ЛЕКЦИЯ 12. РАССЕЯНИЕ СВЕТА.

1. Введение

2. 
   Классическое описание рассеяния света (Ландау и Лифшиц Электродинамика сплошных сред 582-1982)
   
3. 
   Рэлеевское рассеяние
   
4. 
   Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна
   
5. 
   Комбинационное рассеяние или эффект Рамана Мандельштама Бриллюэна
   
6. 
   Комбинационное рассеяние и теория возмущений
   

1. "Явление рассеяния заключается в возникновении слабых рассеянных волн с частотами и направлениями, отличающимися от частоты и направления распространяющейся в среде исходной. Происхождение рассеяния сводится к изменению движения входящих в состав среды зарядов под влиянием поля падающей волны. Это изменение приводит к излучению новых - рассеянных волн" Хоть это определение и списано из учебника Ландау и Лифшица, но как всегда постичь его, как мне кажется, может лишь тот, кто уже знает, что такое рассеяние. Для такого человека за каждым словом предложения встают страницы текстов. Ну а для тех, кто этих текстов еще не прочитал - все как всегда мутно и тавтологично. Однако главное сказано - при рассеянии изменяется либо частота, либо волной вектор, световой волны, либо и то и другое вместе; Мне бы очень не хотелось тут ввязываться в лингвистические споры. На тему: "Является ли отражение света рассеянием или его надо выделять в отдельный эффект" или "что означает слово - слабые рассеянные волны" и пр. Тут либо с самого начала легко отелить одно от другого, либо мы попали в переходную область, в которой можно спорить о том, что есть что до посинения и без особого толку.

Рассеяния всегда можно представить как поглощение первоначального кванта с энергией и волновым вектором с одновременным испусканием другого фотона с энергией и волновым вектором и . Если частота рассеянного света меньше частоты падающего, то говорят о Стоксовой компоненте рассеяния, если же , то рассеянное излучение называется антистоксовским. В первом случае часть энергии рассеиваемого света диссипируется средой. Во втором - наоборот, при рассеянии энергия забирается от рассеивающей среды.

1. МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ

Макроскопическая электродинамика характеризуется двумя усреднениями: 1) усреднение по малому объему при заданном расположении атомов и 2) усреднение по движению взаимодействующих со светом атомов. Пространственная неоднородность среды приводит к несохранению импульса фотона, к изменению направления распространения света. В результате изменения свойств среды во времени частота рассеянного света не совпадет с частотой падающего излучения.

Классическая теория рассеяния света подробно рассматривается в "Электродинамике сплошных сред" Ландау и Лифшица. Этой книге мы будем следовать при классическом описании рассеяния. Пусть падающая на среду световая волна монохроматична (имеет частоту ) и ее распространение описывается диэлектрической проницаемостью

Для простоты ниже мы будем считать диэлектрическую проницаемость скаляром.

Распространение рассеянной волны на изменившийся частоте описывается диэлектрической проницаемостью , то есть . Причем . где - средняя поляризуемость среды. Однако, по самым различным причинам поляризуемость среды неоднородна в пространстве и непостоянна во времени. Например, в газе флуктуирует концентрация атомов и их энергия, в конвекционные потоки перемещают пылинки. В твердом теле встречаются различные замороженные дефекты, примеси. (С ростом температуры все сильнее и сильнее флуктуирует ширина запрещенной зоны, акустические фононы взаимодействуют с носителями заряда посредством деформационного потенциала.) Возникают флуктуирующие во времени электрические поля, связанные с оптическими фононами, а в кристаллах без центра инверсии и с акустическими фононами. Ландау и Лифшиц предлагают характеризовать эти локальные неоднородности поляризуемости среды тензорами и , зависящими от частот рассеиваемого и рассеянного света, конкретных механизмов рассеяния. Они обусловлены флуктуациями и, следовательно, кристаллическая симметрия не помогает особо в определении их вида. Тем не менее, индукция в рассеянной электромагнитной воле описывается общей формулой

(1)

Последнее слагаемое в правой части описывает вынужденные переходы. Они важны при больших интенсивностях световой волны. Мы их будем рассматривать в нелинейной оптике, а пока что игнорируем. Подставим это выражение для индукции в уравнения Максвелла

O

(2)

где . Уравнение (2) - очень важное для нас. Это волновое уравнение с правой частью, с вынуждающей силой. Все, кроме собственных колебаний сводится к этому уравнению.

Что случиться, если в правой части уравнения маятника появиться вынуждающая сила? НУ а как ее частота совпадет с резонансной частотой? А если сила будет осциллировать на резонансной частоте, но фаза ее изменяется во времени случайным образом?

