ВСЕРОССИЙСКИЙ ОТКРЫТЫЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ, ПРОЕКТНЫХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ УЧАЩИХСЯ

"ПЕРВЫЕ ШАГИ" 2010-2011

НОМИНАЦИЯ: "Проблемы, поставленные нам современной жизнью".

Софизмы и их значение в школьном курсе математики

Текутьева Татьяна Александровна,

Кравченко Кирилл Алексеевич,

МОУ "Гимназия "Планета Детства", 11 класс, г. Рубцовск Алтайского края

(658200, г. Рубцовск, пр. Ленина, 187, тел. 5-64-34)

Руководитель: Егорова Анастасия Алексеевна, учитель математики

МОУ "Гимназия "Планета Детства", д.т. 4-74-07,

р.т. 5-64-34

г. Москва, 2010/2011 учебный год

Содержание

I. Введение.............................................................................................................с. 3

II. Краткая характеристика софизмов

§1. История возникновения софизмов............................................................с. 8

§2. Классификация и примеры софизмов…………………...........................с. 11

2.1. Основные понятия........………………………………..............с. 11

2.2. Классификация ошибок……………………………….............с. 13

2.3. Примеры софизмов........……………………………….............с. 19

2.3.1. Алгебраические софизмы......................…...................с. 19

2.3.2. Геометрические софизмы......................…...................с. 30

• 
  Геометрические парадоксы................................с. 39
  

2.3.3. Логические софизмы......................…...........................с. 47

• 
  Парадокс лжеца ..................................................с. 48
  
• 
  Парадоксы времени и движения........................с. 57
  

§3. Практическая работа……………………………………………..............с. 61

3.1. Проведение работы над ошибками с помощью софизмов.....с. 61

3.2. Создание сборника.......................……………………..............с. 72

3.3. Создание электронной версии.............................…..................с. 73

III. Заключение…………………………………………………………………..с. 75


Введение

Логика – это учение о способах рассуждения и доказательства безотносительно к тому, где и для чего они используются. Логика занимает важное место в нашей жизни. Она учит, как нужно рассуждать, чтобы наше мышление было определенным, связным, последовательным и непротиворечивым. Все наши действия в той или иной степени логичны. Просыпаясь утром, мы сначала умываемся, одеваемся, потом завтракаем и идем в школу – именно в таком логичном порядке. Если же мы будем действовать совершенно в другой последовательности, то нам будет некомфортно. Так и в математике существует своя логика – математическая. Она исследует способы рассуждения, используемые в математике.

Человеку, занимающемуся математикой, очень часто приходится определять понятия, выяснять связи между ними, рассматривать, на какие группы могут быть подразделены фигуры, числа, уравнения, функции и т. д. Но особенно часто в математике приходится путем рассуждений выводить разнообразные формулы, правила и доказывать теоремы. Не случайно находились такие математики, которые думали, что математика – это наука о "производстве необходимых умозаключений". Такой взгляд на математику односторонен, но верно и то, что без логики не может быть и математики. А это значит, что для успешного изучения математики надо учиться правильно рассуждать. Это значит также, что само изучение математики очень полезно для овладения правилами и законами мышления.

Жизнь, особенно техника, а также очень многие науки, ставят перед математикой все новые и новые задачи. Математикам приходится разрабатывать вопросы математической теории и создавать методы, обеспечивающие решения возникающих в различных науках и практике задач. Как же поступают математики? Решение всякой задачи по математике – это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений: они направляются рассуждениями. Значит, в математике невозможно обойтись без логики.

Пытливая человеческая мысль проявляла неисчерпаемую находчивость, изворотливость и силу, отвоевывая тайны логики. То, что казалось очевидным, часто оказывалось ошибкой. Люди наблюдают, как "Солнце вращается вокруг Земли" – в действительности это движение есть зрительное следствие движения Земли вокруг Солнца и своей оси. А сколько неправильной информации поступает от наших органов чувств, когда оцениваются расстояния, размеры тел, отрезки времени, положение предметов в пространстве, их цвет. В "Сфинксе" Эдгар По описывает такой случай с героем рассказа: "Дело в том, что скоро по приезду в коттедж со мной случилось что-то непонятное и зловещее... Я был настолько потрясен, что прошло много дней, прежде чем я отважился рассказать об этом моему товарищу. В конце жаркого дня я сидел с книжкой в руках около открытого окна, откуда открывался вид на берег речки и на отдаленный пригорок, с ближайшего к нам бока – безлесный вследствие так называемого оползня. Мысли и так давно уже оторвались от книжки и, отведя глаза от страницы, я увидел оголенный склон, а на нем мерзкую тварь, которая быстро спускалась с пригорка и скрылась в густом лесу около его подножья. При появлении этого существа я сначала подумал, что сошел с ума, но, во всяком случае, не поверил своим глазам. Прошло немало времени, прежде чем я убедился, что не сплю и не сошел с ума. Но если я опишу тварь, которую я четко увидел и имел возможность наблюдать, пока она спускалась по склону, читателям ещё труднее, чем мне, будет в неё поверить". "Страшной тварью" оказалась... кошка, которая проползла по паутине вдоль оконной рамы. Сопоставления и гиперболизация воображаемых образов заставили героя рассказа пережить минуты глубокого потрясения.

