ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

(II семестр, 2006–2007 уч. год)

Лектор: Пахомова Е.Г.

1. 
   ФНП: определение, способы заданий, предел и непрерывность.
   
2. 
   Определение частной производной. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Частные производные высших порядков.
   
3. 
   Дифференцируемость ФНП: определение, необходимое (доказать) и достаточное (без доказательства) условия дифференцируемости ФНП.
   
4. 
   Дифференциал ФНП: определение, геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференциалы высших порядков.
   
5. 
   Частные производные и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Неинвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.
   
6. 
   Неявные функции: теорема существования, дифференцирование неявно заданных функций одной и нескольких переменных.
   
7. 
   Производная по направлению: определение, физический смысл, вычислительная формула.
   
8. 
   Градиент: определение, свойства.
   
9. 
   Экстремум ФНП: определение экстремума и точки экстремума, необходимое и достаточное условия экстремума.
   
10. 
    Условный экстремум: определение, нахождение.
    
11. 
    Первообразная: определение, достаточное условие существования первообразной, теорема о количестве первообразных.
    
12. 
    Неопределенный интеграл: определение, основные свойства неопределенного интеграла, основные методы интегрирования.
    
13. 
    Рациональные дроби: определение правильной и неправильной рациональной дроби, определение простейших рациональных дробей, интегрирование простейших рациональных дробей
    
14. 
    Интегрирование рациональных дробей: основная теорема алгебры рациональных функций, метод неопределенных коэффициентов.
    
15. 
    Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.
    
16. 
    Интегрирование некоторых иррациональностей.
    
17. 
    Определенный интеграл: определение, физический и геометрический смысл, условия существования, основные свойства.
    
18. 
    Определенный интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
    
19. 
    Геометрические приложения определенного интеграла.
    
20. 
    Приближенное вычисление определенных интегралов.
    
21. 
    Несобственные интегралы I и II рода: определение, сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы, геометрический смысл сходящихся несобственных интегралов. Признаки сходимости.
    
22. 
    Интегралы, зависящие от параметра: определение собственного и несобственного интеграла, зависящего от параметра, его непрерывность и дифференцируемость по параметру.
    
23. 
    Числовые ряды: определение числового ряда, его суммы, сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
    
24. 
    Знакоположительные и знакоотрицательные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный).
    
25. 
    Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о знакочередующемся ряде. Условная и абсолютная сходимость. Обобщение признака Даламбера и Коши. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля.
    
26. 
    Функциональные ряды: определение, область сходимости функционального ряда. Сумма функционального ряда.
    
27. 
    Равномерная сходимость функциональных рядов: определение, признак Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, свойства равномерно сходящихся рядов.
    
28. 
    Степенной ряд: определение, теорема Абеля и ее следствие, радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов.
    
29. 
    Разложение функций в степенные ряды: ряд Тейлора и Маклорена, условия разложения функции в ряд Тейлора. Ряды Маклорена функций , , , , , (вывод).
    
30. 
    Тригонометрический ряд: определение, ряд Фурье для функций с периодом , ряд Фурье для четных и нечетных функций. Достаточные условия разложимости периодических функций в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на интервале или .
    
31. 
    Интеграл Фурье. Достаточные условия представления функции в виде интеграла Фурье. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Представление интегралом Фурье функций, заданных на полуоси.
    

Упражнения

1. 
   Найти , если , . Сделать вывод об инвариантности формы дифференциалов высших порядков ФНП.
   
2. 
   При каком условии интеграл представляет собой рациональную функцию?
   
3. 
   При каком условии интеграл () представляет собой алгебраическую функцию?
   
4. 
   В каком случае интеграл представляет собой элементарную функцию (ℕ или ).?
   
5. 
   Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов и (ℕ и ).
   
6. 
   Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов и (ℕ и ).
   
7. 
   Получить рекуррентную формулу для вычисления интегралов и (ℕ и ).
   
8. 
   Получить рекуррентную формулу для вычисления интеграла (ℕ).
   
9. 
   Вывести формулу:
   

,

где , – некоторые числа (выразить их через ,,).

10. 
    Вывести формулу:
    

,

где ,, – некоторые числа (выразить их через ,,), (ℕ или ).

11. 
    Доказать, что определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых.
    
12. 
    Доказать, что если на , то .
    
13. 
    Получить рекуррентные формулы для вычисления интегралов , и (ℕ и ).
    
14. 
    Показать, что если – функция периодическая с периодом , то не зависит от (Подсказка: докажите, что он равен при любом ).
    
15. 
    Докажите, что если функция – нечетная и периодическая с периодом , то также является периодической функцией с тем же периодом (Подсказка: используйте тот факт, что для периодической функции с периодом не зависит от ).
    
16. 
    Показать, что если функция нечетная, то – функция четная. Будет ли – нечетной, если – четная?
    
17. 
    Доказать, что . Найдите производные:
    

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

18. 
    Найти производную по от функции заданной
    

а) неявно: .

б) параметрически: , .

19. 
    Найти пределы:
    

а) ; б) .

20. 
    Найдите длину линии, заданной уравнением .
    
21. 
    Найдите длину дуги линии , от начала координат до ближайшей точки с вертикальной касательной.
    
22. 
    Доказать, что сумма сходящегося и расходящегося ряда – расходящийся ряд.
    
23. 
    Доказать признак Коши сходимости знакоположительного ряда.
    
24. 
    Доказать, что если ряды и сходятся абсолютно, то их линейная комбинация – абсолютно сходящийся ряд.
    
25. 
    Доказать, что если ряд сходится абсолютно, а ряд сходятся условно, то их линейная комбинация – условно сходящийся ряд.
    
26. 
    Доказать, что если ряды и сходятся, и для любого имеет место равенство , то ряд – тоже сходится (Подсказка: рассмотреть неравенство ).
    
27. 
    Доказать, что если ряд сходится, то ряд – тоже сходится. Показать, что обратное неверно.
    
28. 
    Доказать, что если ряды и сходятся, то ряд – тоже сходится (Подсказка: доказать и использовать неравенство ).
    
29. 
    Доказать, что если ряды и сходятся, то ряд – тоже сходится.
    
30. 
    Пусть знакоположительные ряды и расходятся. Что можно сказать о сходимости рядов и ?
    
31. 
    Доказать, что если ряд сходится равномерно на отрезке , то ряд тоже сходится равномерно на этом отрезке.
    
32. 
    Доказать, что если ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно для любого .
    
33. 
    Если ряд имеет радиус сходимости , а ряд – радиус сходимости , то какой радиус сходимости имеют ряды а) ; б) ?
    
34. 
    Доказать признак Абеля.
    
35. 
    Функция удовлетворяет условиям:
    

а) , ;

б) , .

Какие из ее коэффициентов Фурье равны нулю?