2. 1 Классическое определение вероятности

2.1 Классическое определение вероятности.

Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет четное количество очков на обеих костях?

Вероятность того, что четное число выпадет на одной кости:

Вероятность того, что четное число выпадет на обеих костях:

В мастерскую для ремонта поступило 10 телевизоров, из которых 3 нуждаются в общем ремонте. Мастер наугад берет первые 5 штук. Какова вероятность того, что два из выбранных 5 телевизоров нуждаются в общем ремонте.

По формуле полной вероятности:

В нашем случае n – все возможные выборки 5-ти деталей из 10-ти; m – такие выборки, в которых мастер выберет 2 детали, нуждающиеся в общем ремонте, из 3-х и 3 детали из 7, которые нуждаются в обычном ремонте. Соответственно:

2.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

В урне 4 белых и 6 черных шаров. Их урны наугад извлекают 4 шара. Какова вероятность, что среди них будет хотя бы два черных шара?

В нашем случае n – все возможные выборки 4-хшаров из 10-ти; m – такие выборки, в которых выберут либо 2, либо 3, либо 4 черных шара. Соответственно:

2.3 Формула полной вероятности.Формула Байеса.

В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытыми дефектами, второго 10% и третьего 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазине находится 30% телевизоров 1-го завода, 20% второго завода и 50% третьего?

Для подсчета вероятности попадания воспользуемся формулой полной вероятности , где a – вероятность того, что телевизор содержит дефект, p – вероятность попадания дефектного телевизора в магазин.

2.4 Повторение испытаний

Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 2 раза (вероятность выпадения герба 0,5).

По формуле Бернулли: ,

Где

p –вероятность выпадения герба (0,5)

q– вероятность выпадения решки (0,5)

k – 2 (количество раз, когда должен выпасть герб)

n – 6 (количество бросков).

Соответственно:

2.5 Дискретные случайные величины

Задан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины X.

X	10,6	20,6	21	21,6	22,4
P	0,3	0,3	0,2	0,1	0,1

Подсчитаем математическое ожидание случайной величины:

Подсчитаем дисперсию случайной величины по формуле:

Подсчитаем СКО по формуле:

Построим график функции распределения ДСВ:

2.6 Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения (варианты 1-5) или плотностью распределения вероятностей (варианты 6-10).

Требуется найти:

плотность распределения (варианты 1-5) или функцию распределения вероятностей (варианты 6-10);
математическое ожидание;
дисперсию;
среднее квадратическое отклонение;
вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;
построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

Найдем плотность распределения НСВ, как производную от функции распределения НСВ:

Посчитаем математическое ожидание НСВ по формуле:

Посчитаем дисперсию НСВ по формуле:

Посчитаем СКО по формуле:

Подсчитаем вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины:

2.7 Система двух случайных величин

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.

Требуется:

определить одномерные законы распределения случайных величин X и Y;
найти условные плотности распределения вероятностей величин;
вычислить математические ожидания и ;
вычислить дисперсии и ;
вычислить ковариацию ;
вычислить коэффициент корреляции .

Возможные значения случайных величин выбрать по номеру варианта.

0,04	0,04	0,03	0,03	0,01
0,04	0,07	0,06	0,05	0,03
0,05	0,08	0,09	0,08	0,05
0,03	0,04	0,04	0,06	0,08

X = {2, 3, 5, 8}

Y = {7, 9, 10, 11, 13}

Найдем закон распределения отдельно СВ Х и отдельно СВ Y:

X	2	3	5	8
P(x = xi)	0,15	0,25	0,35	0,25

Y	7	9	10	11	13
P(y=yi)	0,16	0,23	0,22	0,22	0,17

Найдем условные плотности распределения вероятностей величин.

Общая формула нахождения элемента условного закона распределения:

Зафиксируем Y

Y	7	9	10	11	13
	0,25	0,1739	0,1364	0,1364	0,0588
	0,25	0,3043	0,2727	0,2273	0,1765
	0,3125	0,3478	0,4091	0,3636	0,2941
	0,1875	0,1739	0,1818	0,2727	0,4706

Зафиксируем Х

X	2	3	5	8
	0,27	0,16	0,14	0,12
	0,27	0,28	0,23	0,16
	0,2	0,24	0,26	0,16
	0,2	0,2	0,23	0,24
	0,06	0,12	0,14	0,32

Найдем математические ожидания.

Найдем дисперсии

Вычислим ковариацию

Вычислим коэффициент корреляции

0,23146

2.8 Закон больших чисел и предельные теоремы

Дисперсия случайной величины X равна .

Требуется:

С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклониться от своего математического ожидания не более чем на величину . Параметры выбрать по номеру варианта;
Для рассматриваемой случайной величины X оценивается математическое ожидание. Сколько нужно сделать измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, среднее арифметическое этих измерений отклонилось от истинного значения математического ожидания не более чем на величину ε.

