнения (2.9) принято называть нормальными уравнениями.

В этой системе коэффициенты при неизвестных, расположенные по главной диагонали, называют квадратичными, которые всегда положительны. Коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой, т.е. система (2.9) симметрична. Решив эту систему, находим неизвестные µ §. Подставляем неизвестные в (2.7) и находим поправки.

2.3 Уравнения поправок и нормальные уравнения в матричной записи. Решение нормальных уравнений.

Запишем систему уравнений поправок (2.7) в матричной форме.

µ §

или сокращенно:

aд+l=V. (2.10)

Матрица µ § имеет размер µ §, µ §.

Транспонируем матрицу µ § и умножаем ее слева почленно на выражение (2.10).

aTaд+aTl=aTV. (2.11)

Рассмотрим произведения матриц, входящих в (2.11).

µ §µ §, (2.12)

т.е. мы получили матрицу коэффициентов нормальных уравнений (2.9).

µ § (2.13)

т.е. мы получили столбец свободных членов нормальных уравнений (2.9).

µ §. (2.14)

Принимая во внимание (2.12) и (2.13), приходим к выводу, что левая часть выражения (2.11) есть не что иное, как система нормальных уравнений (2.9) в матричной форме. В (2.9) и (2.11) левые части равны. Следовательно, должны быть равны правые. Поэтому можем записать

µ §. (2.15)

Вот почему на основании (2.9) и (2.11), принимая во внимание (2.12), (2.13), (2.14), (2.15), система нормальных уравнений принимает вид:

Ад+л = 0. (2.16)

Так как уравнения поправок (2.10) независимы друг от друга, матрица µ § неособенная. Следовательно, для решения уравнения (2.16) необходимо и достаточно умножить его слева на матрицу µ §, обратную матрице µ §. В результате будем иметь:

д = -А-1л . (2.17)

Подведем итог. Уравнивание параметрическим способом осуществляется в такой последовательности:

1. Подсчитываем количество определяемых неизвестных t, подсчитываем число независимых измерений n и определяем число избыточных измерений r=n-t.

Если n=t, r=0, то задача уравнивания измеренных величин не возникает.

2. Используя только необходимые измерения, определяем тем или иным способом приближенные значения неизвестных µ §

3. Составляем уравнения поправок в общем виде (2.2), приводим их к линейному виду (2.6). В результате получаем коэффициенты уравнений поправок µ §.

4. Вычисляем свободные члены уравнений поправок по формуле (2.5).

5. Составляем матрицу коэффициентов уравнений поправок µ § и матрицу- столбец свободных членов µ §. Размер матрицы µ §(µ §), а матрицы µ §(µ §). Составляем уравнения поправок в матричной форме (2.10).

6. Транспонируем матрицу µ §.

7. Умножаем матричное уравнение (2.10) слева на матрицу µ §. В результате получаем систему нормальных уравнений (2.9), представленную в матричной форме (2.16).

8. Находим матрицу µ §, обратную матрице коэффициентов нормальных уравнений µ §. Размер той и другой матрицы µ §.

9. Умножаем уравнение (2.16) слева на матрицу µ §. В результате получаем вектор-столбец поправок д. Размер матрицы µ §.

10. Вычисляем по формуле (2.3) уравненные значения неизвестных µ §.

11. Подставляем вектор-столбец д в уравнение (2.10), умножаем и складываем матрицы. В результате получаем матрицу-столбец поправок к измеренным величинам µ §. Размер матрицы µ §. Вычисляем уравненные значения µ §

12. Оцениваем точность полученных в результате уравнивания неизвестных величин µ §.

2.4 Оценка точности уравненных значений неизвестных.

Итак, мы получили уравненные значения неизвестных величин µ § и поправки µ §к измеренным величинам µ §.

Теперь, как и в случае математической обработки одной величины, надлежит оценить точность неизвестных, т.е. определить их средние квадратические погрешности µ §. Решение данной задачи имеет некоторые особенности, так как поправки µ § - величины зависимые. Причем мы имеем дело не с одной функцией, а с несколькими.

