Зерттеу тақырыбы: Сиқырлы сандар әлемі

Зерттеу мақсаты: Бізді жан-жақтан сандар қоршайды, олар бізге барлық жерде қажет. Осы сандар қалай пайда болғанын анықтау. Олардың шығу тарихы туралы білгім келеді. Достарымды сиқырлы сандар әлемімен таныстырып, таным қабілеттерін арттыруға көмектесу.

Зерттеу міндеті: 1) Сан және цифр туралы түсінік беру. Заттарды санай алуға, алғашқы білім деңгейін қалыптастыру.

2) Әр санның мән-мағынасын ашу.

3) Математикалық тілде меңгере отырып, қарым-қатынаста пайдалана білу.

Зерттеу әдістері:

1. 
   Талдау
   
2. 
   Ойша эксперимент
   

Жоспар:

І. Кіріспе

ІІ. Негізгі бөлім

1. 
   Адамдар қалай санай бастады? (санның шығу тарихы)
   
2. 
   Сандарды белгілеу. (Кім қалай белгілейді?)
   
3. 
   Ештеңе – ол да бірдеңе. (0-санының шығу тарихы)
   
4. 
   Қасиетті сандар.
   
5. 
   Ырым мен тыйым сөздер.
   

ІІІ. Қорытынды

Сан дегеніміз – бірліктерден

құрастырылған жиын.

Евклид

І. Кіріспе
Мектепте маған барлық пән ұнайды. Әсіресе математиканы аса ұнатамын. Біз не істесек те, барлығы математикамен сабақтасады. Осы пән бойынша барынша көп білгім келеді.

Қазақ тіліндегі әліпбидің 42 әрпімен көп сөздердің жиынтығын құрастыруға болады. Математикада цифрлар да қазақ тіліндегі әріптер сияқты рөл атқарады. Цифрлардан әр түрлі сандар құрастырылады.

Сөзімді бастамас бұрын сан деген ұғымның өзі нені білдіреді. Осыған тоқталып өтуді жөн көріп тұрмын.

Сан – математикадағы заттардың, нәрселердің мөлшерін анықтауға, санаудың немесе өлшеудің нәтижесін өрнектеуге арналған бірліктерден құрастырылған жиын.

Цифрлар әріптерге қарағанда аз. Олар бар болғаны он цифр – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Мені осы сандар қалай пайда болғаны қызықтырады.

ІІ. Негізгі бөлім
Адамдар қалай санай бастады?

Адамдар санай бастаған кезде, сірә, санау үшін қол саусақтарын пайдаланған болу керек. Барлық адамдарда он саусақтан болғандықтан, ондықтармен санау ыңғайлы болған. Біздің қазіргі санаудың ондық жүйесі осыдан туындаған.

Неге қол пайдаланған?

Адамзат баласы сандардың атауын ойлап тапқанға дейін саусақтар есептеудің ең қолайлы тәсілін табуға көмектескен. Сен бірдеңені қолайлы санау кезінде саусақтарыңды пайдалансақ, ешқашан есептен жаңылмайсың. Саусақтарыңа қарап-ақ, сандарды атамастан оларды көз алдыңа елестете аласың. Саусақтар мен сандар арасындағы байланыс көне заманнан бері бар.

Үңгір адамы санауды білді ме?

Көптеген ғасырлар бойы адамдарға сандардың қажеті болмады. Егіншілік пен мал шаруашылығы пайда болғанға дейін адамдар «жинаушы-аңшылар» болған, олар жабайы табиғаттан күнкөріске қажет мөлшерде ғана азық тауып, айырбас немесе қорға азын-аулақ мөлшерін ғана қалдырған. Сондықтан олар бірдеңені санауға зәру болмаған. Алайда олар уақытты күнге, аймен жұлдыздарға қарап бақылап отырған.

Адамдар барлығы бірдей санай біле ме?

Әлемде әлі де аз да болса жинаушы-аңшылар сияқты тіршілік ететін адамдар бар. Олардың көпшілігі санай біледі, бірақ кейбіреулері санақпен басын қатырып жатпайды.

