Это явление наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Условием резонанса напряжения является:
(1)
где Z представляет собой полное комплексное сопротивление цепи.
Исследование резонанса напряжений будем проводить на примере простейшей цепи с последовательным соединением r, L, C так называемого последовательного колебательного контура (Рис.1).
Комплексное сопротивление этой цепи равно:
В соответствии с (1) резонанс напряжений наступает цепи, если:
(2)
Из последнего выражения определяется так называемая резонансная частота, то есть частота, при которой в рассматриваемой цепи возникает резонанс напряжений:
(3)
Выражение для амплитуды тока в последовательном колебательном контуре выглядит следующим образом:
В режиме резонанса напряжения , |Z| достигает минимума, равного r, а амплитуда тока достигает максимума и становиться равной I0:
В контурах с малыми потерями при 
амплитуда тока может достигать весьма больших усилений. Это и объясняет то обстоятельство, что рассматриваемый режим работы цепи получил название резонанса.
Комплексные амплитуды напряжения на индуктивности и емкости на резонансе соответственно равны:
(4)
Так как в режиме резонанса напряжения в соответствии с (2) индуктивное и емкостное сопротивления равны, то из (4) следует:
Что иллюстрируется векторной диаграммой, изображенной на рис.2:
Такое соотношение, которое устанавливается между 
и 
в режиме резонанса напряжений объясняет наличие термина «напряжений» в названии данного режима.
Следствием равенства , является тот факт, что напряжение на участке цепи L – C в резонансе напряжений:
Последнее равенство свидетельствует о весьма интересной картине, когда напряжение на отдельных элементах цепи (в данном случае на L и C) существует, а на участке цепи, содержащем их последовательное соединение равно нулю.
Таким образом, в режиме резонанса напряжений эквивалентная схема цепи, изображенной на рис.1, выглядит следующим образом (Рис.3).
Это же непосредственно следует из равенства (2), иллюстрирующее условие резонанса напряжений: реактивная часть комплексного сопротивления цепи в этом случае обращается в ноль.
Энергетические соотношения при резонансе напряжений
Рассмотрим вопрос о распределении энергии между элементами электрической цепи Рис.1 в режиме резонанса напряжений.
Пусть в этом режиме ток в цепи выражается как:
Соответственно напряжение на емкости:
Мгновенные значения энергии магнитного и электрического полей соответственно равны:
(5)
Покажем что при резонансе напряжений максимумы энергии магнитного поля в индуктивном 
и электрического поля в емкости 
равны.
В самом деле рассмотрим разность:
Так как при резонансе напряжений 
вынесем за скобки 
:
(6)
В рассматриваемом режиме, как было показано выше, между величинами и существует соотношение: 
. Так как 
, а 
, из этого следует, что в резонансе напряжений 
. Принимая это во внимание, а так же, что 
, можно заключить, что как следует из (6)
,
что и доказывает искомое утверждение.
На рис.4 изображены зависимости величин WL и WC от времени t.
Как следует из рис.4 при резонансе напряжений происходит непрерывное перераспределение энергии (энергообмен) магнитного поля в индуктивности и энергии электрического поля в емкости. При этом суммарная энергия:
Таким образом, в режиме резонанса напряжений периодически происходит равный энергообмен между индуктивным и емкостным элементом, когда энергия, первоначально накоплена в контуре, «колеблется» между L и C , без участия в этом процессе источника. При этом вся электрическая энергия, поступающая в цепь в режиме резонанса напряжений, расходуется в сопротивлении. Для контура без потерь (r=0) в режиме резонанса в цепь не поступала бы энергия от источника.
Частотные характеристики последовательного колебательного контура
Комплексное сопротивление последовательного контура (рис.1) можно представить в следующем виде:
(7)
С другой стороны 
, а 
, где φ – фазовый сдвиг тока относительно приложенного напряжения. В соответствии с (7):
(8)
Последнее выражение называется фазо-частотной или фазовой характеристикой (ФЧХ).
Эта же зависимость представлена в виде графика φ(ω) на рис.5:
Зависимость φ(ω) обращается в ноль при ω=ω0, что полностью соответствует режиму цепи (резонанс напряжений), который иллюстрирует рис.3. Для ω<ω0 φ становиться отрицательной, что соответствует емкостному характеру цепи, а для ω>ω0 φ является положительной, что соответствует индуктивному характеру цепи.
Зависимость амплитуд тока и напряжений на емкости и индуктивности называют амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ).