Поскольку величины µ § (см. 2.1) измерены независимо и равноточно, их средние квадратические погрешности равны:

µ §.

Соответственно будут равны и их веса:

µ §,

µ §.

Обратимся к уравнению (2.17)

д = -А-1л.

В этом выражении переменными являются матрицы д и л. Согласно основной теореме теории погрешностей, принимая во внимание (2.13) и (2.17) средняя квадратическая погрешность совокупности поправок д будет равна:

µ §, (2.18)

где на основании (2.17) и (2.13)

µ § (2.19)

Подставляя (2.19) в (2.18) и учитывая, что µ §, будем иметь:

µ §µ §.

Из (2.12) следует, что µ § - симметричная матрица. Соответственно симметричной будет и обратная ей матрица µ §, т.е. µ §. Принимая во внимание изложенные соображения, получим:

µ §. (2.20)

Обозначив µ §=µ §, можем записать:

µ §. (2.21)

Из (2.21) следует, что квадрат средней квадратической погрешности совокупности неизвестных µ § - матрица, полученная умножением квадрата средней квадратической погрешности m измеренных величин µ §(i=1,2,...n) на матрицу µ §.

Проанализируем более подробно матрицу µ §. Её диагональные элементы всегда положительны. Они представляют собой величины, обратные весам неизвестных

µ §

и называются весовыми коэффициентами.

Вот почему, принимая во внимание (6.8) (см. часть 1), средние квадратические погрешности значений неизвестных µ § будут соответственно равны:

µ §. (2.22)

Недиагональные элементы µ § могут быть как положительными, так и отрицательными. Они представляют собой корреляционные моменты, обусловленные зависимостью определяемых неизвестных. Так элемент µ § и равный ему элемент µ §следует рассматривать как корреляционный момент, обусловленный зависимостью величин µ §и µ §, т.е.

µ §.

Положительное значение µ § говорит о том, что увеличение или уменьшение погрешности µ § неизбежно влечет за собой соответственно увеличение или уменьшение величины µ §. И, наоборот, отрицательное значение µ § говорит о том, что увеличение µ § влечет за собой уменьшение µ §, а уменьшение µ § - увеличение µ §.

Приведенный выше анализ позволяет сделать вывод: хотя величины µ §(i=1,2,...n) измерены равноточно и независимо, полученные в результате уравнивания значения неизвестных µ §- величины неравноточные и зависимые.

Если определяемыми неизвестными являются координаты µ §пунктов геодезической сети, то совокупная погрешность положения пункта в данной системе координат в соответствии (2.21) характеризуется матрицей:

µ §. (2.23)

Из (2.23) могут быть получены следующие точностные характеристики положения точки:

1) Средние квадратические погрешности по осям координат µ § и µ §, вычисляемые по формулам (2.22). Они зависят от выбора системы координат (рис.2.1).

b

Рис. 2.1
2) Круговая средняя квадратическая погрешность, вычисляемая по формуле:

µ §, (2.24)

которая нашла широкое применение в геодезической практике, при этом исходят из предположения, что рассеивание по всем направлениям имеет одинаковую вероятность. Оценка (2.20) не зависит от выбора системы координат.

3) Эллипс погрешностей ЁC ориентировка и размеры осей которого определяют наиболее вероятные направления и величину максимальной и минимальной средней квадратической погрешности положения пункта.

В самом деле, поворотом осей вокруг точки Р (рис.2.1) можно подобрать такую систему координат µ §, при которой недиагональный элемент будет равен нулю и (2.23) принимает вид:

µ §. (2.25)

Необходимый для такого преобразования угол поворота осей определяется формулой:

µ §, (2.26)

а элементы µ §- уравнением

µ §.