Пираха тайпасы үшін екіден артығы «көп» деген мағына білдіреді. Танзанияны мекендейтін хадза тайпасындағылар үшке дейін санайды. Осы қос тайпа да үлкен сандарсыз-ақ тамаша тіршілік жасайды, мүмкін, оларға үлкен сандардың еш уақытта қажеті болмаған шығар.
Сонда сандар не үшін керек?

Егер адамдар сандарсыз-ақ өмір сүре алатын болса, неліктен біреулер бір кездері санай бастаған? Алаяқтыққа жол бермеу үшін. Сандардың пайда болуының себебі де осы. Айталық, сен 10 балық ұстадың да, оның досыңнан үйіңе апаруды өтіндің. Егер сен санай білмесең, ал досың бірнеше балықты өзіне қалдырса, сен ол туралы ешқашан білмес едің.

Сен дене мүшелерінің көмегімен санай аласың

Қол саусақтарымен тек онға дейін санау ғана ыңғайлы. Адамзат баласы ғасырлар бойы дене мүшелерін пайдалану арқылы 10-нан кейінгі сандарды есептеудің көптеген тәсілдерін ойлап тапты. Тіпті қазірдің өзінде де кейбір халықтар осындай тәсілдерін пайдаланады.

Қолдар мен аяқтар

Жаңа Гвинеядағы Папуа аралдарындағы тайпаларда санаудың кем дегенде 900 әр түрлі жүйесі бар. Көптеген тайпа қол саусақтарынан кейін аяқ башпайларын санайды, яғни – 20-дан.

10 – оларда екі қол.

15 – екі қол мен бір аяқ.

Ал 20 – адам.

Осыдан 5000 жылдай бұрын Иракта өмір сүрген вавилондықтар алпыс-алпыстан санаған. Олар бір жылдағы 360 күнді 6х60 ретінде елестеткен. Олар санау кезінде саусақтарды қалай пайдаланғаны бізге белгісіз, бірақ олар бас бармақпен бір қолдың саусақтарындағы 12 сегментті көрсеткен деген болжам бар. Ал екінші қолдың әр саусағы 12 санын білдірген, сондықтан саусақтардың қосындысы 60 санын құрайтын болған. Вавилондықтар минуттар мен секундтарды ойлап тапқан, осы уақыт өлшемдерін біздер әлі күнге дейін 60-тан есептеп отырмыз.

Қол саусақтарын тек санау үшін ғана емес, сонымен бірге көбейту үшін де пайдалануға болады. Осы айлалы әрекетті 9-ға көбейтуға қолданып көр. Қолдарыңды алдыңа қой да, сол жақтан қарай санай баста. Қайсібір санды тоғызға көбейту үшін тиісті саусағыңды бүк. Мысалы, 7-ні 9-ға көбейту үшін жетінші саусағыңды бүк. Енді сол жақта 6 саусақ және оң жақта 3 саусақ қалды, демек, жауабы 63 болды. (9-ды 5-ке көбейткенде 45 саны шығады.)

Жүз мыңдаған жылдар бойы адамдарға тек саусақтармен санаудың өзі-ақ жеткілікті болып келді. Бірақ осыдан 6000 жылдай бұрын дүние өзгерді. Таяу Шығыста тұратын халық, мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналыса бастады да, олар фермерлерге айналды.

Мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналыса бастаған адамдар базарларда сауда жасауға кірісті. Оларға қолдарында қанша нәрсенің бар екенін, қаншасын сатқанын немесе сатып алғанын нақты білу керек болды, әйтпесе адамдар бірін-бірі алдауы мүмкін еді. Сондықтан фермерлер жазба жасап отырды, ол үшін ағаш таяқтарға немесе сүйектерге кертіріктер түсірді. Немесе жіптерге түйіндер байлады. Иракта өзен басшылығының дымқыл кесегінебелгілер жасап отырады. Дымқыл кесек күнге кепкен кезде, ондағы жазбалар ұзақ сақталатын еді.

Сөйтіп, Ирактағы фермерлер тек сандардың белгілерін ғана емес, сонымен бірге жалпы жазу өнерін де ойлап тапты. Бұл өркениеттің бастамасы еді және ол сандардың арқасында мүмкін болды.

