1. Основные способы проецирования. 

1) Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов на заданную плоскость. Проецирование осуществляется из некоторой точки – центра проецирования. Центр проецирования не должен находиться в плоскости проекций. На рисунке С – центр проецирования, плоскость Р – плоскость проекций. Чтобы получить центральную проекцию точки, проводят проецирующую прямую через данную точку и центр проецирования. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций является центральной проекцией заданной точки на выбранную плоскость. Точки а, б, с, д являются центральными проекциями точек А, В, С, Д на плоскости Р.

Основные свойства центрального проецирования:

1. 
   Точка проецируется в очку;
   
2. 
   Если прямая не проходит через центр проецирования, она проецируется в прямую (проецирующая прямая – в точку).
   
3. 
   Трёхмерная фигура проецируется в двумерную;
   
4. 
   Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и др. геометр. свойства.
   

2) Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования. При этом центр проецирования удален в бесконечность.

Если направление проецирования перпендикулярна плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными, или ортогональными, в других случаях – косоугольными.

2. Основные правила об ортогональных проекциях точки на плоскостном чертеже. 

1) Проекция точки есть точка.

2) Проекция прямой есть прямая.

3) Проекции пересекающихся прямых пересекаются.

4) Проекция параллельных прямых параллельны.

Центральные и параллельные проекции не обеспечивают обратимости чертежа.

Свойство обратимости – это когда изображение предмета на плоскости геометрически равноценно самому предмету в пространстве.

Точка:

1) Положение точки в пространстве определяется 3 ее координатами.

2) Положение точки на плоскости определяется 2 ее координатами.

3) 2 проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.

4) Две проекции точки лежат на одном перпендикуляре.

3. Прямые уровня и свойства их проекций. ’

Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной прямой (AB||H).

Прям., парал. фрон. пл. проекц., называют фронтальной прямой (CD||V).

Прям., парал. фрон. пл. проекц., называют профильной прямой (EF||W).

Прямая || одной из плоскостей проекций – наз-ся прямая уровня. Прямая уровня изображается в НВ на пл-ть проекции; углы наклона к 2-ум другим плоскостям, также изображается без искажения, а ее проекции на соответствующей пл-ти должны быть || соответствующим осям.

4. Проецирующие прямые и свойства их проекций .

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими прямыми.

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций.

ABH – горизонтальная проецирующая прямая

CDV – фронтальная проецирующая прямая

EFW – профильная проецирующая прямая

Выводы:

1) Если прямая перпендикулярна к плоскости проекции, то на эту плоскость она проецируется в точку.

2) На две другие плоскости проекции она проецируется в натуральную величину.

3) Проекции прямой на две другие лоскости проекции перпендикулярны осям, определяющим данную плоскость.


5. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций .

Чтобы определить натуральную величину отрезка прямой общего положения нужно использовать способ построения прямоугольного треугольника.

Теорема. Истинная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а другая – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

Док-во. Из рисунка 1 следует, что истинная величина отрезка АВ будет гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1. В этом треугольнике один катет равен проекции отрезка, а другой – разности расстояний концов отрезка до плоскости проекций. Построим прямоугольный треугольник, у которого одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка, а вторым – разность расстояний концов отрезка до плоскости Н (разность зетовых координат точек А и В). Истинная величина отрезка АВ равна гипотенузе аб₀ , а угол наклона его к плоскости Н – угол баб₀ (угол α).



6. Взаимное положение двух прямых .

Прямые в пространстве могут занимать 3 положения:

1. 
   Пересекаться, то есть иметь одну общую точку;
   

Если одноимённые проекции прямых пересекаются, а точки пересечения лежат на одной линии связи, то такие прямые пересекаются.

2. 
   Быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена в бесконечность;
   

Если одноимённые проекции прямых параллельны, то такие прямые параллельны между собой.

3. 
   Скрещиваться, то есть не иметь общих точек.
   

Скрещивающиеся прямые: если прямые в пространстве не пересекаются. А скрещиваются, то отя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются. Но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых.






7. Свойства проекций прямых. Как определяется видимость точек и прямых на чертеже .

