РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ИМЕНИ М.В. КЕЛДЫША

А.М. Лашин

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

ПРИ НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИЗАЦИИ МЕТАЛЛА
В ПЕРЕОХЛАЖДЁННЫЙ РАСПЛАВ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ
ФАЗОВОГО ПОЛЯ

Москва, 2001

An investigation of the dynamics of first-order phase transition

during the directional solidification of a pure metal

into an undercooled melt on the base of phase-field model

A.M. Lashin

Inst. of Appl. Math. of the Russian Acad. of Sciences, Moscow

Abstract
The paper presents the continual exothermical model of the first-order phase transition based on the time-dependent Landau-Ginzburg equation and the equation of energy conservation (phase-field model). Thermodynamical consistence of the model and it applicability to describe a solidification process are discussed. The comparison of exact solutions of Stefan problem of planar-front solidification process with numerical solutions of phase-field model obtained using adaptive grid technique is performed. The numerical results of solidification process of the metal into supercooled melt are analyzed.

Аннотация

В настоящей работе рассматривается континуальная экзотермическая модель фазового перехода первого рода на основе временного уравнения Ландау-Гинзбурга и уравнения сохранения энергии – модель фазового поля. Обсуждается термодинамическая согласованность модели и её применимость для описания процесса кристаллизации чистого металла. Проводится сравнение автомодельного и квазистационарного решений задачи Стефана для плоского фронта направленной кристаллизации металла в переохлаждённый расплав с численными решениями модели фазового поля, полученными методом динамической адаптации. Анализируются результаты численных экспериментов кристаллизации металла при гиперохлаждении расплава.

Содержание

Введение…...........................................……........................................………..….....2

§1. Континуальное описание фазовых переходов. Уравнения модели……..5

§2. Постановка задачи для плоского фронта кристаллизации...…….……..10

§3. Разностная схема и алгоритм адаптации сетки к решению.….........…...12

§4. Результаты тестовых расчетов.................................................…...………14

§5. Анализ результатов моделирования динамики плоского фронта

кристаллизации при гиперохлаждении расплава……………………......17

Заключение.…...........................................................................................……….…18

Литература……….........................................................................................….……19

Введение
Фронт кристаллизации металла является фазовым переходом первого рода. Модель процесса кристаллизации чистого металла, в которой фазовый переход рассматривается в приближении подвижной межфазной поверхности, известна как задача Стефана [1]. Задача Стефана состоит из уравнений теплопроводности в жидкой и твердой фазах (уравнений сохранения энергии)

(1)

и двух граничных условий на подвижной поверхности разделяющей фазы: уравнения Стефана (уравнения баланса тепла)

(2)

и уравнения, определяющего отклонение температуры межфазной границы от равновесной температуры фазового превращения - граничное условие Гиббса-Томсона [2,3]

(3)

где -безразмерная температура, скорость межфазной поверхности, -температуропроводность среды, -коэффициент теплопроводности, -теплоёмкость и скрытая теплота фазового превращения единицы объёма, -капилярная длина (капилярная постоянная), , плотность энергии поверхностного натяжения, - кинетический коэффициент роста, - средняя кривизна межфазной поверхности, единичный вектор, нормальный к межфазной поверхности и направленный из твёрдой фазы в жидкую. В классическом варианте задачи Стефана отклонение температуры межфазной поверхности от равновесной температуры из-за кривизны и кинетическое (динамическое) переохлаждение поверхности не учитываются, т.е., и на фазовом переходе выполняется условие локального термодинамического равновесия

. (4)

При кристаллизации металла в переохлаждённый расплав, температура расплава изначально ниже равновесной температуры , т.е. расплав находится в метастабильном состоянии. В одномерном случае (плоский фронт кристаллизации) для неограниченной области для задачи (1)-(3) известно интегральное уравнение для скорости межфазной границы [4]. При невысокой степени переохлаждения расплава и граничных условиях

,

показано [4], что решение задачи (1)-(3) при асимптотически стремиться к хорошо известному автомодельному решению классической задачи Стефана (одностороннее автомодельное решение) кристаллизации в переохлажденный расплав

,

(5)

где (6)

а является решением трансцендентного уравнения

(7)

Постоянная - определяет начальные условия задачи, соответствующие решению (5). Решение (5),(6) физически означает, что скрытое тепло, которое выделяется при движении фронта кристаллизации, разогревает переохлажденный расплав перед фазовым переходом, и твердая фаза образуется при равновесной температуре фазового превращения . Такой режим кристаллизации носит название диффузионного.