Осыдан 6000 жылдай бұрын Вавилондағы (Ирак) фермерлер сауданың есебін жүргізу үшін қыш жетондар жасай бастады. Олар заттарды белгілеу үшін түрлі символдарды пайдаланды.

Сонымен, сопақ пішіндегі жетон бір қап бидайды білдіреді.

... ал дөңгелек жетон – бір құмыра май. Екі немесе үш құмыра майды соған сәйкес екі немесе үш жетонға айырбастауға болады.

Көне сандарды белгілейтін ең бірінші символдар көне жетондарға ұқсас шеңберлер мен конустар болды, бірақ ағаш қарындаштарды (таяқшаларды) үшкірлеу етіп ұштауға үйренген адамдар сандарды конустар арқылы бейнелей бастады.

Бір санын олар мына символмен белгіледі: тоғызға дейінгі санды жазу үшін олар осындай символдардың тиісті санын бейнелейтін.

Олар 10-ға жеткен кезде символды бір бүйіріне қаратып бұрады ...

... ал, 60-қа жеткенде оларды қайтадан тік қояды.

Вавилондықтар 99 санын былай жазған болар еді:

Ал, мысырлықтар ондықтармен санаған және сандарды әр түрлі бейнелермен немесе «иероглифтермен» белгілеген№ жай сызықтар 1, 10 және 100 санын білдірген. Лотос гүлі 1000-ды, саусақ 10000-ды, ілмек 100000-ды белгілесе, ал миллионды құдайдың бейнесімен таңбалаған.

Үлкен сандарды таңбалау үшін иероглифтерді бірнеше бағанға және сызықтарға жазған. Мына мысал мысырлықтардың 1996 санын қалай жазғанын көрсетеді.

Солтүстік Американың байырғы тұрғындары да сондай-ақ мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналысқан. Олар сандарды жазудың өздеріне тән тәсілін ойлап тапқан. Майя тайпасының сандар жүйесі тіпті египеттіктердің жүйесінен де артықтау болған. Олар күнді анағұрлым дәл анықтаған. Жылдың 365, 242 күнге созылатынын нақ сол тайпаның адамдары есептеп шығарған. Олар жиырмалықтармен санақ жүргізген, бәлкім, санау кезінде аяқ башпайларын да пайдаланса керек. Сандардың бейнесі оларда бұршақтарға, таяқшалар мен улутастарға ұқсас болған, осы заттарды абактар (есепшоттар) ретінде пайдаланған.

Ал, Рим империясы үстемдік құрып тұрған кезде рим сандары бүкіл Еуропаға тарады. Римдіктер ондықтармен санаған және әріптерді сан ретінде пайдаланған. Еуропалықтар үшін бұл 2000 жыл уақыт бойы сандарды жазудың негізгі тәсілі болды. Біз осы уақытқа дейін рим сандарын сағаттардан, корольдік лауазымдар есімдерінен (Королева Елизавета ІІ) немесе параграфтарды нөмірлеу үшін қойылатын кітаптардан кездестіреміз – (І), (ІІ) және (ІІІ).

Есептеудің көптеген жүйелеріндегі сияқты, римдіктер символдарды қайталау тәсілін пайдаланған.

1-дегеніміз І 2 дегеніміз ІІ 3 дегеніміз ІІІ

Үлкен сандар үшін түрлі әріптерді пайдаланған.

V X L C D M

5 10 50 100 500 1000

Қайсыбір санды жазу үшін сәйкес әріптерді солдан оңға қарай кезекпен жазу қажет, бұл ретте ең аз сандар оң жаққа, ал ең үлкен сандар сол жаққа орналасуы тиіс. Бұл оп-оңай амал, бірақ сандар тым ұзын және арбиған болып шығуы мүмкін.