1) Если одноименные проекции прямых пересекаются и точки пересечения лежат на одной линии связи, то такие прямые в пространстве пересекаются.

2) Если одноименные проекции прямых параллельны между собой, то прямые параллельны.

3) Одноименные проекции скрещивающихся прямых хотя и пересекаются, но точки пересечения хотя и находятся на общей линии связи принадлежат разным прямым.

4) Проекции некоторых точек совпадают, так как они расположены на одной проецирующей прямой. Например, на горизонтальной плоскости совпали $ проекции a и b вершин А и В - они лежат на одной горизонтально - проецирующей прямой. На фронтальной плоскости совпали проекции c' и d' вершин C и D - они лежат на одной фронтально-проецирующей прямой.

Точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называют конкурирующими. A и B - горизонтально-конкурирующие точки, а C и D фронтально-конкурирующие точки и т.д.

Из двух горизонтально-конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видима та, которая расположена в пространстве выше.

Анализируя положение фронтальных проекций точек, определяем, что точка А имеет большую координату z, чем точка В. Следовательно, точка А расположена выше точки В и при проецировании на горизонтальную плоскость проекций закроет точку В. Точка А на горизонтальной плоскости видима, точка В - невидима. На фронтальной плоскости они обе видимы.

Из двух фронтально-конкурирующих точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекции.

Сравнивая горизонтальные проекции точек С и D , заключаем, что на фронтальной плоскости проекций видима точка С, а точка D – невидима.

Из двух профильно-конкурирующих точек на профильной плоскости проекций будет видима та точка, которая расположена левее.

8. Теорема о проецировании прямого угла

Плоский угол в зависимости от положения по отношению к проекции может проецироваться от 0 до 180⁰

Плоский угол проецируется в натуральную величину, если его стороны параллельны плоскости проекции.

Если стороны плоского угла параллельны к плоскости проекции, то на эту плоскость проекции он проецируется в натуральную величину.

Проецирование прямого угла

Теорема. Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна.

Докажем это свойство проекций прямого, угла.

Доказательство. Пусть угол DEF=90° и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р. Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция угол def = 90°.

Через прямые EF и Ee проведем дополнительную плоскость Q. Плоскость Q перпендикулярна плоскости P.

Возьмем на перпендикуляре Ff какую - либо точку К и соединим ее с EЕ. Угол DEK тоже прямой, так как DEQ- Проекция угла DEK совпадает с проекцией угла DEF, так как точки F и K лежат на одном перпендикуляре к плоскости Р. Таким образом (угол) dek= def= 90°.

Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DE угла DEK параллельна плоскости P.

Вторая сторона его EK наклонна к плоскости P.

Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций

9. Способы задания плоскости на чертеже .

На чертеже плоскость может быть задана несколькими способами:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б) проекциями прямой и точки, не лежащей на этой прямой;

в) проекциями двух пересекающихся прямых;

г) проекциями двух параллельных прямых;

д) проекциями любой плоской фигуры;

е) следами плоскости.

От одного задания плоскости можно пеейти к другому. В ряде случаев плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости поекций.

Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций называют, следами плоскости.

Точки пересечения плоскости с осями проекци называются точками схода следов.

10. Частные случаи расположения плоскостей в пространстве и особенности их изображения на чертеже .

Виды плоскостей (по отношению к плоскостям проекции, плоскость может занимать сл. положения:

а) Плоскости уровня (плоскости || к плоскостям проекции)

б) Проецирующие (плоскости  к плоскостям проекции)

в) Наклонные (плоскости общего положения)

1) Горизонтально-проецирующая плоскость P(ABCD)H

2) Фронтально-проецирующая плоскость Q(ABCD)V

3) Профильно-проецируещая плоскость T(ABCD)W



1) Горизонтальная плоскость P(ABCD)||H

2) Фронтальная плоскость Q(ABCD)||V

3) Профильная плоскость T(ABCD)||W

Если фигура || пл-ти проекций, то она проецируется в Н.В. Проекции фигуры на 2 другие пл-ти проекций || осям, определяющую данную пл-ть

Если фигура перпендикулярна пл-ти проекций, то их проекция проецируется в линию и проецируется в НВ. Углы наклона фигуры к двум другим пл-ям проекции проецируется в НВ


11. Условия принадлежности точки и прямой плоскости. Условия принадлежности точки прямой .