Согласно электродинамике формальное решение (2) можно записать с помощью запаздывающего потенциала

(3)
ЗДЕСЬ НАДО РАЗОБРАТЬСЯ, но ясно видно, что рассеивающие свойства среды характеризуются вектором

(4)

(5)

На всех этапах расчетов мы держали в памяти то, что обычно рассеяние связано со случайными отклонениями поляризуемости среды от ее среднего значения. Как только мы попытаемся в полученных формулах провести усреднение - результат станет равным нулю, хотя рассеяние, несомненно, существует. Что же надо рассчитывать, чтобы описать рассеяние света? Наверное, имеется много объектов, которые можно было бы рассчитать для такого описания. Но самое естественное, начать с расчета интенсивности, ведь именно интенсивность рассеянного излучения обычно измеряют в экспериментах по рассеянию. Интенсивность вроде бы скаляр. Но для ее теоретического описания естественно ввести тензор второго ранга, шпур которого дает полную интенсивность излучения, а собственные числа - значения интенсивности для "чистых" состояний с определенной поляризацией

(6).

Поскольку такой тензор квадратичен по электрическому полю усреднение по случайному распределению флуктуаций уже не зануляет результат. Характеристикой, определяющей рассеяние света в среде, является коррелятор

(7)

Усреднять надо с экспонентой. То есть угловые скобки содержат функцию двух переменных и являются функцией двух переменных

Здесь, усреднение проводится по случайным изменениям поляризуемости среды. О формулах (6,7) уже можно разговаривать долго.

1) Во-первых, уже из (6) видно, что интенсивность рассеяния очень сильно зависит от волнового вектора или от частоты рассеиваемого света . Чем выше частота, чем меньше длина волны, тем чувствительнее световые волны к неоднородностям рассеивающей среды. Этот результат основан исключительно на свойствах волнового уравнения и не учитывает никаких специфических особенностей рассеивающих неоднородностей.

2) Интенсивность рассеяния, вообще говоря, быстро нарастает с увеличение частоты рассеиваемого света. С этим связана голубизна небес в ясную погоду. По этой же причине запрещающий сигнал светофора выбран с красным, а разрешающий - зеленым. В плохих погодных условиях, в условиях сильного рассеяния, рассеяние вырезает в наблюдаемом свете высокочастотную часть. Свет краснеет. Ну а при анализе сигнала светофора лучше принять разрешающий сигнал за запрещающий, чем наоборот.

3) Во-вторых, обратим внимание, на то, что в задаче имеется как минимум три масштаба длины.

Это характерный размер области корреляций флуктуаций. Как правило, можно указать такое расстояние а, что если , то среднее по флуктуациям значение отлично от нуля,. в то время как при экспоненциально быстро стремится к нулю.

Второй масштаб - . На расстояниях, много меньших b - различия между длинами волн рассеянного и рассеиваемого света теряют смысл. Только изменения поляризуемости среды на расстояниях больших b могут быть выявлены в распределении рассеянных волн.

Наконец, имеется и третий масштаб - размер рассеивающей среды ?V^1/3.?

Предположим, что a<1/3 . (предел коротких длин корреляции). Тогда в подынтегральном выражении (7) можно положить и интенсивность рассеяния оказывается прямо пропорциональной произведению характерного объема неоднородности на объем рассеивающей среды . Таким образом, интенсивность рассеяния прямо пропорциональна квадрату объему области рассеивающей свет скоррелировано (когерентно) и первой степени объема области некогерентного рассеяния (числу областей, рассеивающих когерентно).

Если то весь объем выступает как один когерентный источник рассеянного света.

Если же самый малым масштабом длины оказывается b, то максимальным окажется рассеяние света, если коррелятор содержит соответствующую Фурье гармонику. То есть от точки к точке области рассеивающей когерентно должны еще и выполняться определенные соотношения между отличиями от средней величены локальных значений поляризуемости.

Интенсивность рассеянного света содержит три очевидных зависимости: она

1) прямо пропорциональна квадрату модуля электрического поля рассеиваемой волны

2) прямо пропорциональна объему рассеивающей области в степени не меньшей единицы

3) обратно пропорциональна квадрату расстояния от рассеивающей области до измерительного прибора

Поэтому для характеризации рассеивающей среды используют коэффициент экстинкции

(8)

где интегрирование проводится по полному телесному углу.

3. Наиболее давно известно Рэлеевское рассеяние света.
Определение, которое мне удалось найти, содержит слова - без существенного изменения частоты. Что считать существенным? Наверное, можно сказать так. В экспериментально измеренном спектре рассеянного света всегда имеется максимум на частоте рассеиваемого света .Так вот рассеянный свет на частоте падающего и соответствующие крылья линии рассеяния относят к Рэлеевскому рассеянию. Например, дефекты поверхности и объема кристалла, пылинки малого размера, медленно движущиеся в конвекционных потоках воздуха, флуктуации плотности газа, связанные с флуктуациями средней ориентации молекул в пространстве, и т.п. являются примерами неоднородностей, вызывающих Рэлеевское рассеяние.