49 санын жазу үшін 9 әріп керек болады:

XXXXVIIII

Өздерінің өмірлерін жеңілдету үшін римляндықтар кейбір сандарды айырма түрінде жазатын ереже ойлап тапты, бірақ азайтқыш сол жағында жазылды (5-1). Сондықтан ІІІІ – 4 санының орнына олар IV деп жазды. Бірақ адамдар бұл ережені үнемі сақтай бермейді. Тіпті қазірдің өзінде де кейбір сағаттардан 4 санын ІІІІ деп белгілегенді көресің.

Көне замандарда арифметикалық амалдарды орындаудың ең озық тәсілі шоттарды (абактарды) пайдалану болды, ол есептеуге арналған амал, мұнда бұршақтар немесе ұсақ малта тастар қатарларға тізілетін. Бірақ осыдан 1500 жылдай бұрын үнділер санаудың орналасу жүйесі – сандардың жазылу тәсілін ойлап тапты. Ондағы символдар шоттағы қатарларға сәйкес келді. Бұл қиын (арифметикалық) амалдарды орындау шоттың көмегін қажет етпеді, сандарды жай жаза береді. Бірақ бос қатар үшін таңба қажет болды, сондықтан үнділер нөлді ойлап тапты. Бұл асқан даналық еді. Жаңа сандар Азиядан Еуропаға тарады, біз оларды күні бүгінге дейін пайдаланамыз.

Үнділер жазудың жатық стилін пайдаланып, пальма жапырақтарына сияның көмегімен сандар жазған, сондықтан сандар иілген. 2 мен 3-ке арналған символдар сызықтар тобын құраған, бірақ адамдар осы сандарды тез жазған кезде, осы сызықтар бірігіп кеткен.

Басқа есептеу жүйелерінен айырмашылығы – үнділер тек 10 символды ғана пайдаланған, бұл амал жүйені оңайлатқан. Символдар бүкіл әлемге тарай отырып, ғасырлардан ғасырларға қарай өзгеріп отырды да, біртіндеп біз пайдаланып жүрген қазіргі заманғы сандарға айналды.

Нөл әрқашан ештеңені білдіре бермейді. Егер нөлді саннан кейін тіркесе, ол сан он есе көбейеді. Оның себебі – біз санның орналасуы оның мәнін білдіретін «есептеп шығарудың позициялы жүйесін» пайдаланамыз. Мысалы, 123 саны – бір жүздік, екі ондық және үш бірлік. Бос аралықтарды толтыру үшін бізге нөл қажет, әйтпесе біз 11-ді 101-ден ажырата алмаймыз.

Б.д.д. 2000ж. Осыдан 4000 жыл бұрын Иракта вавилондықтар саз балшықтағы белгілер арасында бос орындар қалдыру арқылы нөлді бейнелеген және осы бос қалдырылған орындардың шын мәнінде санды білдіретіні олардың тіпті қаперіне де келген емес.

Б.д.д. 350ж. Ежелгі гректер тамаша математиктер болған, бірақолар нөл ұғымын саналарынан мүлде шығарыптастаған. Грек философы Аристотель былай деген: «Нөлге тыйым салу керек, өйткені соның салдарынан адамдар сандарды нөлге бөлуге әрекеттенген кезде, есептеуде ретсіздік орын алды».

Ал, Римдіктер нөлді пайдаланбаған себебі нөл олардың есептеу жүйесінде қажетсіз болған. Олар: Егер санайтын ештеңесі болмаса, онда осы сан жалпы не үшін керек? – деп пайымдаған.

600 жыл. Үнді математиктері нөлді ойлап тапты. Олар санның орналасуы оның мәнін анықтайтын жүйені ашты, ал бос орындарды көрсету үшін олар нүктелер мен дөңгелектерді пайдаланған. Неге дөңгелектерді? Себебі – бұрын есептерді шешу кезінде үнділіктер құмға ұсақ малта тастарды қатарлап тізген, ал қиыршық тастарды алған кезде, құмда дөңгелек түріндегі іздер қалып қояды.

1150 жыл. Нөл Еуропаға араб елдері үнді сандарын пайдаланған кезде ХІІ ғасырда келді. Адамдар есеп айырысу кезінде ештеңені пайдаланудың өте қолайлы екенін түсінді.