Прямая лежит в плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости, если имеет одну общую точку с плоскости и параллельно прямой, лежащей данной плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии, лежащей в данной плоскости.



12. Прямые частного положения в плоскости.

В плоскости можно провести прямую принадлежащую плоскости и таких прямых можно провести бесчисленное множество. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. К ним относятся горизонтали, фронтали. Проофильные прямые и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называются главными линиями плоскости.

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций.

Фронталь - это прямая принадлежащая плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций.

Профильная прямая – прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций.

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали.

13. Условия параллельности двух плоскостей .

Плоскости могут пересекаться и быть параллельны друг другу (частный случай).

Плоскости будут параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Например, через точку D (рис. 4.27) требуется провести плоскость, параллельную заданной (треуг.ABC). Проводим через точку две прямые, параллельные двум любым прямым, находящимся в заданной плоскости, например сторонам треугольника.

14. Построение линий пересечения двух плоскостей общего положения.

Общий прием построения линии пересечения таких плоскостей заключается в следующем. Вводим вспомогательную плоскость (посредник) и строим линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными (рис.). В пересечении построенных линий находим общую точку двух плоскостей. Чтобы найти вторую общую точку, повторяем построение с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

При решении подобных задач удобнее в качестве посредников применять проецирующие плоскости.

На рис. дано построение линии пересечения двух треугольников. Решение выполняем в следующей последовательности. Проводим две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости - плоскость Р через сторону АС и плоскость Q через сторону ВС треугольника АВС. Плоскость Р пересекает треугольник DEF по прямой 1 - 2. В пересечении горизонтальных проекций 1-2 и ac находим горизонтальную проекцию точки М(т) линии пересечения. Плоскость Q пересекает треугольник DEF по прямой 3-4. В пересечении горизонтальных проекций 3-4 и bс находим горизонтальную проекцию точки N(n) линии пересечения. Фронтальные проекции этих точек, а следовательно, и линии пересечения, находим, проводя линии связи.

Анализ взаимной видимости треугольников на плоскостях проекций выполняем с помощью конкурирующих точек

Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций сравниваем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5. Эти точки лежат на скрещивающихся прямых АС и DE. Их фронтальные проекции совпадают. На горизонтальной проекции видно, что при взгляде по стрелке на плоскость V точка 5 расположена ближе к наблюдателю. Поэтому она закрывает точку 1. Следовательно, участок прямой АС левее точки М будет видимым на фронтальной плоскости проекций.

Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций сравниваем горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7. Они лежат на скрещивающихся прямых АС и DF. Их горизонтальные проекции совпадают. При взгляде по стрелке на плоскость Н видно, что точка 6 и прямая АС расположены выше точки 7 и прямой DF. Следовательно, участок AM прямой АС на горизонтальной плоскости проекций будет видимым.
15. Условие параллельности прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость Р задана треугольником CDE. Через точку А (рис.) необходимо провести прямую АВ, параллельную плоскости Р. Для этого через фронтальную проекцию а' точки А проведем фронтальную проекцию а'b' искомой прямой параллельно фронтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Р, например прямой CD (a'b'llc'd'). Через горизонтальную проекцию а точки А параллельно cd проводим горизонтальную проекцию аb искомой прямой АВ (ab ll cd). Прямая АВ параллельна плоскости Р, заданной треугольником CDE.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.



16. Определение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

• на пересечение двух плоскостей;

• на пересечение поверхности с плоскостью;

• на пересечение прямой с поверхностью;

• на взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью — значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой с линией, лежащей в плоскости.

Точку пересечения прямой с плоскостью строят по следующему плану:

1. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р (лучше проецирующую);

2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Q (тр. СDЕ) и вспомогательной плоскости Р;

3. Так как прямые АВ и МN лежат в одной плоскости Р, то определяют точку их пересечения (точку К), которая является точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Q.