По неравенству Чебышева:

Из первой теоремы Чебышева:

Следовательно:

2. 9 Статистическая обработка экспериментальных данных.

Оценка параметров. Проверка статистических гипотез

По заданной выборке случайной величины X вычислить основные эмпирические характеристики:

выборочную среднюю;
выборочную дисперсию;
исправленное значение выборочной дисперсии;
среднее квадратическое отклонение;
построить доверительный интервал для оценки математического ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95;
построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать надежность оценки равной 0,95.
Построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому при уровне значимости .

Данные выборки выбирать по номеру варианта.

0,0 0,4 1,5 0,7 2,9 0,3 2,1 0,6 0,2 0,3 7,4 0,2

0,1 1,3 1,5 0,3 1,0 0,1 2,5 1,2 3,5 5,2 1,3 1,0

3,3 2,5 9,6 1,6 0,5 3,1 0,8 1,9 0,0 0,5 1,5 2,1

3,0 2,3 1,0 2,3 1,5 2,2 1,4 0,3 0,9 1,2 2,3 0,3

1,1 2,0 0,2 1,3 0,4 0,1 6,2 4,4 1,4 0,9 1,7 0,5

Выборочная средняя:

Выборочная дисперсия:

Исправленное значение выборочной дисперсии:

Доверительный интервал для математического ожидания

По имеющимся данным из таблицы находим процентиль распределения Стьюдента:

Общая формула доверительного интервала для математического ожидания:

В нашем случае:

Доверительный интервал для дисперсии

По имеющимся данным из таблицы находим процентили распределения хи-квадрат:

Общая формула доверительного интервала для дисперсии:

В нашем случае:

Полигон

Гистограмма

По гистограмме и полигону распределение выдвигается гипотеза об соответствии выборки экспоненциальному закону распределения, где

Проверим гипотезу критерием Стьюдента:

где:

– экспериментальное значение вероятности попадания случайной величины в i-й интервал. Оно равно отношению количества элементов выборки, попавших в данных интервал, к общему количеству элементов в выборке. На основании данных вероятностей построена гистограмма и полигон распределения.

– теоретическое значение вероятности попадания случайной величиный в i-й интервал;

где:

– левая граница интервала

– правая граница интервала

В итоге получаем формулу:

Т.к. , то наша гипотеза верна.

2.10 Дисперсионный анализ

Сделано по 5 измерений случайной величины X на каждом их четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор F не влияет на математическое ожидание величины X. Сделать вывод.

Номер испытания i	Уровни фактора j
Номер испытания i
1	3	7	2	5
2	9	5	6	5
3	4	5	2	8
4	2	3	5	4
5	6	9	5	8

В качестве критерия воспользуемся критерием фишера:

Теоретическое значение критерия:

, следовательно нет оснований считать, то фактор оказывает влияние на разброс средних значений.

2.11 Регрессионный анализ

При изучении зависимости между величиной X и величиной Y были получены следующие значения (см. таблицу соответствующего варианта). Требуется:

· построить график Y=f(X);

· рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

· оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

· найти коэффициент корреляции;

· оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии по критерию Стьюдента (t- критерий) при уровне значимости 0,95;

· сделать выводы.

X	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8
Y	-0,1	-0,5	-1,1	-1,6	-1,9	-1,3	-1,2	-0,8	1,3	2,6	4,2	5,7	7,7	8,4	9,9

Изобразим на диаграмме заданные в условии точки:

Для построения графика линейной регрессии, который имеет вид необходимо определить коэффициенты и . Методом наименьших квадратов.

Подсчитаем значения соответствующих сумм:

Решив систему найдем коэффициенты линейной регрессии:

Уравнение линии получится следующим:

Построим данную прямую над корреляционным облаком:

Оценим ошибку аппроксимации по формулам:

Также применяют среднюю оценку точности, рассчитанную по формуле:

Оценка по первому методу оказалась завышенной, т.к. значения в корелляционном облаке сильно приближены к нулю.

Подсчитаем коэффициент корреляции по формуле:

Оценим значимость коэффицента корреляции, для этого введем случайную величину вида:

Которая имеет распределении Стьюдента с n-2 степенью свободы, следовательно подсчитаем значение и сравним с табличным:

Табличное значение распределения Стьюдента с вероятностью 0,95 , как видно значение нашего параметра t больше табличного, следовательно, оценка коэффициента корреляции является значимой.

Проверим коэффициент линейной регрессии на значимость, для этого подсчитаем параметр t, который соответствует распределению Стьюдента с (n-2) степенями свободы:

Табличное значение распределения Стьюдента с вероятностью 0,95

, как видно значение нашего параметра t больше табличного, следовательно, оценка коэффициента линейной регрессии является значимой.