Геометрическая прогрессия.

1. 
   Определение: Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число g, называется геометрической прогрессией. Число g называется знаменателем геометрической прогрессии.
   

Обычно геометрическую прогрессию обозначают ().

или

2. 
   Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0, g1, и убывающей последовательностью, если 0, . Если g=1, то все члены прогрессии равны между собой; прогрессия является постоянной последовательностью.
   

3. 
   Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
   

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной геометрической прогрессии) равен произведению предшествующего и последующего членов.

т.е. модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего.

4. 
   Формула n-го члена геометрической прогрессии
   

5. 
   Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению равностоящих от него членов, т.е.
   

6. 
   В конечной геометрической прогрессии произведения членов, равностоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов прогрессии, т.е.
   

7. 
   Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
   

Упражнения с решениями.

1. 
   Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, у которой
   

Решение: Используя условия, получим систему двух уравнений

Откуда

Следовательно

2. 
   При каком х числа 10х+7, 4х+6, 2х+3 образуют геометрическую прогрессию?
   

Решение: Воспользуемся характеристическим свойством геомет- рической прогрессии.

Упростив, получим , откуда х=2,5 или х=-1,5.

Если х=2,5, то 32;16;8 –геометрическая прогрессия.

Если х=-1,5, то –8;0;0 – это не геометрическая прогрессия.

Ответ: 2,5

3. 
   Известно, что первый член геометрической прогрессии, знаменатель которой – натуральное число, равен 5, а разность между утроенным вторым членом прогрессии и половиной –третьего ее члена больше 20. Найти знаменатель прогрессии.
   

Решение: По условию Тогда получим

и

Решив неравенство, получим Но интервалу (2;4) принадлежит только одно натуральное число 3. Значит g=3.

Ответ: 3.

4. 
   Третий член геометрической прогрессии равен 4. Найти произведение ее первых пяти членов.
   

Решение: По условию . Надо найти

Т.к. то

5. 
   Произведение первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
   

Решение: Составим систему уравнений, основываясь на условие задачи.

Разделим, левые и правые части уравнений друг на друга

1) g=4 2) g= не подходит по условию задачи, так как геометрическая прогрессия должна быть возрастающей.

Итак, g=4. Тогда .

Ответ: , g=4.

6. 
   Пусть и - корни уравнения f(х)=A, и - корни уравнения g(х)=В. Известно, что ,, , составляют геометрическую прогрессию, все члены которой положительны. Найти А и В, если f(х)=, g(х)= .
   

Решение: Из условия и - корни уравнения =А.

и - корни уравнения =В.

Тогда

Так как ,, ,геометрическая прогрессия, то (*)

Из условия + =9 получим (1+g)=9 g=-1

Из условия + =36 получим (1+g)=36 g=-1

Значит -1=-1 =4

Подставим в *

Так как все члены геометрической прогрессии положительны, то g=2. Получим далее =3,=6, =12,=24 и

Ответ: А=18; В=288.

7. 
   Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
   

Решение: Пусть - члены арифметической прогрессии. Тогда - члены геометрической прогрессии. В результате получаем систему уравнений

Второе уравнение получили на основании характеристического свойства геометрической прогрессии.

Выразив все величины через и d, получим:

Откуда получим 1) d=6, =4. 2) d=-6, =16 и эти числа будут 4;10;16 или 16;10;4.

Задачи.

1. 
   Найти а) , если
   

б) , если

в) , если

г) , если

2. 
   В геометрической прогрессии =3;=12; =3072. Найти n.
   
3. 
   Найти члены геометрической прогрессии, если разность первого и второго членов равна 35, а разность третьего и четвертого членов равна 560.
   
4. 
   Дана геометрическая прогрессия –4; ; -36; . Найти ,и .
   
5. 
   Произведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 8, а их сумма равна 7. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии.
   
6. 
   В геометрической прогрессии сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов 102. При каком значении n сумма первых n членов прогрессии равна 3069.
   
7. 
   Найти сумму первых шести членов возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых четырех ее членов равна 15, а сумма их квадратов равна 85.
   
8. 
   В геометрической прогрессии сумма первых семи членов равна 14, а сумма первых четырнадцати равна 18. Найти сумму всех членов прогрессии с пятнадцатого по двадцать первого включительно.
   
9. 
   Найдите геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых равна 112, а трех последних 14.
   
10. 
    Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии.
    
11. 
    Верно ли, что , если известно, что а, в, с –три последовательных члена геометрической прогрессии?
    
12. 
    Пусть и - корни уравнения , а и - корни уравнения . Известно, что последовательность ,, , является возрастающей геометрической прогрессией. Найти А и В.
    
13. 
    В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение второго и предпоследнего членов равна 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогрессии.
    
14. 
    Сумма трех положительных чисел, составляющих арифметическую , равна 15. Если ко второму из них прибавить 1, к третьему 5, а первое оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти произведение исходных трех чисел.
    
15. 
    Докажите, что если числа а, в и с составляют геометрическую прогрессию, тог верно равенство (а+в+с)(а-в+с)=.
    
16. 
    Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию равна 42. Если из первого числа вычесть 1, второе оставить без изменения, а из третьего вычесть 17, то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.
    
17. 
    Найти знаменатель убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трех членов этой прогрессии равна 7, а сумма обратных величин этих членов 1,75.
    
18. 
    Три натуральных числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член увеличить на 8, то геометрическая прогрессия обратится в арифметическую, но если затем третий член будет увеличен на 64 , то она опять обратиться в геометрическую прогрессию. Найдите сумму этих трех чисел.
    
19. 
    Взяли три числа, которые образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Заметим, что если второе число увеличить на 2, а первое и третье оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Какие три числа были взяты сначала?
    

Ответы:

1. 
   1.а) –0,0625; б) 12; в) 10,23;г) 15,5.
   
2. 
   n=6
   
3. 
   1) 7;-28;112;-448 2)
   
4. 
   1) –12;-108;-324 2) 12;108; 324.
   
5. 
   g или
   
6. 
   n=10
   
7. 
   63
   
8. 
   
   
9. 
   64;32;16;8;4;2.
   
10. 
    121
    
11. 
    Да
    
12. 
    А=2; В=32
    
13. 
    6 членов
    
14. 
    105
    
15. 
    –
    
16. 
    2;8;32 или 32;8;2.
    
17. 
    0,5
    
18. 
    52
    
19. 
    4;8;16