4. Определяют взаимную видимость прямой АВ и плоскости Q.


17. Способы замены плоскостей проекций

Для упрощения решения метрических и позиционных задач применяются различные способы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется новой. При этом должны выполняться 2 условия:

1) Новая плоскость должна быть перпендикулярна оставшейся старой.

2) На новую плоскость геометрическая фигура проецируется с помощью перпендикулярных лучей.






18. Две основные задачи преобразования прямой

Основные задачи преобразования:

1. 
   прямую общего положения преобразовать в прямую уровня
   
2. 
   прямую уровня преобразовать в проецирующую прямую
   

19. Две основные задачи преобразования плоскости

1 Задача:

Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

2 Задача:

Плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня.



20. Виды и способы образования некоторых линейчатых поверхностей.

Повехность – это совокупность всех возможных положений движущихся линий (образующей) в пространстве.

Линия (ккривая или прямая) движется в пространстве и создаёт поверхность. Она называется образующей. Как праило, образующая движетя по второй линии. Эта линия называется направляющей.

Три способа задания повехности на череже:

1. 
   Аналитический. Поверхность рассматривается как множество точек, координаты оторых удовлетворяют заданному урвнению.
   
2. 
   Кинематический. Поверхност рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии перемещающейся по определённому закону (вращение окржности вокруг диаметра образует поверхность сферы).
   
3. 
   Каркасный. Поверхность задаётся семейством линий (каркасом).
   

В каркас входит 2 семейства линий:

1. 
   Образующие – линии по средствам которых образована поверхность
   
2. 
   Направляющие – линии по которым перемещается образующая.
   

Развертываемые:

Цилиндрические (образ. прям. линией, сохраняющей во всех своих положениях //-сть некоторой заданной прям. линии и проходящей послед-но через все точки некоторой кривой направляющей линии(если кривая линия заменяется вписанной в нее ломанной линией,то цил-ая пов-ть наз. призматической)).

Конические ( образ. прям. линией,проходящей через некоторую неподвизную точку(вершину кононич. пов-ти) и последов-но через все точки некоторой кривой направляющей линии.( если кривая линия заменяется вписанной в нее ломанной линией,то цил-ая пов-ть наз. пирамидальной))

Поверхность с ребром возврата (образ. непрерывным движ-ем прямоли-ой образ-ей,во всех своих положениях касающ-ся некоторой кривой(является направ-ей ,ребром возврата))

Неразвертываемые:

Поверхности с плоскостью параллелизма.

а) Цилиндроиды (образуются при премещ. Прям. линии во всех положениях сохраняющей //-ть некоторой заданной пл-ти и пересек. 2-е кривые линии(направ-ие) (если направ-ие плоские кривые,то они не должны лежать в одной пл.)

б) Коноиды(образуется при перемещ. Прям. линии во всех положениях сохраняющей //-ть некоторой заданной пл-ти и пересек. 2-е направ-ие(1-кривая;2-прямая) ) (если 1-ая плоские кривая,то они не должны лежать в одной пл.)

в) Гиперболический(линейчатый) параболоид (косая пл.)(образ.как результат перемещ. прямолинейной образ-ей по 2-м направ-им-скрешив-имся прям. линиям //-но некоторой пл. параллелизма.

Поверхности с тремя направляющими.(образ. является прям. линия,которая должна одновременно пересекать три неподвижные направ-ие линии )

а) Однополостный гиперболиод поверхность,которая образ.при перемещ. прям. линии пересекающ. Одновременно три скрещив-иеся прям.(направ-ие)

21. Виды и способы образования поверхностей вращения

Поверхность вращения – это поверхности образованные вращением линии (образующей) вокруг прямой (оси вращения).

Определение поверхности вращения включает образующую и ось вращения.

При образовании поверхности вращения любая точка в пространстве описывает окружность, эти окружности называются параллели. Плоскость параллели всегда перпендикулярна к оси вращения. Линии пересечения поверхности вращения с плоскостью, проходящей через ось вращения называют меридианами.

Окружность линий минимального диаметра называются горлом, окружность максимального диаметра – экватором.