Қазақта сандардың пайда болуы жоғарыда атап өткеніміздей сан дегеніміз – заттардың, нәрселердің мөлшерін анықтауға негізделген жиын болып табылады. Мен өз зерттеу жұмысымда адамдардың қалай санай бастағанын, сандардың қалай пайда болғандығын, олардың белгіленуін зерттей, зерделей келе сандар әлемнің сиқырына терең бойлай білдім деп ойлаймын. Әр халықтың, ұлттың санау жүйесінің қалай шыққандығымен қатар, қазақ халқының да сандарға қалай назар аударатынын, олардың адам өміріндегі, болмысындағы маңызына тоқтала кеткім келеді.

Бұрынғы аталарымыздың өзі өмір сүрген дәуірде, күнделікті тұрмыс-тіршілігіндегі заттарды алып, беру және қажетіне пайдалану үшін көз, қол, саусақ мөлшерімен заттарды дәл өлшеп отырған.

Қазақша ұзындық өлшемдері

1. 
   Елі
   
2. 
   Сүйем
   
3. 
   Сынық сүйем
   
4. 
   Қарыс сүйем
   
5. 
   Қарыс
   
6. 
   Тұтам
   
7. 
   Білем
   
8. 
   Шынтақ
   
9. 
   Кез
   
10. 
    Құлаш
    
11. 
    Адым
    
12. 
    Аттам
    
13. 
    Табан
    

«3 қуат»

1. 
   Асыл
   
2. 
   Жүрек
   
3. 
   Тіл
   

«3 арсыз»

1. 
   Ұйқы
   
2. 
   Күлкі
   
3. 
   Тамақ
   

«3 даусыз»

1. 
   Мінез
   
2. 
   Кәрілік
   
3. 
   Ажал
   

«3 Арыс»

1. 
   Сәкен
   
2. 
   Ілияс
   
3. 
   Бейімбет
   

«3 Дана»

1. 
   Абай
   
2. 
   Шоқан
   
3. 
   Ыбырай
   

«3 Би»

1. 
   Төле би
   
2. 
   Қазыбек би
   
3. 
   Әйтеке би
   

«3 жүз»

1. 
   Ұлы
   
2. 
   Орта
   
3. 
   Кіші
   

«3 қасиет»

1. 
   Өліде – әруақ
   
2. 
   Малда – кие
   
3. 
   Аста – қасиет
   

«3 көз»

1. 
   Су анасы – бұлақ
   
2. 
   Жол анасы – тұяқ
   
3. 
   Дау анасы – құлақ
   

«7 ата»

1. 
   Бала
   
2. 
   Әке
   
3. 
   Ата
   
4. 
   Немере
   
5. 
   Шөбере
   
6. 
   Шөпшек
   
7. 
   Немене
   

«7 күн»

1. 
   Дүйсенбі
   
2. 
   Сейсенбі
   
3. 
   Сәрсенбі
   
4. 
   Бейсенбі
   
5. 
   Жұма
   
6. 
   Сенбі
   
7. 
   Жексенбі
   

«7 нота»

1. 
   До
   
2. 
   Ре
   
3. 
   Ми
   
4. 
   Фа
   
5. 
   Соль
   
6. 
   Ля
   
7. 
   Си
   

«7 жұт»

1. 
   Соғыс
   
2. 
   Өрт
   
3. 
   Сел жүру
   
4. 
   Жер сілкінісі
   
5. 
   Оба, індет
   
6. 
   Мал жұтау
   
7. 
   Құрғақшылық
   

«7 қазына»

1. 
   Ер жігіт
   
2. 
   Сұлу әйел
   
3. 
   Білім-ілім
   
4. 
   Жүйрік ат
   
5. 
   Алғыр тазы
   
6. 
   Қыран бүркіт
   
7. 
   Берен мылтық
   

«7 керемет»

1. 
   Хеопс пирамидасы
   
2. 
   Семирамиданың аспалы бағы
   
3. 
   Александрия манары
   
4. 
   Зевс мүсіні
   
5. 
   Галикарнас кесенесі
   
6. 
   Родос алыбы
   
7. 
   Артемиданың ғибадатханасы
   

Қалтам қанша?