Сам Рэлей исследовал рассеяние в газах и в 1871 году вывел формулу для интенсивности Рэлеевского рассеяния, согласно которой

(9)

n - коэффициент преломления, а N - концентрация рассеивающих атомов. Поскольку для газов , коэффициент экстинкции прямо пропорционален концентрации атомов.

Формула Рэлея учитывает флуктуации плотности атомов, связанные с наличием хаотического поле звуковых колебаний. У такого поля значение поляризуемости в соседних точках и во времени скоррелированы. В результате у Рэлеевской линии рассеяния в газах появляется тонкая структура, а в физике возникает новый тип рассеяния –

рассеяние Мандельштама-(1918) - Бриллюэна (1922),

к

Рис.12.1. Кинематика рассеяния Мандельштама -Бриллюэна

оторое в твердом теле выступает уже совершенно самостоятельно.

И так в силу волнового характера акустических колебаний плотности фурье-образ коррелятора

имеет максимум, когда , где - скорость звука. То есть при рассеянии на звуковых колебаниях

где - угол рассеяния. (При выводе этой формулы мы воспользовались тем, что скорость звука много меньше скорости света, так что ).

И так рядом с линией рассеяния на не сдвинутой частоте возникает дублет рассеянных волн, отличие частот которых от частоты рассеиваемого света связано с углом рассеяния соотношением

Чем больше угол рассеяния, тем больше сдвиг частоты. По мере уменьшения угла рассеяния частота рассеянного света стремится к частоте рассеиваемого излучения.

В квантовой механике этот же результат получается из тех же законов сохранения энергии и импульса для перехода между начальным состоянием, содержащим фотон (фотон+фонон) и конечным состоянием состоящем их фотона и фонона (фотона). Геометрическая картинка кинетики такого процесса представлена на рисунке.

Комбинационное рассеяние света.

Кроме рассмотренных выше акустических колебаний в рассеивающей среде могут существовать и иные колебания самой разной природы, появляющиеся в спектрах рассеяния. Частота рассеянного света в этом случае является некоторой комбинацией частоты исходного излучения и частот внутренних, характерных для данной среды колебаний. Это могут быть частоты оптических фононов или магнонов (в магнитных материалах); вращательные и колебательные частоты молекул, частоты внутри атомных переходов электронов. (В газах комбинационное рассеяние можно формально отличить от рассеяния Мандельштама –Бриллюэна, если вспомнить что последнее возбуждает колебания среды как целого и комбинационое рассеяние – внутри молекулярные переходы. В кристалле одну большую молекулу качественные отличия между этими процессами размываются совсем) В общем, комбинационное рассеяние позволяет пощупать громадное число внутренних степеней свободы. Поэтому за его открытие индийскому физику Раману присудили Нобелевскую премию 1930 года.

Следует тут вспомнить о том, что впервые комбинационное рассеяние наблюдали Ландсберг с Мандельштамом раньше Рамана, но они углубились в изучение и проверку полученных результатов, а Раман тут же опубликовал статью. Это - еерьезная проблема. Публикацию неверных результатов не прощают. За такое просто перестают читать и ссылаться. Но и затягивать с публикацией горячих результатов нельзя. Вот совсем недавно Евгений Борисович Александров мне рассказал, что в первых опубликованных результатах Майкельсона коэффициент увлечения эфира движущейся Землей был оценен в . То есть с равной вероятностью скорость света изменялась на величину, скорости движения Земли, или не зависела от нее. Тем не менее, уже по этим результатам Майкельсон сделал вывод о постоянстве скорости света. Ну и как же себя после этого вести?

Вообще то и рассеяние Мандельштама-Бриллюэна является комбинационным, потому что частоты акустических фононов ни чем не лучше частот оптических фононов. Да и вообще оптические фононы получаются из акустических при удвоении (утроении, учетверении и т.п.) элементарной ячейки. В сверхрешетках, в которых зона Бриллюэна по одному направлению уменьшается во много раз в спектрах рассеяния появляются так называемые сложенные (folded) акустических фононов. Так что акустический или оптический фонон - различить трудно, вот сильная угловая зависимость частоты рассеянного света - действительно главное отличие рассеяния Мандельштама - Бриллюэна от комбинационного рассеяния.

Здесь нужны картинки разных экспериментов по комбинационному рассеянию

Квантово-механическое описание задачи о рассеянии света.

Изучение рассеяния различных элементарных частиц – любимое занятие квантовых механиков. Достаточно вспомнить, что именно опытов Рэзерфорда спровоцировали теорию Бора.