Если у поверхности вращения образующая прямая линия, то в этом случае получаем линейчатую поверхность вращения (цилиндр, конус).

Если у поверхности вращения образующая кривая, то не линейчатая (сфера).

Коническая поверхность вращения - это поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей L вокруг пересекающейся с ней прямой i, называемой осью вращения.

Цилиндрическая поверхность вращения - это поверхность образованная вращением прямолинейной образующей L вокруг параллельной ей прямой I, называемой осью вращения.

Сфера – поверхность, образованная вращением окружности вокруг её диаметра.

Тор – поверхность образованная вращением окружности (или дуги) вокруг прямой (оси вращения), расположенной в плоскости окружности.

Тор называется закрытым, если ось вращения находится в пределах окружности, открытым, если ось вращения находиться за пределами окружности.

Кольцо – открытый тор.

Если ось вращения проходит в пределах окружности

вПоверхностью вращения назвается поверхность, описываемая кивой (или прямой) образующей при её вращеии вокруг неподвижной оси. Эта поверхность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая

это пов-ть образ. вращ-ем линии (обр-щей) вокруг прям.(оси вращ-ия))опред-ет пов-ть вращ-ия образ-ая и ось вращения. Параллель-окружность образованная при вращении любой точки образующей в пространстве.Пл-ть параллелей всегда пер-на к оси вращ-ий.(max окружность-экватор min-горло)меридиан-линия пересеч. пов-ти вращ-ия с пл-тью,прохрдящей через ось вращ-ия.виды:1)линейчатые(образ-ая прям. линия) а)цилиндрическая (меридиан-прямоугольник)б)коническая(меридиан-треугольник)в)однополостный гиперболонд(меридиан-гипербола; вращение вокруг мнимой оси и если образ-ая и ось вращ-ия-скрещивающиеся прям.) 2) нелинейчатые (образ-ая кривая линия) а)гиперболоид (двуполостный-ось вращ-ия-действительная ось гиперболы ,которая является меридианом) б)эллипсоид (меридиан-эллипс;вращ. вокруг большой оси-«вытянутый» эллипс; малой-«сжатый» эллипс) в)сфера (вращ. вокруг диаметра) г)тор(пов-ть,образ-ая вращ-ем окруж-ти (или дуги)вокруг прям.(оси вращ-ия);виды тора:1)закрытый(ось находится в пределах окруж-ти);2)открытый или круговое кольцо(ось находится в за пределами окруж-ти);3)самопересекающийся(полученный вращ-ем дуги(яблоко-дуга>180⁰;лимон-дуга<180⁰))

соосные пов-ти вращ-ние(пов-ти с общей осью)пересек-ся по окруж-тям:

1)цилиндр и конус;

2)сжатый эллипсоид и усеченный конус;

3)две сферы;

22. Винтовые поверхности

Винтовой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении.

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая оси геликоида или наклонна.

виды линейчатых винтовых поверхностей:

1) Прямой геликоид

2) Наклонный геликоид

3) Развертывающий геликоид

Если образующая l пересекается с осью поверхности, геликоид называется закрытым. Если образующая l не пересекается с осью поверхности, геликоид называется открытым.




23. Линии пересечения, получаемые при пересечении прямого кругового конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии. Они называются линиями конических сечений.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается две прямые — образующие (треугольник) В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность. Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола - в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.




24. Линии пересечения, получаемые при пересечении прямою кругового цилиндра плоскостью.

При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получаются две прямых – образующих. Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в результате сечения получится окружность. В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс.

25. Линии пересечения, получаемые при пересечении сферы плоскостью.

Шаровой поверхностью (или сферой) называется поверхность, образованная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Если шаровая поверхность пересекается плоскостью, то в сечении всегда получается окружность. Эта окружность может спроецироваться:

- в прямую, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций;

- в окружность с радиусом, равным расстоянию от оси вращения шара до очерка.

- в эллипс, если секущая плоскость не параллельна плоскости проекций.

Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную плоскости проекций, затем построить окружность, на второй находится эта точка.

26. Линии пересечения, получаемые при пересечении гранного тела плоскостью.

