Задача 4

Для заданного поперечного сечения (рис. 8), состоящего из двух частей, требуется найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции.

Исходные данные взять из таблицы 6.

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. 
   Геометрические характеристики для двутавра, швеллера и уголка выписать из таблиц сортамента, для полосы – рассчитать по формулам.
   
2. 
   Вычертить схему сечения в масштабе (на миллиметровке), на которой указать все оси и все размеры в числах.
   
3. 
   Найти общую площадь сечения.
   
4. 
   Определить положение центра тяжести сечения.
   
5. 
   Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести параллельно полкам.
   
6. 
   Определить угол наклона главных осей U и V к центральным осям. Вычертить главные центральные оси на заданном сечении.
   
7. 
   Вычислить моменты инерции относительно главных центральных осей.
   
8. 
   Проверить правильность вычисления моментов инерции.
   

Таблица 6

Номер строки	Схема сечения рис.	Швеллер (ГОСТ 8240-89)	Двутавр (ГОСТ 8239-89)	Равнополочный уголок (ГОСТ 8509-86)	Полоса, мм
1	1	14	12	80x80x8
2	2	16	14
3	3	18	16
4	4	20	18
5	5	22	20
6	6	24	22
7	7	27	24
8	8	30	27
9	9	33	30		20x280
0	10	36	33
	д	е	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

рис. 8

Пример 4. Поперечное сечение бруса состоит из швеллера № 20 и равнополочного уголка (рис. 9)

Т р е б у е т с я: определить положение главных центральных осей и вычислить главные моменты инерции.

Д а н о: из таблицы сортамента находим:

1. 
   Для швеллера N 20: А₁ = 23,4 см ², = 1520 см ⁴, = 113 см ⁴, = 0, координата центра тяжести = 2,07 см;
   
2. 
   Для уголка 125х125х12: А₂ = 28,9 см ⁴, = = 422 см ⁴, = 248 см ⁴, координата центра тяжести = 3,53 см.
   

Решение

1. 
   Найдем положение центра тяжести сечения. В качестве вспомогательных осей выбираем оси швеллера. Относительно этих осей статические моменты швеллера равны нулю. Статические моменты сечения относительно осей и соответственно равны
   

Площадь составного сечения: .

Координаты центра тяжести составного сечения относительно осей и :

Строим точку С с координатами х_с=3,09 см и у_с=3,57 см.

Центр тяжести С должен лежать на прямой С₁С₂, что необходимо проверить на рисунке. Через центр тяжести С проводим центральные оси и параллельные центральным осям швеллера и уголка. Находим расстояния между центральными осями , и собственными осями швеллера х₁, у₁ и уголка х₂, у_2.

для швеллера

для уголка

2. Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения относительно центральных осей и :

3. Находим угол наклона главных центральных осей U и V относительно центральных осей и :

Поскольку угол отрицательный, главная центральная ось U откладывается относительно оси по часовой стрелке, а поскольку , ось U является осью, относительно которой момент инерции будет максимальным.

4. Вычисляем главные центральные моменты инерции:

5. Проверка. Должны удовлетворяться условия:

- Главные моменты инерции должны быть экстремальны:

   , 2764  2483  940  659.

Если это неравенство не соблюдается, то в решении допущена ошибка.

- Сумма моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных центральных осей должна быть постоянна:

+ = +

2483 + 940 = 2764 + 659

3423 = 3423.

- Центробежный момент инерции площади сечения относительно главных центральных осей должен равняться нулю.

Относительная ошибка составляет , что допустимо.

Задача 5
Для консольной балки (рис. 10) требуется из расчёта на прочность определить размеры поперечных сечений для трёх вариантов (рис.11) и вычислить перемещения: прогиб свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки.

Исходные данные взять из таблицы 7.

П о р я д о к р а с ч е т а

1. 
   Вычислить расчётные значения нагрузок, приняв коэффициенты надёжности по нагрузке:
   

• 
  постоянной () –
  
• 
  временной () –
  

Вычислить расчётное сопротивление материала , приняв нормативное сопротивление , коэффициент надёжности по материалу взять из таблицы 7.

2. 
   Определить реакции жёсткой заделки от расчётных и нормальных нагрузок.
   
3. 
   Вычертите расчётную схему балки, указав числовые значения размеров и расчётных нагрузок.
   
4. 
   Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента и выявить опасное сечение балки.
   
