АМУРСКАЯ ОБЛАСТЬ СЕРЫШЕВСКИЙ РАЙОН

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЯ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С.ЛЕБЯЖЬЕ

Выполнила: ученица 9го класса

Волчкова Анна Владимировна

Руководитель: учитель математики

Надточий Татьяна Терентевна.

Цель: Расширить представления о золотой пропорции как основы гармонии окружающего мира.

Гипотеза.

Золотая пропорция существует в природе и применима в деятельности человека.(2 слайд)

Методы исследования: работа с литературой, информацией Интернета, наблюдения.(3слайд)

Содержание.

1.Гипотеза

2.План (4слайд)

1)Введение

2)Об истоке золотой пропорции

3)Соотношения, связанные с золотой пропорцией

3.1 Золотой прямоугольник

3.2Пятиконечная звезда (пентаграмма)

3.3 Возвышенный треугольник

4)Золотая пропорция в природе

4.1 Принцип гармонии. Вселенная как живой организм.

4.2Золотое сечение в растительном и животном мире

4.3Золотая пропорция человеческого тела

5)Золотая пропорция в живописи

6)Золотое сечение в архитектуре

7)Гармония звуков

8)Вывод

3.Литература

4.Приложения

1)Введение. (5слайд)

Исследовательская работа «Золотая пропорция» направлена на создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практике и развивающейся из них.

В базовом курсе математики золотому сечению уделено мало времени, представлена лишь математическая составляющая, а об общекультурном аспекте упоминается вскользь.

В нашей работе мы решили показать пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры- науки и искусства от античных времен до нашего времени, и убедиться в том, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т. д.

Мне эта тема интересна тем, что она отражает гармонию и красоту окружающего мира.

2)Об истоках золотой пропорции.

Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры.(6 слайд) О ней упоминается в трудах великих философов Греции: Пифагора, Платона, Евклида. Сведения о геометрическом делении отрезка в крайнем и среднем отношении встречаются во второй книге «Начал» Евклида (III в. до н.э.). (7 слайд)

Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что(8 слайд) для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части.

В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи(9 слайд) именует ее «Sectioautea», откуда и получил начало термин «золотое сечение». По мнению белорусского ученого Э.Сороко, термин «золотое сечение» идет от Клавдия Птоломея, который дал это название числу 0,618. (10 слайд)

На долгие времена золотое сечение было предано забвению, и о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова.

Невозможно с полной уверенностью утверждать, что египетские зодчие имели научное представление о золотой пропорции и ее математических свойствах.

Существует гипотеза, что некоторые свои знания египтяне получили от жителей Атлантиды.

Однако, при археологических раскопках на реке Ангаре в Сибири, были обнаружены следы золотой пропорции, имеющие давность 20-25 тыс. лет . Археолог М.Герасимов обнаружил прямоугольную пластинку, изготовленную из бивня мамонта. Пластинка декорирована сложным рисунком спиральной формы, в центре ее отверстие. Размеры пластинки 13,6: 8,2 см, что с точностью до 1мм отвечает золотой пропорции.(11 слайд)

Археолог А.Окладников нашел на скалах возле села Шишкино на реке Лене палеолитические рисунки диких коней и козла, размеры которых таковы, что они находятся в соответствии с пропорцией золотого сечения.

Нет необходимости доказывать, что у людей палеолита не было научного представления о золотой пропорции. Применение ими золотой пропорции было итогом творческой интуиции, интуитивного познания мира, итогом стремления к гармонии и красоте.
3)Соотношения, связанные с золотой пропорцией

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему(12 слайд)

3.1Прямоугольник (спираль) (13,14 слайд)

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44. ≈1,6

Если от золотого прямоугольника со сторонами a и b(a>b) отрезать квадрат со стороной b, то оставшийся прямоугольник тоже будет золотым. Если продолжить этот процесс, то можно получить спираль.(15 слайд)

3.2Пятиконечная звезда (пентаграмма)(16 слайд)

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник(17 слайд). Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е– середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

3.3Ввозвышенный треугольник(18 слайд)

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d₁ соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd₁откладываем на линию Ad₁, получая точку С. Она разделила линию Ad₁ в пропорции золотого сечения. ЛиниямиAd₁ и dd₁ пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

4)«Золотая пропорция» в природе(19 слайд)

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали

. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.(20слайд)

В биологических исследованиях было показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи.

Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия

4.1 Принцип гармонии. Вселенная как живой организм.(21 слайд)

Под гармонией понимается наиболее оптимальное сочетание противоречивых сторон в едином целом. Это такое сосуществование нескольких подсистем в рамках единого целого, при котором достигается минимальное количество противоречий (конфликтов, противостояний, напряжений). В физике подобное состояние называется энергетически наиболее выгодным.

В состоянии гармонии заложена изначальная противоречивость мира. Многочисленные исследования показывают, что состояние гармонии достигается, когда соотношение порядка (предсказуемого, подчинения системным законам) в поведении элементов системы и хаоса (непредсказуемого, свободы выбора) тяготеет к «золотой» пропорции ( = 0,618)

Только те элементы системы, которые несут в себе «золотое» соотношение между «свободой выбора» и закономерностью могут устойчиво существовать длительное время, то есть обладают живучестью.

4.2Золотое сечение в растительном и животном мире

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.(23 слайд)

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи. (24,25 слайды). Я исследовала несколько растений и сделала вывод: золотой пропорции больше всего удовлетворяют листья дуба и молодые побеги кактуса (26,27слайды)

У многих бабочек (28 слайд) соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

 
(29 слайд)В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

4.3Золотая пропорция человеческого тела(30 слайд)

Человек умеет интуитивно чувствовать, гармонию. Его притягивает то, что несет в себе гармонию, и отталкивает дисгармония. Гармоничные структуры мы называем словом «красота». Красивое тело построено по закону «золотого» сечения

Было измерено около двух тысяч человеческих тел. После изучения соотношения частей тела был сделан вывод, что золотое сечение выражает средний статистический закон

Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.(31 слайд)

c =21см, a=53см, d=32см, b=117см.

32:53=0,6; 21:32=0,6;

5)Золотая пропорция в живописи(32слайд)

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина "Сосновая роща"(33слайд)
На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника..

Золотая спираль в картине Рафаэля"Избиение младенцев"(34 слайд)

В отличии от золотого сечения, в этой картине ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре – спирали, которая присутствует на многофигурной композиции "Избиение младенцев".

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции.
.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль " или только"чувствовал" ее. В композиции"Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

6)Золотое сечение в архитектуре.
Красивое здание несет в своих формах «золотую» пропорцию.

«Божественную пропорцию» использовали при возведении величественных греческих храмов, пирамид.

Одно из семи чудес света - египетские пирамиды. Эти фигуры поражают своими размерами, совершенством геометрических фигур. (35 слайд)

Исследователи довольно подробно изучали пирамиду Хеопса.Они предполагают, что основным исходным элементом геометрии пирамиды Хеопса является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором выполнялись выше указанные отношения, треугольник основанный на золотой пропорции.

При рассмотрении поверхности пирамиды можно придти к следующим результатам: поверхность состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основания треугольника 500 локтей, апофема 404,5 локтей, длина боковых ребер 475,5 локтя: 404,5 : =1,618. Площадь основания равна 250000 квадратных локтей; площадь боковой грани равна 101125 квадратных локтей; площадь четырех граней равна 4101125=404500 квадратных локтей; отношение площади четырех граней к площади основания равно 1,618. Пирамида свидетельствует о знании египтянами золотой пропорции, равной 1,618.

Великолепные памятники архитектуры оставили зодчие Древней Греции. Среди них первое место по праву принадлежит Парфенону – храму Афины.(36 слайд)

Многие исследователи стремились раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. При строительстве многих памятников архитектуры в России использовались соотношения близкие к золотой пропорции.

Невозможно утверждать, что зодчие собора Василия Блаженного(37слайд) знали о золотой пропорции и ее математическом выражении 1,618 и 0,618 и сознательно пользовались этой величиной в своих построениях. Они могли прийти к ней, пользуясь системой квадрата и прямоугольника «два квадрата», отношением их сторон и диагоналей, а, также используя пропорциональные циркули, которые существовали еще в Древней Греции.