В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:

1. Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;

2. Стороны многоугольника находятся как линии пересечения плоскостей (граней) многогранника с секущей плоскостью.



27. Построение линии пересечения двух поверхностей. Что представляет собой линия пересечения двух кривых поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей - это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.

Общим способом построения точек, принадлежащих кривой взаимного пересечения поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей посредников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности Ф и Ý (рис.). Введем плоскость - посредник Р, которая пересечет поверхности по линиям l и k. Пересечение линий даст точки M и N, принадлежащие кривой пересечения. Применяя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости и шаровые поверхности - сферы. В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных секущих плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

При построении линии взаимного пересечения поверхностей необходимо сначала строить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.



28. Построение линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис.).

Для построения линии пересечения заданных поверхностей в качестве вспомогательных плоскостей необходимо использовать фронтальную плоскость Р и ряд горизонтальных плоскостей (S,T,R).

Построение начинаем с определения проекций характерных точек. Проводим фронтальную плоскость Р(Р_Н). Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек (1' и 2') находим как точки пересечения очерков. Горизонтальные проекции 1 и 2 определяем, проведя линии связи.

Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям.

Проекции 3' и 4' точек, лежащих на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскости Т(Тv), Она проходит через центр сферы. Плоскость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиуса r, В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизонтальные проекции 3 и 4 . Горизонтальные проекции точек 3 и 4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции. Промежуточные точки (точки 5, 6, 7, 8) находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей S(Sv) и R(Rv). Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом видимости.

29. Построение линии пересечения двух поверхностей способом сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями.

Прежде чем перейти к рассмотрению этого способа, рассмотрим частный случай пересечения поверхностей вращения, у которых оси совпадают. Такие поверхности называются соосными поверхностями вращения.

Линия пересечения соосных поверхностей - окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхностей вращения. При этом, если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линия пересечения на эту плоскость проецируется в отрезок прямой линии (рис.).

Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер. При этом могут быть использованы концентрические (построенные из одного центра) и эксцентрические (проведенные из разных центров) сферы. Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром.

Следует отметить, что если плоскость осей поверхностей вращения не параллельна плоскости проекций, то окружности, по которым пересекаются поверхности, будут проецироваться в эллипсы, а это усложняет решение задачи. Поэтому способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции.

30. Возможные случаи пересечения кривых поверхностей.

Существуют четыре варианта пересечения двух поверхностей.

1. Проницание. Все образующие первой поверхности (цилиндра) пересекаются со второй поверхностью, но не все образующие второй поверхности пересекаются с первой. В этом случае линия пересечения поверхностей распадается на две замкнутые кривые линии.

2.Врезание. Не все образующие той и другой поверхности пересекаются между собой. В этом случае линия пересечения - одна замкнутая кривая линия.

3. Одностороннее касание. Все образующие одной поверхности пересекаются со второй, но не все образующие второй поверхности пересекаются с первой. Поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания. Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые линии, пересекающиеся в точке касания.

4. Двойное касание. Все образующие обеих поверхностей пересекаются между собой. Пересекающиеся поверхности имеют дне общие касательные плоскости. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются и точках касания.



31. Теорема о двойном касании

Если две поверхности 2 порядка имеют 2 общие точки (точки касания), то линии их взаимного пересечения распадается на 2 плоские кривые второго порядка, причем плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки касания

Точка двойного касания – точка, в которых к обеим поверхностям можно провести общую касательную

32. Теорема Монжа .

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой – либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые.



33. Основная теорема аксонометрии

Аксонометрия называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненной в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.

Согласно этой теореме мы можем делать произв. аксонометрические оси, масштабы. Но только 2-мя коэф. искажения по осям мы можем задавать произвольно.

Это объясняется тем, что коэф. искажений по осям связаны следующими отношениями. p²+q²+r²=2+ctg²α (α – это угол между проецирующим углом и пл-ю; α=90 то p²+q²+r² = 2)

34. Что такое аксонометрия. Как получают аксонометрический чертеж точки

Изображения расположенные в пространстве относительно выбранных пл-ей проекций точек, линий, пл-ти, многогранников, сечений конической поверхности пл-ми использовались проекции называемые аксонометрией.