Выражения для этих значений можно представить в следующем виде:
На рис.6 представлены зависимости этих величин от частоты:
Как и следовало ожидать, ток достигает максимума, равного 
, в режиме резонанса напряжений (ω=ω0). В этом же режиме UL= UC и ω стремиться к бесконечности. При ω стремящейся к нулю, ток стремиться к нулю. Это связано с тем обстоятельством, что в первом случае неограниченно возрастает емкостное, а во втором случае индуктивное сопротивление.
Из выражения (1) следует, что настройка контура в резонанс может достигаться за счет изменения частоты генератора, индуктивности или емкости элементов цепи. Первый вариант рассмотрен выше и иллюстрируется рис.5,6.
На рис.7 изображены зависимости тока в последовательном колебательном контуре от индуктивности и емкости цепи.
При значении 
цепь переходит в режим резонанса напряжений. Такая же ситуация происходит при 
.
Добротность последовательного колебательного контура
По определению добротность колебательного контура – это величина, которая определяется следующим выражением:
(9)
где Wmax – максимальная энергия, запасенная в контуре на резонансной частоте, P – мощность активных потерь при тех же условиях.
На резонансе напряжений 
. В то же время 
.
Таким образом, выражение для добротности контура приобретает следующий вид:
(10)
где 
получила название характеристического сопротивления контура.
Из выражения (10) следует, что добротность характеризует степень превышения реактивных сопротивлений 
и 
над активным сопротивлением r.
Учитывая что 
, а в соответствии с (10) получим:
(11)
Из (11) следует, что:
(12)
то есть добротность рассматриваемого контура определяется отношением напряжения на L или С при резонансе к величине приложенного к контуру напряжения.
На рис.8 изображены зависимости тока от частоты для двух последовательных колебательных контуров с одинаковой резонансной частотой и разными значениями добротности, причем Q1>Q2. Таким образом, как это следует из рис.8, добротность может характеризовать так же степень «остроты» резонансной кривой тока вблизи резонансной частоты в последовательном колебательном контуре.
Задача 1
В схеме электрической цепи рис.1 r=10 Ом L=1 Гн, С=1 мкФ. Определить резонансную частоту ω0, добротность контура Q, а так же амплитуду синусоидального напряжения на емкости UC, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение с амплитудой 10 мВ на резонансной частоте.
Решение:
В соответствии с (3) резонансная частота контура 
рад/с. В соответствии с (12) амплитуда напряжения на емкости 
В.
Задача 2
Цепь изображенная на рис.9, находится в режиме резонанса напряжений. Значение резонансной частоты f0=50 Гц. Значение соответствующих амплитуд напряжений и тока в контуре: U=220 В, UrL=204 В, UC=180 В, I=4 А. Определить параметры индуктивной катушки – r, L, емкость С и сопротивление r1.
Решение:
-
На резонансе напряжений
и 
отсюда 
Гн
-
Напряжение на емкости
отсюда 
мкФ
-
Комплексная амплитуда напряжения на катушке
отсюда 
Ом
-
В резонансе (в соответствии с рис.3)
отсюда 
Ом
Задача 3
При частоте 
Гц сопротивление катушки равно 41 Ом, а при постоянном токе – 9 Ом. При какой частоте наступает резонанс, ели последовательно с катушкой включен конденсатор емкостью C=51 мкФ.
Решение:
Комплексное сопротивление катушки (последовательное соединение r и L) равно:
Модуль Z: 
здесь 
r=9 Ом отсюда 
Гн. Резонансная частота 
Гц.
Задача 4
Последовательный колебательный контур (r, L, C) подключен к синусоидальной ЭДС с амплитудой E=1,6 В и внутренним сопротивлением R=16 Ом. При какой величине сопролтивления контура r в нем выделится максимальная активная мощность при резонансе напряжений и чему она будет равна.
Решение:
В режиме резонанса напряжений контур эквивалентен активному сопротивлению r. Поэтому в данном режиме цепь будет содержать источник ЭДС с внутренним сопротивлением и активное сопротивление контура.
В соответствии с теоремой о максимальной активной мощности в нагрузке, в нагрузке выделиться максимальная активная мощность, если 
, где 
и 
комплексные сопротивления генератора и нагрузки соответственно. Так как в данном случае 
, а 
, то при r=R=16 Ом в активном сопротивлении контура при резонансе будет выделяться максимальная активная мощность:
где
и 
- действующие значсения переменного ока и ЭДС: 
, 
отсюда P=20 мВт.