7)Гармония звуков

Даже в музыке огромное значение имеют пропорции, соотношение частей между собой и отношение каждой части к целому, т.е. и в музыке присутствует золотая пропорция. Если «измерять» музыкальное произведение по времени его исполнения, то точка золотого сечения служит ориентиром формообразования, часто на нее приходится кульминация. Это может быть также самый яркий или самый тихий момент, самое плотное по фактуре место или самое звуковысотное. Но случается и так, что в точке золотого сечения появляется новая музыкальная тема.

В красивом (гармоничном) сочетании звуков заложена «золотая пропорция» (звукоряд Пифагора)

По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений, в 1338 сочинениях наблюдалось хотя бы 1 золотое сечение. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение (38слайд) у Бетховена(97%), Моцарта(91%), Скрябина(90 %), Шопена(92%), Шуберта(91%).

В красивом (гармоничном) сочетании звуков заложена «золотая» пропорция (звукоряд Пифагора). По закону «золотого» сечения построена Солнечная система (закон Боде). Пятеричную симметрию имеет планета Земля, кора которой выложена из пятиугольных плит. Есть основания думать, что весь мир построен по принципу золотой пропорции. В этом смысле Вселенная в целом является грандиозным живым организмом, подобие с которым дает нам право самим называться живыми организмами.

8)Вывод. (39слайд)

Проведенные исследования подтверждают наше предположение о том, что золотая пропорция существует в природе и применима в деятельности человека. В своей короткой работе я рассказала не обо всех видах применения человеком золотой пропорции. Хочу продолжить работу над этой темой, исследовать применение современными архитекторами золотой пропорции. Еще меня интересуют пропорции человеческого тела, потому что моя будущая профессия связана с медициной.

3.Литература(40 слайд)

• 
  Штейнгаус Г. Математический калейдоскоп.- М.: 1981
  
• 
  Энциклопедический словарь юного математика -.М. :Педагогика, 1889
  
• 
  Волошинов А.В Математика и искусство. – М .: Просвещение,1992
  
• 
  Гарднер, М Математические головоломки и развлечения. – М .: Мир,1994
  
• 
  Геометрия. Золотая пропорция (8 – 9 классы) – Волгоград.: Учитель, 2006г
  

Приложение.

1. 
   Золотая пропорция (титул)
   
2. 
   Гипотеза
   
3. 
   Методы исследования
   
4. 
   План
   
5. 
   Введение
   
6. 
   Об истоках золотой пропорции
   
7. 
   Первооткрыватели золотой пропорции
   
8. 
   Платон. Определение золотой пропорции
   
9. 
   Портрет Леонардо да Винчи
   
10. 
    Число Φ
    
11. 
    Размеры пластинки на бивне мамонта
    
12. 
    Соотношения, связанные с золотой пропорцией
    
13. 
    Золотой прямоугольник 1
    
14. 
    Золотой прямоугольник 2
    
15. 
    Свойство золотого прямоугольника
    
16. 
    Пентаграмма
    
17. 
    Алгоритм построения пентаграммы
    
18. 
    Возвышенный треугольник
    
19. 
    Золотая пропорция в природе
    
20. 
    Золотые спирали в природе
    
21. 
    Числа Фибоначчи
    
22. 
    Принцип гармонии
    
23. 
    Золотое сечение в растительном мире
    
24. 
    Исследование золотой спирали в растениях 1
    
25. 
    Исследование золотой спирали в растениях 2
    
26. 
    Исследование золотой пропорции в растениях 1
    
27. 
    Исследование золотой пропорции в растениях 2
    
28. 
    Золотая пропорция в животном мире 1
    
29. 
    Золотая пропорция в животном мире 2
    
30. 
    Золотая пропорция человеческого тела
    
31. 
    Исследование золотой пропорции человеческого тела
    
32. 
    Золотая пропорция в живописи
    
33. 
    И. И. Шишкин "Сосновая роща»
    
34. 
    Рафаэль"Избиение младенцев"
    
35. 
    Золотое сечение в архитектуре
    
36. 
    Парфенон
    
37. 
    Храм Василия Блаженного
    
38. 
    Гармония звуков
    
39. 
    Вывод
    
40. 
    Литература
    
41. 
    Сайты о пропорции