Чтобы избежать подобных ситуаций, человек с первых шагов своей деятельности прибегает к другому методу познания мира, который помогает не только критиковать, но и корректировать познание через органы чувств. Этим методом стало мышление. Только благодаря мышлению удаётся объяснить и уточнить факты, выявленные в результате наблюдений и опытов. Высшей формой умственной деятельности человека является теоретическое мышление, причём среди различных теоретических методов познания мира наиболее мощным стал математический метод. Он занял особое место в познании по масштабам применения. Выдающийся 41-летний французский философ и математик Пьер Гассенди (1592 – 1635) писал: "Тот, кто с детства проникся математикой, усвоив её непростые доказательства, так подготовлен к принятию истины, что легко отбросит любую фальшь".

Как человек, не знающий правил арифметики и грамматики, не может правильно считать и грамотно писать, так и человек, не знающий правил логики, не может без ошибок рассуждать. Но до конца такой всё же сложной наукой, как логика, полностью может овладеть не каждый. Поэтому в ходе логических рассуждений нередко допускаются ошибки. В математике такие ошибочные рассуждения называются софизмами. Вообще, софизм – это умышленно ложное умозаключение, имеющее видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям "очевидности". Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Когда ребенок один раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет намного осторожнее. Так и изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности.

Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем самым как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Мы считаем, что наша тема актуальна, потому что немногие из людей знают про софизмы – всего лишь 29% (по результатам социологического опроса, лето 2008 года). Нетрудным математическим подсчетом узнаём, что 71 % населения России не слышали об этой очень интересной теме, которая может послужить неплохим подспорьем в учебе каждому школьнику. Ведь по результатам нашего опроса 60% участников опроса хотели бы избавиться от своих ошибок именно с помощью софизмов. Как сказал Навои Низамаддин Мира Алишер: "Человек может допустить ошибку; признание ее облагораживает его. Но дважды облагораживает, если человек исправит ошибку".

Мы предполагаем, что софизмы могут сыграть важную роль в процессе школьного обучения математике. Поэтому мы выдвигаем гипотезу: работа над ошибками с использованием софизмов более качественна, чем стандартный разбор задач. Кроме того, она помогает предупредить появление ошибок при дальнейшем обучении.

Целью данной работы является исследование софизмов и выявление их значение в школьном курсе математики.

Для реализации этой цели необходимо выполнить следующие задачи:

• 
  рассмотреть историю возникновения и развития софизмов;
  
• 
  составить классификацию софизмов;
  
• 
  составить примерную программу работы над ошибками с помощью софизмов;
  
• 
  опробовать ее на практике;
  
• 
  разработать сборник софизмов, провести его презентацию.
  

Следовательно, объектом данной работы являются софизмы как часть математической логики, а предметом исследования – роль софизмов в развитии мышления человека.


Краткая характеристика софизмов

1. История возникновения софизмов

Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы, непреодолимые, преграды, перед которыми умозаключения были бессильными. Древнегреческий философ Диодор Кронос (примерно 307 год до н.э.), не решив одну из древнейших логических задач – парадокс Эвклида, умер от разочарования, а другой философ Фигет Косский, познав такую же неудачу, покончил жизнь самоубийством. Древнегреческие ученые часто сталкивались с такими задачами в математике. Они прикладывали много усилий, чтобы выявить механизм образования подобных загадок. Было установлено, что наши рассуждения тоже подчинены определенным законам (законам логики), нарушение которых обесценивает результаты, добытые в этих рассуждениях. Неразрешенность задач, с которыми встретились Диодор Кронос и Фигет Косский, объясняется, как правило, нарушением законов логики. Поэтому уже тогда остро встал вопрос о системе "профилактических приемов" – определенных правил с целью устранения логических ошибок.

