ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1.Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти всі такі п’ятицифрові числа.

Розв’язання:

Оскільки , то шукані числа мають ділитися на 8 і на 9, бути обов’язково парними. Сума цифр шуканого числа має бути 9 або 18 і число утворене останніми цифрами має ділитися на 8. Отже, останні три цифри числа утворюють 112 , 160 або 016. Шукані числа 14112; 41112; 11160; 11016.

Відповідь: 14112; 41112; 11160, 11016.

2. Скільки різних правильних дробів і неправильних дробів можна скласти з чисел 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23?

Розв’язання:

З числом 3 в чисельнику за допомогою заданих чисел можна скласти 7 різних правильних дробів. Аналогічно з числами 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 в чисельнику за допомогою заданих чисел можна скласти 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 відповідно правильних дробів. Отже, всіх різних правильних дробів 7+6+5+4+3+2+1=28. Аналогічно можна підрахувати кількість неправильних дробів, врахувавши дроби у яких чисельник і знаменник рівні.
Відповідь: правильних дробів 28; неправильних дробів 36 (якщо врахувати, що деякі з них становлять 1, то правильною можна вважати відповідь і 29).
3. Малюк може з’їсти торт за 10 хвилин, банку варення – за 8 хвилин і випити горщик молока за 12 хвилин, а Карлсон може це зробити за 2 хв, 3 хв, 4 хв відповідно. За який час вони разом можуть з’їсти торт, банку варення і випити горщик молока?

Розв’язання:

Малюк за 1 хв з’їдає торта, а Карлсон - торта. Разом вони за 1 хв з’їдять торта. Тоді цілий торт вони з’їдять за хв..

Малюк за 1 хв з’їдає банки варення, а Карлсон за 1 хв з’їдає банки варення. Вони разом за 1 хв з’їдять банки варення. Тоді банку варення вони хв з’їдять за хв.

Малюк за 1 хв вип’є горщика молока, а Карлсон - . Вони разом за 1 хв вип’ють горщика молока, а цілий горщик вони вип’ють за хв.

Отже, разом вони можуть з’їсти торт, банку варення і випити горщик молока за хв.

Відповідь: хв.

4.Куб пофарбували з усіх боків, а потім розрізали на 1000 рівних кубиків. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані ? У скількох кубиках не пофарбована жодна грань?

Розв’язання:
1) 8 кубиків мають 3 пофарбовані грані (у вершинах великого куба).

2) непофарбованих кубиків

Відповідь: 8 кубиків мають 3 пофарбовані грані; 512 непофарбованих кубиків

5. Сім гномів зібрали 29 грибів, причому жоден не приніс порожнього кошика. Довести, що хоча б двоє гномів зібрали однакову кількість грибів, якщо ніхто більше 7 грибів не знайшов.

Розв’язання:
Припустимо, що всі гноми зібрали різну кількість грибів. Тоді вони разом зібрали: 1+2+3+4+5+6+7=28, а за умовою 29 грибів. Отже, ще один гриб знайшов один з гномів, і тоді у двох гномів однакова кількість грибів.
ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1. 
   Знайти всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8,5 раза, якщо між цифрами вписати 0.
   

Розв’язання:

,

, , .

Враховуючи, що та , отримаємо, що

Отже, шукані числа 12, 24,36,48.

Відповідь: 12, 24,36,48

2. Знайти останню цифру числа

Розв’язання:

Число 33 при піднесенні до степеня може закінчуватись цифрами 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,… . Отже, число 33 буде закінчуватись цифрою 9. Аналогічно, можна довести, що число закінчується цифрою 8. Тоді число закінчується цифрою 7.

Відповідь: 7

3. Витративши половину всіх коштів, учень побачив, що гривень в нього залишилось вдвічі менше, ніж спочатку було копійок, і стільки копійок, скільки на початку було гривень. Скільки грошей витратив учень, якщо копійок у нього було менше 100?
Розв’язання:

Нехай учень на початку мав х гривень і у копійок. За умовою задачі у нього залишилось гривень і х копійок. Тому .

Враховуючи, що і числа 98 і 99 взаємно прості, отримуємо, х=99, у=98.

Відповідь: учень витратив 49 гривень 99 копійок.

4. Довести, що добуток п’яти послідовних цілих чисел ділиться на 120.
Розв’язання:

Розглянемо добуток , де n –ціле число. Серед п’яти послідовних цілих чисел знайдеться одне число, яке ділиться на 5.Тому добуток ділиться на 5. Серед 4 послідовних цілих чисел знайдеться одне число, яке ділиться на 4, але два з цих чисел парні. Тому добуток ділиться на 8. Серед 3 послідовних цілих чисел знайдеться одне число, яке ділиться на 3.

Тому добуток ділиться на 3. Отже число ділиться на = 120, що і треба було довести.
5. Вся площина розмальована в чотири кольори. Чи обов’язково знайдеться пряма, яка містить принаймні три точки різного кольору?
Розв’язання:
Розглянемо чотири точки різного кольору. Якщо три з них лежать на одній прямій, то це і є шукана пряма. Якщо жодні три точки не лежать на одній прямій, то вони утворюють чотирикутник. Розглянемо точку перетину прямих, що містять діагоналі цього чотирикутника, якого б кольору вона не була, одна із діагоналей є шуканою прямою.

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1.Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати те саме двоцифрове число, то одержане чотирицифрове число буде більше від початкового числа у 77 разів. Знайти це двоцифрове число.

Розв’язання:

. Тоді , де , a =1, b=5.

Відповідь: 15.

2. 
   Розв’язати рівняння:
   

Розв’язання:
Відмітимо, що , то. Тому рівняння має вигляд . Якщо , то 7-3х = х-1, х = 2.