Большая и малая полуоси эллипса погрешностей будут соответственно равны:

µ § (2.27)
2.5 Вычисление эмпирической средней квадратической погрешности по поправкам, полученным из уравнивания.

Так как поправки в измеренные величины µ § определены под условием

µ §,

есть основания предполагать, что на их основании может быть получена состоятельная и несмещенная оценка средней квадратической погрешности µ §.

С другой стороны на основании этого же выражения имеем неравенство:

µ §,

где µ §- истинные погрешности.

Разделив это неравенство на µ §, получим

µ §.

Следовательно, величина µ § будет состоятельной, но смещенной оценкой µ §. Чтобы она стала несмещенной, необходимо знаменатель правой части уменьшить на некоторую, пока неизвестную величину µ §.

Тогда эмпирическая средняя квадратическая погрешность будет:

µ §. (2.28)

Таким образом, задача сводится к определению неизвестной величины µ §.

Прежде всего, отметим, что общее число измерений µ § не может быть меньше числа необходимых измерений, т.е. µ §. Отсюда следует, что µ § не может быть большим µ §, так как при µ § знаменатель в (2.28) будет равен нулю. Следовательно, µ §.

Предположим, что µ §. При µ § задача уравнивания не возникает, поправки µ § и µ §, что противоречит здравому смыслу, так как µ §. Отсюда следует, что µ § не может быть меньшим µ §. Таким образом, приходится принять, что µ §.

Это дает основание записать:

µ §, (2.29)

Приведенное выше доказательство (2.29) основано на допущениях и не является вполне строгим. Существует строгое доказательство, которое мы опускаем по причине его громоздкости.

Так как эмпирическая средняя квадратическая погрешность µ § чаще всего определяется из небольшого количества измерений, ее надежность определяет средняя квадратическая погрешность, которая равна:

µ §. (2.30)

2.6 Средняя квадратическая погрешность измеренных величин после уравнивания.

Оценка (2.29) дает нам значение средней квадратической погрешности µ § измеренных величин до уравнивания.

Измениться ли эта величина после уравнивания?

Чтобы ответить на этот вопрос докажем теорему.

Теорема: Среднее значение отношения квадрата средней квадратической погрешности после уравнивания к квадрату средней квадратической погрешности до уравнивания, т.е. ее среднее уменьшение, обусловленное уравниванием системы измеренных величин способом наименьших квадратов, равно отношению числа необходимых измерений к числу всех измерений, т.е.

µ §. (2.31)

Доказательство: Представим уравнения (2.7), ограничившись для простоты выкладки 3 неизвестными в виде:

µ §, (2.32)

где µ §- значения свободных членов, исправленные поправками.

Представим отношение (2.31) в виде:

µ §. (2.32 а)

Значения µ §- функции поправок µ §. Вот почему, исходя из основной теоремы теории погрешностей, можем записать:

µ §. (2.33)

Дифференцируем (2.7) по переменным µ §, подставим их в (2.33), а вместо µ § его значение из (2.21), разделив обе части на µ §. В результате, принимая во внимание равноточность измерений получим:

µ §

µ § (а)

Аналогично, для µ § получим

µ § (b)

µ § (c) .......................................................................................................................

µ § (d)

Подставляя (a), (b), (c), (d) в (2.32) просуммируем произведения коэффициентов µ §, вынеся за скобки весовые коэффициенты µ §. В результате найдем:

µ § (2.34)

Из теории матриц известно

µ §,

где µ § ЁC единичная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а недиагональные ЁC 0.

В (2.34) суммы произведений в круглых скобках, учитывая (2.12), (2.21), представляют собой произведения i-той строки матрицы µ § на i-й столбец матрицыµ §. Следовательно, они соответствуют диагональным элементам матрицы µ §, которые равны 1.

На основании (2.31), (2.32а), (2.34) можем записать:

µ §.

При трех неизвестных t=3. Распространяя полученное равенство на любое число неизвестных, получим окончательно:

µ §. (2.35)

Теорема доказана.