5. 
   Из условия прочности по первому предельному состоянию определить расчётный момент сопротивления балки .
   
6. 
   По найденному моменту сопротивления определить размеры поперечного сечения балки для трёх вариантов. Вычертить полученные сечения в масштабе. Найти характеристики рациональности сечений и сделать соответствующие выводы.
   
7. 
   Записать для данной балки универсальные уравнения прогибов и углов поворота по методу начальных параметров.
   

Вычислить от нормативных нагрузок величину прогиба свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки. Принять модуль продольной упругости материала .

Таблица 7

Номер строки	Схема балки рис (10)	Варианты поперечных сечений рис (11)	а, м	, кН/м	, кН	n,
1	1	1, 14, 17	1,0	14	16	20	1,05
2	2	2, 8, 6	1,2	12	14	30	1,10
3	3	3, 10, 12	1,4	16	24	24	1,15
4	4	4, 14, 18	1,8	20	18	26	1,05
5	5	5, 8, 17	1,1	10	12	22	1,15
6	6	7, 9, 12	1,3	24	20	32	1,1
7	7	13, 11, 6	2,0	18	26	34	1,05
8	8	8, 16, 18	1,6	22	22	36	1,15
9	9	15, 2, 17	1,5	15	28	28	1,1
0	0	11, 1, 6	1,7	26	30	40	1,05
	е	д	г	е	д	б	а

1





6




2




7




3



8




4



9




5



0

Рис. 10

1






7





13





2





8






14





3





9




15




4





10




16





11

5









17





6



12



18

Рис. 11

Пример 5. Консольная балка (рис. 13 ) нагружена постоянной нагрузкой и и временной равномерно распределённой нагрузкой .

Т р е б у е т с я:

1. 
   Определить расчётные значения нагрузок и расчётное сопротивление материала.
   
2. 
   Определить реакции жёсткой заделки.
   
3. 
   Построить эпюры и .
   
4. 
   Определить размеры поперечных сечений для трёх вариантов (рис.12 )
   
5. 
   Вычислить удельный момент сопротивления полученных сечений и выбрать из них наиболее рациональное.
   
6. 
   Вычислить величину прогиба свободного конца балки и угол поворота сечения, находящегося на расстоянии 2а от заделки.
   

Д а н о: Размер а = 1,2 м. Нормативные нагрузки и соответствующие коэффициенты надёжности по нагрузке:

= 20 кН; n = 24 ; ;

= 18 кН/м; .

Нормативное сопротивление материала изгибу и коэффициент надёжности по материалу = 1,05 , коэффициент условий работы . Модуль продольной упругости материала . Варианты поперечных сечений балки:

рис.12

Решение

1. 
   Определение расчётных значений нагрузок и расчётного сопротивления материала R.
   

,

= ,

Рис.13

.

2. 
   Определение реакций жёсткой заделки
   

= 0, –_А– –, отсюда

–_А =

, ,

Вычислим реакции от расчётных нагрузок:

_А =


Реакции от нормативных нагрузок:

_А,

.

3. 
   Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил от расчётных нагрузок.
   

Разобьем балку на три участка. Запишем аналитические выражения и для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.

I участок,

(линейный закон),

при

при

Поперечную силу найдём, исследуя дифференциальную зависимость:

II участок,

(квадратная парабола),

при

при
(линейный закон)

при ,

при

III участок,

(квадратичная парабола).

при

при

(линейный закон)

при ,

при .

По найденным значениям и на каждом участке строим эпюры (рис.13). Опасное сечение балки находится возле заделки, где .

4. 
   Определение размеров поперечных сечений. Запишем условие прочности для опасного сечения по первому предельному состоянию:
   

,

откуда расчётный (требуемый) момент сопротивления сечения:

Найдём размеры сечений для трёх вариантов:

а) Осевой момент инерции и момент сопротивления данного сечения вычисляются по формулам:

,


Приравняв , найдём размер сечения:

.

Тогда площадь сечения .

б) ,
.

Приравняв , найдём диаметр:

.

Площадь сечения .

в) Требуемый момент сопротивления одного швеллера:

.

Из сортамента (ГОСТ 8240 – 89) выбираем швеллер № 33, для которого , , .

5. 
   Вычисление удельных моментов сопротивления полученных сечений:
   

а) ,

б) ,

в) .

Наиболее рациональным является сечение балки из двух швеллеров (вариант в), у которого при наименьшей площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение.