Өзімде бар сан қанша,

Шалбарда екі жан қалта,

Арт жағында қос қалта,

Жейдеде екі төс қалта,

Пиджакта екі төс қалта,

Және екі тыс қалта,

Бір төс қалта және бар,

Сонда есепте, кәне, ал,

Менің қанша қалтам бар?

Тағы, айтпақшы, пальтон бар.

Онда да төрт қалтам бар.

* * *

Түйе бота маң басқан,

Төрт аяғын тең басқан.

Шұнақ құлақ бес ешкі,

Қос лақты қос ешкі,

Төрт қозылы екі қой

Бәрін бірге ойлап қой.

Математикалық жұмбақтар:

Өзі үлкен жануар

Үстінде екі тауы бар

(түйе)
Мың найзалы жалғыз батыр,

Жауларына алғызбай жүр.

(кірпі)
7 бауыр – туыспыз

Атымыз өзге демесең,

Жұмған жұдырық – уыспыз.

(апта күндері)

Алғашқысы суытады өлкені,

Екіншісі жылытады, жер кеңіп.

Үшіншісі көк теңізге бар дейді,

Төртіншісі ұсынады бар дәмін.

(қыс, көктем, жаз, күз)
12 ағайын бірінен соң бірі жүреді,

Бірақ таппайтынын біледі.

(айлар)
Жылына кім төрт рет ауыстырар киімін?

(жер)

Сандарды ыңғайына қарай құрастыра немесе тіркестіре отырып әр түрлі бейнелерді жасауға болады. Немесе қоршаған ортадағы заттарды, нәрселерді әр түрлі сандарға ұқсатуға болады.

Өмір бойы жан-жануар бейнесін,

Жасап келген суретшіге не дерсің!

Жауабын кім тез береді білсе егер,

Қай сандардан сурет салдым мен шебер?
Мінеки, сандардың алуан түрлерін біліп, олардың сырына терең бойлай білу арқылы осындай бейнелерді мысал ретінде келтіруге болар еді.

Мен, өз тарапымнан сандар сырын зерттеуді осымен тоқтатып қоймай, сандардың күрделенуін, олардың математика әлеміндегі орнын, қиын амалдарды шешумен шұғылданамын. Мен, осы орайда сандардың жазылуының таңбалануына назар аудара отырып әр түрлі табиғаттағы, қоршаған ортадағы, қоғамдағы құбылыстарды бақылай келе, сандар арқылы алуан түрлі нәрселерді ойлап табуды ұйғардым.

ІІІ. Қорытынды
Халық аузындағы есептердің сипаттары әр ғасырда өмірге келген, атадан балаға мұра болып қалған, ауыздан-ауызға тараған ұлттық мазмұнды есептер қазақ халқының тыныс-тіршілігін, әл-ауқатын, өмірге араласуын, мақсатқа жету ізін, дүние танымын, халық тәрбиесінің сыр-сипатын бейнелейді. Халықтық математикада біресе жұмбақ, біресе өлең, біресе ертегі, ұйқасын табу, сиқырлы ой айту түрлерін кездестіруге болады.

Ал сандарсыз біз уақытты да, күнді де белгілей алмас едік. Сандарсыз біз заттарды да сатып ала алмаймыз. Өзімізде бар нәрсені қайта санау үшін немесе бізге тағы да қанша қажет екендігін сандардың көмегімен анықтаймыз. Біз не істесек те, барлығы математикамен сабақтасады. Бізге қайта санауға, өлшеуге, санап шығуға және болжауға, сондай-ақ түрлі есептер шығаруға тура келеді. Осы сандардың көмегімен осылардың барлығын ойдағыдай жасауға болады.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. 
   Джонни Болл «Бәрі де сандар туралы» Алматыкітап 2006ж.
   
2. 
   «Оқушының анықтамалығы» Алматыкітап 2007ж.
   
3. 
   Математикалық ойашар «Қазақ энциклопедиясы» 2009
   
4. 
   «Сиқырлы пішіндер мен сандар әлемінде» Шымкент, «Шикула и К» 2005ж.