При высокой степени переохлаждения расплава (гиперохлаждении) теплоты фазового перехода уже недостаточно, чтобы разогреть расплав до равновесной температуры фазового превращения и, как следствие, задача Стефана в классической постановке (1), (2), (4) решения не имеет. Твердая фаза, образующаяся в таких условиях кристаллизации, имеет температуру ниже равновесной и граничное условие (4) модифицируется в условие (3) введением поправки, учитывающей кинетическое переохлаждение. Величина кинетического переохлаждения межфазной поверхности связана со скоростью перемещения этой поверхности в уравнении (3) линейным образом посредством кинетического коэффициента . Линейная зависимость справедлива при нормальном механизме роста кристаллов из расплава [5,6,8,9] и наблюдалась экспериментально [7]. Одномерная модифицированная задача Стефана (1) - (3) кристаллизации в гиперохлажденный расплав с граничными условиями

имеет квазистационарное решение

(8)

,

где а постоянная определяет начальные условия, соответствующие решению (7). Поверхность фазового перехода движется с постоянной скоростью,, которая определяется исключительно кинетическим коэффициентом и глубиной переохлаждения расплава. Такой режим кристаллизации принято называть кинетическим.

Большое количество работ [11-22] посвящено исследованию морфологической устойчивости межфазной поверхности при кристаллизации металла в переохлажденный расплав на основе модели (1)-(3). Результаты линейного анализа [11-18] показывают, что при невысоком переохлаждении плоский фронт кристаллизации является неустойчивым, несмотря на стабилизирующее влияние поверхностного натяжения, и межфазная поверхность имеет дендритную структуру. При высокой степени переохлаждения расплава кинетическое переохлаждение межфазной границы препятствует развитию морфологической неустойчивости, и фазовый переход может быть ячеичестой поверхностью или плоскостью [12,13]. Эти результаты позволяют объяснить на качественном уровне некоторые экспериментально-наблюдаемые закономерности [53].

Численное исследование морфологии фронта кристаллизации на основе модели (1)-(3) является весьма непростой задачей, поскольку требует разработки специальных алгоритмов для явного вычисления формы межфазной поверхности. В двумерной геометрии расчеты проводились на основе метода деформируемых конечных элементов [19,20], методом граничных элементов [21], а при расчетах на неподвижной сетке для явного вычисления формы межфазной поверхности решалось эволюционное уравнение, типа уравнения поверхности Гамильтона-Якоби, линия нулевого уровня которой и представляет собой подвижную межфазную границу [22]. Сравнения результатов численного моделирования с имеющимися экспериментальными наблюдениями показали, что для адекватного описания роста дендритной структуры необходимо учитывать анизотропию энергии поверхностного натяжения и кинетического коэффициента, т.е. зависимость этих параметров от пространственной ориентации осей симметрии растущей кристаллической фазы. Наряду с развитием и совершенствованием модели процесса кристаллизации Стефановского типа (1)-(3), в последнее время интенсивно разрабатывается другая, более общая модель фазовых переходов первого рода - так называемая модель фазового поля [10,23-36].

В данной работе обсуждается термодинамическая согласованность уравнений модели фазового поля для кристаллизации чистого металла, формулируются граничные условия при кристаллизации в переохлажденный расплав, рассматривается разностная схема для численного решения уравнений модели на сетке, динамически адаптирующейся к решению, проводится сравнение результатов тестовых расчетов с решениями (5), (8) модели (1)-(3) при различных параметрах, исследуется зависимость скорости движения фазового перехода от величины переохлаждения расплава.

§1. Континуальное описание фазовых переходов. Уравнения модели.