Вывод: Уравнивание способом наименьших квадратов повышает в среднем точность результатов измерений.

2.7 Уравнивание и оценка точности при неравноточных измерениях.

До сих пор мы рассматривали только равноточные измерения. В случае неравноточных измерений точность измеренных величин µ § характеризуется весами µ §. Следовательно, и свободные члены в уравнениях поправок

µ §

являющиеся функциями измеренных величин, будут также иметь веса µ §.

Уравнивание результатов измерений производится под условием:

µ §.

Рассмотрим функцию:

µ §.

Согласно теории погрешностей (см.ч.1,р.6.2) вес этой функции

µ §.

Следовательно, µ §.

Таким образом, случай неравноточных измерений можно свести к случаю равноточных измерений. Для этого достаточно каждое уравнение поправок умножить на µ §, т.е. согласно (2.7):

µ §.

Запишем эту систему уравнений поправок в матричном форме (2.36):

µ §

µ §

µ §µ §.

Умножив (2.36) слева на транспонированное произведение матриц µ §, получим

aTpaд+ aTpl=aTpV , (2.37)

где

µ §

µ §

µ § - диагональная матрица весов.

В (2.37)

µ § (2.38)

- матрица коэффициентов нормальных уравнений,

aTplµ §µ § (2.39)

- вектор-столбец свободных членов нормальных уравнений,

µ §. (2.40)

Система нормальных уравнений

µ § (2.41)

как и в случае равноточных измерений, решается умножением ее слева на обратную матрицу µ §

µ §. (2.42)

Аналогично решается задача оценки точности неизвестных µ §

µ §.

Эмпирическая средняя квадратическая погрешность единицы веса вычисляется по формуле:

µ §. (2.43)

Таким образом, мы видим, что уравнивание неравноточных измерений принципиально не отличается от уравнивания равноточных.

2.8 Уравнивание триангуляции.

Рис. 2.2

На рис.2.2 представлена сеть триангуляции, получившая название геодезический четырехугольник^?). Пункты И, Л ЁC исходные. Их координаты приведены в табл.2.1.

Для определения координат пунктов Е, Ж независимо и равноточно измерены углы, обозначенные на рис.2.1 1, 2, 3, 4, ....8. Значения измеренных углов приведены в табл.2.2.

Последовательность уравнительных вычислений изложена в пункте 2.3.

Число независимых измерений n = 8. Количество определяемых неизвестных t = 2 * 2 = 4. Следовательно, число избыточных измерений составит r = 8 ЁC 4 = 4.

Таблица 2.1. Координаты пунктов
Наименование пунктаПриближенные координатыПоправкиИсходные и уравненные координатыX0Y0 дx, мдy, мXYЛ----4618742,6247221870,144И----4615909,5217218431,808Е4619045,0687218073,227-0,027-0,0064619045,0417218073,221Ж7616056,8647221513,2150,0150,0094616056,8797221513,224

Таблица 2.2 Измеренные и уравненные углы

N/N угловСвободные члены

секУглы, вычисленные по приближенным

координатамИзмеренные углыПоправки,

секУравненные углы1234561-0,0157о 02’ 10.75”57о 02’ 10.76”0.6157о 02’ 11.37”2-0,2242о 29’ 46.43”42о 29’ 48.63”-0.9142о 29’ 47.72”31,0436о 25’ 31.78”36о 25’ 30.74”0.6136о 25’ 31.35”4-0,0144о 02’ 31.03”44о 02’ 31.04”-1.4844о 02’ 29.56”5-0,0342о 56’ 32.11”42о 56’ 32.14”0.5342о 56’ 32.67”6-2,3456о 35’ 25.07”56о 35’ 27.41”-0.9956о 35’ 26.42”72,0543о 43’ 02.58”43о 43’ 00.53”1.1343о 43’ 01.66”80,0136о 45’ 00.23”36о 45’ 00.22”-0.9836о 44’ 59.24”

следующая страница>