Аксонометрические проекции получаются если построится модель какого-либо геометрического образа (точки, прямой, поверхности) отнесённые к определённой системе координат спроецировать на выбранную пл-ть, которая называется аксонометрической плоскостью.

Аксонометрия может быть центральной, параллельной.

В практике выполнение чертежей наибольшее распространение получила параллельная аксонометрия.

Прямоугольная аксонометрия – это когда проецирующие лучи перпендикулярны к аксонометрической плоскости.

Косоугольная, когда аксонометрические лучи на перпендикулярны к акс. плоскостям.

Построение аксонометрии детали:

Порядок построения детали заданной на комплексном чертеже следующий:

1) Проекции детали приравнивают к декартовой системе координат.

2) В выбранном виде аксонометрии ставятся аксон. оси координат

3) В выбранном масштабе с учетом коэффициентов искажения по осям строятся вторичная, натуральная горизонтальная аксон. проекция детали.

4) Строится основная аксонометрическая проекция детали.

Оформляется аксонометрия детали (удаляются невидимые линии).

Виды аксонометрии:

1) Изометрия

35. Коэффициенты искажения по осям в аксонометрии. Формула, показывающая взаимную связь коэффициентов между собой

Для определения действительных размеров предмета используется коэффициенты искажения по координатным осям, kt. представляют отношение аксонометрических координат к натуральным.

p – по оси x p=l_x / l (это деление!!!)

q – по оси y q=l_y / l

r – по оси z r=l_z / l

Отношение проекции отрезков параллельным к осям к их натуральным отрезкам также равняются соответствующим коэффициентам искажения. Исходя из этого при построении аксонометрии точки легко определить ее аксон. координаты.

A(x,y,z)

a_x=a_xp

a_y=a_yp

a_z=a_zr

36. Виды аксонометрических проекций в зависимости от сравнительной величины коэффициентов искажения по осям и направления проецирования.

В зависимости от сравнительной величины коэффициентам по осям различают три вида аксонометрии.

1. Изометрия

p=q=r p²+q²+r²=2 3p²=2 p= =0.82

p=q=r=1 – приведенные коэф. искожения по осям, при этом случае аксонометрическое положение увеличено 1/0,82=1,22х

Бывает прямоугольная и косоугольная изометрия.

2. Диметрия

p=qr

p=rq

pq=r

Прямоугольная диметрия. Коэффициенты искажения по осям p=r=1 q=0,5.

3.Триметрия

pqr

В зависимости от направления проецирующей аксонометрии проекции различают на ортогональные (прямоугольные φ=90⁰), косоугольные (φ90⁰)

37. Стандартные виды аксонометрических проекций.

1.Прямоугольная изометрия

p=q=r=1

2.Прямоугольная диметрия

p=r=1 q=0.5

3.Косоугольная фронтальная горизонтальная изометрия

p=q=r=1

4.Фронтальная косоугольная диметрия

p=r=1 q=0.5

38. Изображение окружности в прямоугольной параллельной диметрии

В изображении величины большой и малой оси эллипса остаются одинаковыми независимо от плоскости, в котором расположена окружность. В диметрии постоянной остается только величина большей оси, равная 1,06D. В плоскостях горизонтальной H и профильной W малая ось эллипса составляет 0,35D, а в плоскости фронтальной V малая ось равна 0,94D.

39. Изображение окружности в прямоугольной параллельной изометрии.

При построении точной аксонометрии окружности величина большей оси эллипса равна величине диаметра этой окружности. При построении приведенной аксонометрии размеры увеличиваются в 1,22 раза. Поэтому величина большей оси эллипса составляет 1,22D, а величина малой оси – 0,71D. На рисунке показан графический способ определения размеров осей эллипса. Вычерчиваем окружность диаметра D, хорда AB = 0,71D. Приняв за центр точки A и B, радиусом, равный AB, проводим дуги до их взаимного пересечения. Полученные точки E и F соединим прямой линией. EF=1,22D – величина большой оси эллипса.