Якщо , то .

Відповідь: 2; 3.

3. 
   Доведіть, що число є складеним.
   

Вказівка: 8000000000027==…
4. Микола з сином і Петро з сином були на рибалці. Микола спіймав стільки ж риб, скільки і його син, а Петро – втроє більше, ніж його син. Всього було спіймано 25 риб. Як звати сина Петра?

Розв’язання:

Нехай син Миколи спіймав х рибин. Тоді і Микола спіймав х рибин. Нехай син Петра спіймав у рибин. Тоді Петро сіймав 3у рибин. Отже, всього рибин , що неможливо. Виходячи з цього на рибалці Були дід, син і внук. Нехай Петро –син Миколи. Тоді це теж неможливо. Отже, Микола син Петра. Тому, . З цього випливає, що на рибалці були: син Миколи (спіймав 5 рибин), Микола-син Петра(спіймав 5 рибин), Петро (спіймав 15 рибин).

Відповідь: Микола.

5. Дві висоти ромба, проведені з вершин його тупих кутів перетинаються і точкою перетину поділяються у відношенні 1:2. Визначити кути ромба.
Розв’язання:

У ромбі висоти рівні. BE=KD. За умовою ВО:ОЕ=2:1, ОD:ОК= 2:1.

КО=ОЕ=. - прямокутний, ∠K = . Отже, ∠КВО = (за властивістю катета, що лежить проти кута в ).

Тоді ∠ABC =, ∠A = , ∠A = ∠C= , ∠B = ∠D= .

Відповідь: і

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1.Садівник повинен протягом трьох днів посадити 10 дерев. Скількома способами він може розподілити за днями свою роботу, якщо буде висаджувати не менше одного дерева в день?

Розв’язання:

Якщо в перший день посаджено 1 дерево, то таких варіантів 8, якщо 2 дерева - то варіантів 7, якщо 3 - то таких варіантів 6, якщо 4 дерева - то таких варіантів 5, якщо 5 дерев - то таких варіантів 4, якщо 6 дерев - то таких варіантів 3, якщо7 дерев - то таких варіантів 2, якщо 8 дерев - то таких варіантів 1. Отже, всіх варіантів 8+7+6+5+4+3+2+1=36.

Відповідь: 36.
Спростити вираз: .
Розв’язання:

=
=

3. Числа x і y такі, що виконується рівність: .

Знайти значення виразу .

Розв’язання:

,: , ;


;

,
.

4. Скільки розв’язків має рівняння залежно від параметра а ?

Розв’язання:
Вказівка: Побудуємо графікі функцій:

Зрозуміло, що рівняння матиме стільки розв’язків, скільки спільних точок мають графіки функцій і .

Відповідь: порожня множина, якщо ; два корені, якщо 0< а<1, безліч коренів, якщо а=1.

5. У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 4 рази більша за висоту, проведену з вершини прямого кута. Знайти гострі кути трикутника.

Розв’язання:


За умовою . Проведемо медіану CM. Тоді , тому . У катет CH дорівнює половині гіпотенузи CМ. Звідси . - зовнішній кут , цей трикутник – рівнобедрений. Тому , а кут

Відповідь:

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1. Знайти суму коренів рівняння .

Розв’язання:

1. 
   Корені даного рівняння існують. (учні мають обгрунтувати існування коренів рівння.)
   
2. 
   Так як функція -парна, то корені рівняння =0 протилежні числа, значить їх сума дорівнює нулю.
   

2. Довести, що ділиться без остачі на 133, де .

Розв’язання:
При ;

При ;

При

3. Знайти лінію, яку описує вершина параболи ,

якщо m набуває всіх дійсних чисел.

Розв’язання:

Вершина параболи, має координати:

,
, а m=x+3.

Тоді .

Вершина параболи описує лінію , параболу.

4. Дано трапецію основи якої а і 3а, бічні сторони 2а. Знайти відстань між центрами вписаного та описаного кіл.

Розв’язання:

Оскільки трапеція рівнобічна, то навколо неї можна описати коло.

Оскільки суми протилежних сторін рівні, то в трапецію можна вписати коло.

1.Виконаємо додаткову побудову. MN ║AB, MK║CD.

- рівносторонній із стороною 2а. Його висота .

.

2.

.

,

,

.

Нехай - центр описаного кола.

.

Порівняємо: і h

- в середині трапеції.

Відповідь:

5. На дощці записано рівняння . Два гравці по черзі вписують на вільних місцях цілі числа – коефіцієнти рівняння (за один хід можна вписати тільки одне число, хід пропускати не можна). Перший гравець виграє в тому випадку, якщо всі корені рівняння - цілі числа. Чи існує виграшна стратегія? Відповідь поясніть.

Розв’язання:

Перший гравець на останнє пусте місце ставить число 0. Після ходу другого гравця можна підібрати число, що залишилося, використовуючи теорему Вієта. Виграє перший гравець.
ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6. 
   клас
   

1.Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:
.







, , , .

Відповідь: .

2. В арифметичній прогресії . При якому значенні різниці прогресії

(d<0) добуток буде найменшим ?

Розв’язання:
1. .

2.

3.

4. ,

5.
Відповідь:

3. 
   Довести, що вираз є точним квадратом при всіх цілих n.
   

Розв’язання:

4. Обчислити:

Розв’язання:

5. Знайти площу фігури, яка задається на координатній площині нерівностями:

Вказівка: В одній координатній площині побудувати шукану фігуру задану нерівностями:


Фігура симметрична відносно осі ОХ та ОУ.
, де або
Відповідь: кв.од.