В континуальных моделях [23,24,28,29,31] неравновесных термодинамических систем, предполагается, что состояние системы определяется не только плотностью и температурой , но и пространственно-неоднородным полем дополнительного внутреннего безразмерного параметра системы (или нескольких параметров), характеризующих отклонение системы от равновесия [38,45]. Процесс релаксации в таких моделях рассматривается как эволюция этого параметра. В моделях фазовых переходов таким релаксационным параметром является параметр порядка. Оставаясь на термодинамическом уровне рассмотрения фазового перехода как неравновесной системы, можно дать лишь физическую интерпретацию параметра порядка, а точное его определение возможно в рамках микроскопических теорий фазовых переходов [48-51]. В континуальных моделях фазовый переход уже не является поверхностью, как в модели Стефановского типа, а представляет собой межфазную область конечной протяженности. Параметр порядка меняется непрерывным образом по ширине этой области, описывая внутреннюю структуру фазового перехода, а в дали от неё имеет постоянную величину, соответствующую фазе.

Предполагается далее, что в неравновесном состоянии термодинамический потенциал (свободная энергия Гиббса), системы определен [45] и его плотность задается функционалом Ландау-Гинзбурга [39-41] Кана-Хиллиарда [42,43]

(9)

Система рассматривается при постоянном давлении. Изменение плотности на фазовом переходе не учитывается, хотя рассматриваемая модель обобщается на этот случай [31]. Для двухфазной системы, функция при постоянной температуре представляет собой модельный потенциал с двумя “ямами” (рис. 1), иногда его называют синергетическим потенциалом.

Точки экстремумов потенциала

определяют устойчивые однородные (гомогенные) состояния системы при постоянной температуре и неустойчивое состояние .

Рис. 1
Как это видно из рис.1, при фаза (твердая) находится в стабильном состоянии, фаза (расплав) находится в метастабильном состоянии. При равновесной температуре фазового превращения , и как расплав, так и твёрдая фаза являются стабильными состояниями системы.

Плотность энтропии и энтальпии системы, соответствующие потенциалу (9), имеют вид

(10)

. (11)

Полагая теплоёмкость среды

величиной постоянной, независящей от , плотность энтальпии будет

, (12)

где - температурно-независимая часть энтальпии и - скрытая теплота фазового перехода единицы объёма.

В соответствии с первым началом термодинамики количество тепла, полученного единицей объёма системы , где - плотность внутренней энергии системы и при постоянной плотности. Предполагая кондуктивный механизм теплопереноса, т.е. закон Фурье для теплового потока

, (13)

тогда и учитывая, что

,

можно получить уравнение сохранения энергии (уравнение для температуры) континуальной модели

. (14)

Для вывода уравнения эволюции параметра порядка рассматривается изменение энтропиив произвольном объёме двухфазной системы с течением времени [29,31,34]

(15)

Поскольку из (14) следует соотношение

,

а из (11),(12)

,

учитывая так же, что

,

соотношение (15) преобразуется к виду

, (16)

где поверхность объёма . Используя (13), для уравнение (16) окончательно можно получить

. (17)

Интеграл в левой части (17) представляет собой поток энтропии через границу объёма , обусловленный теплопроводностью (плотность потока энтропии ) и движением фазового перехода (плотность потока энтропии [31]). Интеграл в правой части является источником энтропии в объёме . Производство энтропии обусловлено теплопереносом

и процессом релаксации системы к равновесию. Мощность релаксационного источника энтропии должна быть, в соответствии со вторым началом термодинамики, так же неотрицательна

. (18)

Наиболее простое уравнение, удовлетворяющее условию (18), которым описывается процесс релаксации двухфазной системы к равновесию, будет

(19)

Уравнение эволюции поля параметра порядка типа (19) известно как временное уравнение Ландау-Гинзбурга [44] или Кана-Хиллиарда [46,47], хотя подобное уравнение использовалось и раннее для описания эволюции неравновесных систем [38].

Свободная энергия Гиббса всей системы определяется функционалом

(20)

где объём, занимаемый системой. При адиабатических условиях на границе (отсутствие потока тепла и градиента параметра порядка) изменение свободной энергии с течением времени будет

(21)

где

(22)

вариационная производная функционала . В изотермическом случае из уравнения (21) с учетом (19),(22) следует

что находится в соответствии с известной теоремой об убывании свободной энергии адиабатически-изолированной системы при необратимом изотермическом процессе [45]. В состоянии равновесия свободная энергия системы достигает минимального значения и .

Неизвестные параметры модели в уравнение (19) можно связать с физически-измеряемыми свойствами системы, задавая плотность термодинамического потенциала в явном виде. Предполагая, что

где температурно-независимая часть плотности энтропии, для плотности термодинамического потенциала с учётом (11),(12) можно получить

следующая страница>