6. 
   Определение прогиба и угла поворота сечения методом начальных параметров.
   

Заметим, что перемещения определяются от нормативной нагрузки.

Помещаем начало координат на левом конце балки в заделке (рис.14). Продолжим (пунктиром) распределённую нагрузку до правого конца балки и покажем компенсирующую.

Очевидно, начальные параметры равны нулю: .

Запишем для участка CD универсальные уравнения прогибов

Рис. 14

и углов поворота, учитывая нагрузки, расположенные левее сечения :

_А, (1)

_А, (2)

Полагая в уравнении (1) , найдём прогиб свободного конца D балки, состоящей из двух швеллеров № 33.

_А
.
Знак минус означает, что точка D переместится вниз.

Полагая в (2) и учитывая в уравнении слагаемые соответствующие нагрузкам от начала координат до точки С, найдём угол поворота сечения:

_А

,

.

Знак минус означает, что сечение С повернётся по часовой стрелке.

Задача 6. Для шарнирно – опёртой двутавровой балки (рис. 15), требуется определить несущую способность и проверить прочность балки по касательным напряжениям. Принять для нагрузок соотношения . Исходные данные взять из таблицы 8

П о р я д о к р а с ч ё т а

1. 
   Вычертить в масштабе расчётную схему балки и её поперечное сечение.
   
2. 
   Выразить нагрузки в долях qa, с учётом значений коэффициентов и и проставить на расчётной схеме.
   
3. 
   Определить реакции опор и проверить их.
   
4. 
   Составить аналитические выражения и для каждого участка.
   
5. 
   Построить эпюры поперечной силы и изгибающих моментов и найти их расчётные (наибольшие) значения.
   
6. 
   Из условия прочности по нормальным напряжениям определить расчётную нагрузку q (несущую способность балки). Принять расчётное сопротивление материала изгибу R = 210 МПа; коэффициент условий работы .
   
7. 
   По найденной нагрузке q выполнить проверку прочности балки по касательным напряжениям. Принять расчётное сопротивление материала сдвигу Rs = 130 МПа; . Таблица 8
   

Номер строки	Схема балки рис.	, м	Расстояние в долях пролета		Двутавр ГОСТ 8239-89
1	1	3	1	1	24	1,2	2,0
2	2	4	2	2	33	1,3	2,1
3	3	5	3	3	40	1,4	2,2
4	4	6	4	4	50	1,5	2,3
5	5	7	5	5	55	1,6	2,4
6	6	4	6	1	30	1,7	2,5
7	7	3	7	2	27	1,8	2,2
8	8	6	8	3	45	1,9	2,4
9	9	8	9	4	60	2,0	2,3
0	0	5	10	5	36	1,6	2,5
	д	е	г	д	е	г	д

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

Рис.15
Пример 6. Шарнирно-опертая двутавровая балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, силой F=1,2 qa и моментом =2,4 qa².

Т р е б у е т с я:

1. 
   Определить реакции опор в долях qa и проверить их.
   
2. 
   Построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_x и найти их расчетные (наибольшие) значения.
   
3. 
   Определить несущую способность балки q из условия прочности по нормальным напряжениям.
   
4. 
   Проверить прочность балки по касательным напряжениям при найденной нагрузке q.
   

Д а н о: Длина пролета балки , Сечение балки двутавр №30а. Расчетное сопротивление материала на изгиб R=210 МПа, на срез R_S=130 МПа, коэффициент условий работы

Из сортамента (ГОСТ ) для двутавра №30а находим: W_x=518 см³, I_x=7780 см⁴, статический момент полусечения S_x=292 см³, толщина стенки s=6,5 мм.

Решение

Вычерчиваем расчетную схему (рис. 16 а).

Рис. 16

1.Определение реакций опор. Запишем уравнения равновесия.

Проверка:

2. Построение эпюр М_х и Q_y. Разобьем балку на три участка и составим аналитические выражения изгибающего момента М_х и поперечной силы Q_y.

I участок,

II участок,

При изгибающий момент имеет наибольшее значение:

III участок,

По найденным значениям M_x и Q_y строим эпюры (рис. 16 б, в). По эпюрам находим:

3. 
   Определение несущей способности балки.
   

Запишем условие прочности по нормальным напряжениям

или

откуда

.

4. 
   Проверка прочности балки по касательным напряжениям.
   

Условие прочности:



а

Сравниваем а,

т.е. прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.

Ответ: несущая способность балки q=20,45