Поскольку взаимодействие вещества со светом как правило можно рассматривать как малое возмущение, квантово-механическое описание задачи о рассеянии проводится во втором порядке теории возмущений. Процесс состоит из двух этапов - поглощение исходного фотона () и испускание фотона рассеянного излучения ().

где i и f - начальное и конечное состояния рассеивающей среды и электромагнитного поля. Промежуточное состояние системы (n) как правило, является виртуальным. Иногда в этой сумме, которая, собственно говоря, и описывает поляризуемость среды (см. Ландау и Лифшиц Статистическая физика ФДТ и поляризуемость)

м
Рис. 12.2 Рэлей Стокс и анти-Стокс в сложной средеи в разряженном газе атомов

ожно выделить главный член, знаменатель у которого во много раз меньше чем у остальных. Следует иметь в виду, что совсем не обязательно поглощению исходного фотона предшествует испусканию рассеянного. Наряду с таким очевидным процессом сосуществует процесс, в котором сперва испускается рассеянный фотон, а потом уже поглощается фотон исходного излучения.

Вы даже не можете представить себе, насколько богата выписанная формула. Ведь в ней начальное, конечное и промежуточные состояния это, вообще-то говоря, точные собственные состояния рассеивающей среды. В них уже включены все взаимодействия, связывающие электроны и ионы, ибо в этой формуле возмущением считалось только взаимодействие со светом.

При расчетах мы лишь в очень редких случаях знаем эти точные состояния. Пожалуй, в голову приходит только разряженный газ, не содержащий многоатомных молекул. (Лучше всего газ атомарного водорода). Часто состояния рассеивающей среды удается найти лишь в некотором приближении, а потом уточнять их по теории возмущений. Например, для твердого тела таким нулевым приближением обычно является адиабатическое приближение, в рамках которого со светом взаимодействуют только электроны. А электрон-фононное взаимодействие выступает в роли слабого возмущения. Рассеяние на акустических или оптических фононах может быть рассчитано только при учете этого возмущения. Таким образом, порядок используемой теории возмущений начинает нарастать;

Тут уместна ссылка на приложение в котором будет лекция Переля из 3 Зимней школы.

Для того чтобы яснее представить себе, что и как считается - удобно использовать диаграммы. Это такие картинки – иероглифы, дающие наглядное представление о том, что считается. В результате удается с высоты птичьего полета увидеть общие свойства у формул, необъятных для взгляда в обычном виде. В чем то они похожи на блок-схемы используемые в программировании. Упрощается приведение подобных членов, можно последовательно обработать разные части выражений, увидеть и доказать общие свойства. Первым в теоретическую физику диаграммы ввел Фейнман. В воспоминаниях он рассказывает о том, как посетил какую-то теоретическую лабораторию в Европе, где ему рассказали о большой задаче, над которой сейчас трудится коллектив. Нужно было провести расчет в сравнительно высоком порядке теории возмущений. С помощью своих диаграмм Фейнман решил задачу в электричке, по пути в гостиницу и на утро потряс коллег готовым ответом. Но считать, конечно же, считать все равно придется.

Н

E_i E_n E_f

Рис.12.3.
апример, приведенные выше диаграммы наглядно представляют Рэлеевскую, Стоксову и анти-Стоксову компоненты рассеяния. Заштрихованный эллипс это множество промежуточных виртуальных состояний, взаимодействие которых друг с другом. Их точный вид надо еще найти.

Эти картинки - диаграммы явно выросли из схемы, изображающей комбинационное рассеяние света на чисто электронных переходах какого-то атома.

На рисунке 12.3.изображена другая диаграмма, прямо изображающая формулу второго порядка. Сплошная стрелка изображает состояние электрона, Пунктир - фотон, точка - взаимодействие ( матричный элемент поглощения или испускания фотона). При этом участок сплошной линии между двумя точками соответствует энергетическому знаменателю.

На этой диаграмме. изображен переход с уровня на уровень электрона.

В

e e

h h

e e
h h

полупроводниках как мы уж неоднократно видели, поглощение фотона приводит к рождению электронно-дырочной пары. При этом в промежуточном состоянии и электрон и дырка могут взаимодействовать с фононов. Варианты этих процессов представлены на диаграммах 12.4.

Жирные штриховые стрелки изображают фотоны на входе и выходе, тонкие пунктирные – фононы, поглощаемые или испускаемые электроном или дыркой.

Для разных задач удобны разные диаграммы. Великие их изобретатели не только придумали эти наглядные картинки но и разработали правила. Позволяющие некоторую часть рутинных вычислений проводить рисуя картинки. Но все равно от расчетов никуда не деться.