Первая в истории проба проведения "логической профилактики" в математике принадлежит гениальному древнегреческому математику, автору "Начал" – Евклиду (IV в до н.э.). Он создал удивительный сборник "Псевдарий", где поместил разнообразные ошибочные рассуждения, к которым часто приходят те, кто начинает играть в математику. Таким образом, Евклид был автором первого из известных сборников математических софизмов и парадоксов. Остается сожалеть, что этот труд не дошел до нас. За то требовательность Евклида и строгость к культуре рассуждений нашла многочисленных последователей.

Сами же софизмы также появились в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике (науке и искусству красноречия). Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин "софизм" впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно, ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

Софистам идейно противостоял знаменитый греческий философ Сократ, который утверждал, что объективная истина есть, только неизвестно точно, какая она, что собой представляет; в силу чего задача каждого думающего человека заключается в том, чтобы искать эту единую для всех истину.

Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины зародилась приблизительно в V в. до н.э. С тех пор она продолжается до настоящего времени. Среди наших современников можно встретить немало людей, которые утверждают, что ничего объективного и общезначимого нет, что все одинаково подтверждаемо и опровержимо, что все относительно и субъективно. "Сколько людей, столько и мнений", – и говорят они. Это, несомненно, точка зрения древних софистов. Однако и в нынешнюю эпоху есть те, которые вслед за Сократом считают, что, хотя мир и человек сложны и многогранны, тем не менее, нечто объективное и общезначимое существует, точно так же, как существует солнце в небе – одно для всех. Они утверждают, что если кто-то не замечает объективной истины, то это вовсе не означает, что ее нет, точно так же, как если кто-то закроет глаза или отвернется от солнца, он тем самым не отменит его существования на небосводе.

В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и прекрасная школа культуры математических вычислений.

2. Классификация и примеры софизмов

2.1. Основные понятия

Для удобства дальнейшей работы рассмотрим основные понятия:

• 
  суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается наличие свойств у предметов, отношения между предметами и т.д.;
  
• 
  категорическое суждение – это такой вид суждений, в котором однозначно определено качество (утверждение, отрицание) и количество (общее, частное);
  
• 
  умозаключение – форма мышления, когда из нескольких суждений выводится новое суждение;
  
• 
  силлогизм (простой) – такой вид умозаключения, в котором из двух категорических суждений выводится новое категорическое суждение;
  
• 
  Логическая форма силлогизма:
  
• 
  меньший термин силлогизма (S) – субъект (предмет или класс предметов, которые рассматриваются в данном суждении) заключения;
  
• 
  больший термин силлогизма (P) – предикат (свойства, принадлежащие или отсутствующие у суждения) заключения;
  
• 
  средний термин силлогизма (M) – понятие, которое находится в обеих посылках, но отсутствует в заключении:
  

M Р

"Все люди смертны. – большая посылка

S M

Сократ – человек. – меньшая посылка

Сократ смертен". – заключение

S Р

• 
  фигура силлогизма – такой тип силлогизма, который определяется на основе способа расположения терминов в посылке:
  
• 
  I фигура – такая разновидность силлогизма, когда средний термин занимает место S в большей посылке и место P в меньшей (ПРАВИЛО I ФИГУРЫ: большая посылка должна быть общим суждением, меньшая посылка должна быть утвердительным суждением):
  

"Все полезные ископаемые (М) – природные богатства (Р).

Гранит (S) – полезное ископаемое (М).

Гранит – природное богатство".

1. 
   II фигура – такая разновидность силлогизма, когда средний термин является предикатом в обеих посылках (ПРАВИЛО II ФИГУРЫ: большая посылка должна быть общим суждением, одна из посылок должна быть отрицательной):
   

"Ни одна книга (Р) не является периодическим изданием (M).

Журнал (S) – периодическое издание (М).

Журнал не является книгой".

1. 
   III фигура – такая разновидность силлогизма, когда средний термин занимает место субъекта в обеих посылках (ПРАВИЛО III ФИГУРЫ: меньшая посылка должна быть утвердительным суждением, заключение должно быть частным суждением):
   

"Карелия (М) – республика (Р).

Карелия (М) является субъектом РФ (S).

Некоторые субъекты РФ являются республиками"

1. 
   IV фигура – такая разновидность силлогизма, когда средний термин занимает место предиката в большей посылке и место субъекта в меньшей посылке (IV фигура сводится к I фигуре, поэтому практически не применяется):
   

2.2. Классификация ошибок

В математической логике выделяются следующие типы ошибок: логические, терминологические и психологические.

1. 
   следующая страница>