4.7. Оценка видового сходства биоценозов

Типы мер сходства

Индексы видового сходства имеют принципиальное отличие от всех ранее рассмотренных индексов тем, что вычисленные значения сравниваются не с некоторой эталонной шкалой "грязности", "разнообразия", сапробности и проч., а определяют взаимную упорядоченность объектов (проб, описаний, видовых списков биоценозов) друг относительно друга.

Существует несколько классификаций методов расчета индексов связи [Sokal, Sneath, 1963; Goodall, 1973; Василевич, 1969; Миркин, Розенберг, 1978; Сёмкин, 1979 и др.]. Так, Р. Сокал и П. Снит различали три типа мер сходства:

• 
  меры ассоциации, выражающие различные отношения числа совпадающих признаков к общему их числу, и близкие им коэффициенты сопряженности (квантифицированные коэффициенты связи);
  
• 
  выборочные коэффициенты связи типа корреляции (нормированные "косинусные" меры);
  
• 
  показатели расстояния в метрическом пространстве.
  

Современные исследователи [Гайдышев, 2001] уменьшают это количество типов до двух, полагая ассоциациативные меры естественным распространением "косинусных" мер на номинальные шкалы.

Б.М. Миркин с соавторами [1989] выделяют также следующие типы: вероятностные меры, информационные меры и преобразованные показатели. Однако все меры являются в какой-то степени вероятностными (поскольку оценивается вероятность того, что сравниваемые объекты будут идентичными) и представляют собой некоторые алгебраические выражения (или "преобразования" по Миркину).

Выражений для мер близости или расстояния между объектами существует великое множество: уже на начало 70-х годов в своем обзоре Д. Гудол [Goodall, 1973] перечисляет около 40 коэффициентов подобия. Приводить в полном объеме конкретные формулы или хронологию их создания вряд ли целесообразно⁴, поэтому мы остановимся на некоторых индексах, традиционно употребляемых в геоботанике и гидробиологии (хотя и их набралось немалое количество).

Д. Гудол замечал, что «...выбор лучшего индекса – дело вкуса». Правда, один из авторов [Розенберг, 1984] полагает, что "вкус" должен диктоваться точными знаниями о возможностях того или иного показателя и целями, стоящими перед исследователем. Но…

Мем № 24: «Выбор конкретных коэффициентов зависит в первую очередь от цели исследования. А поскольку формальных правил для выбора целей нет, следовательно, не может быть и формальных правил для выбора подходящей меры сходства» В.Л. Андреев [1979б].
Меры ассоциации

Большинство выражений для индексов сходства основаны на общих положениях теории множеств, которые могут быть интерпретированы в виде диаграммы Венна (см. рис. 4.6). При использовании конкретных выражений для коэффициентов подобия в формулы могут подставляться мощности (число элементов) подмножеств a, b, c и d, если исследователи хотят ограничиться альтернативными высказываниями “отсутствие / наличие” вида, либо показатели обилия в абсолютной или интервальной шкале. В первом случае мы будем отождествлять мощность подмножества с ним самим.

Рис 4.6. Диаграмма интерпретации составляющих подмножеств

признакового пространства видов
Первая попытка количественного выражения степени сходства между сообществами принадлежала в 1901 г. швейцарскому исследователю П. Жаккару (P. Jaccard) и коэффициент флористического сходства Жаккара до сих пор широко используется в геоботанике:
K_J = с / (a + b - c) . (4.25)
Гидробиологи (да и вообще, экологи) чаще применяют формулу коэффициента общности видового состава Т. Съёренсена [Sőrensen, 1948^М]:
K_S = 2 с / (a + b ) . (4.26)
Приведем без комментариев еще несколько подобных формул коэффициентов, оперирующих с мощностями подмножеств [Сёмкин, 1979; Миркин с соавт., 1989; Дедю, 1990]:

• 
  Роджерса и Танимото (он же, Нордхагена): K₃ = с / (a + b + c) ;
  
• 
  Маунтфорда: K₄ = 2 с / (2ab - ac -bc) ;
  
• 
  Рао-Рассела: K₅ = с / (a + b + c + d) ;
  
• 
  Дейка: K₆ = 2 с / (a + b + 2 c) ;
  
• 
  Кульчинского: K₇ = (a + b) / 2ab ;
  
• 
  Экмана: K₈ = (a + b) / с ;
  
• 
  процент несогласия: K₉ = (a + b) / (a + b + c ).
  

В качестве несимметричных мер можно отметить:

• 
  меры включения, оценивающие "банальность" K₁₀ и "экзотичность" K₁₁ биоценозов [Рябинин, 1993]:
  

K₁₀ = с / (a + c) ; K₁₁ = с / (b + c) ;

• 
  трансформированный коэффициент Дайса [Миркин с соавт., 1972]:
  

K_D = [c – min(a,b)] / [c + min(a,b)] .
В дальнейшем было сформулировано [Сёмкин, Двойченков, 1973] несколько правил, по которым можно "изобрести" неограниченное количество мер, подобных K_i .

Традиционное для теории измерений хеммингово расстояние (метрика Хемминга), менее других похоже на перечисленные коэффициенты, т.к. оно не является безразмерным и не ограничено сверху числом 1:

R_H = (c + d) . (4.27)
В ряде работ [Миркин, Розенберг, 1978, 1979] делаются попытки оценить, какие коэффициенты из вышеперечисленных "завышают" или "занижают" сходство между сообществами и каким коэффициентам следует отдать предпочтение в работе. Однако вряд ли имеет смысл проводить сравнительных анализ абсолютных значений коэффициентов, т.к. в данном случае единственным критерием оценки является последовательность агрегирования объектов на основании меры сходства в более крупные таксоны, иерархические деревья и проч.

Несмотря на почти повсеместную традицию использовать для оценки сходства биоценозов меры ассоциативности по Жаккару (4.25), Съёренсену (4.26) и проч., нам не кажется плодотворной идея без особенной нужды сводить количественную шкалу, в которой измерено подавляющее большинство гидробиологических показателей к информативно более ослабленной номинальной шкале. Слишком много труда гидробиологов вкладывается в подсчет значений численностей гидробионтов, чтобы потом огрублять исходные данные в мере Съёренсена до статистически сомнительного факта простой встречаемости видов...

Коэффициенты связи

Использование в качестве меры близости объектов косинусов углов между информативными векторами удобно тем, что функция сходства нормируется в шкале от 0 до 1 и не зависит от абсолютных значений переменных. Чтобы избежать разбиения на две дополнительные подгруппы положительно и отрицательно коррелируемых параметров, обычно используют квадраты (или абсолютные значения) косинусов углов. В разделах части 3 нами подробно будут рассмотрены конкретные формулы вычисления мер этого типа для различных шкал представления признаков: коэффициенты корреляции Пирсона, Спирмена и Кендалла, критерий c² и другие меры оценки сопряженности. Ниже рассматриваются некоторые специфические для экологических исследований коэффициенты этого типа.

При подсчете мер сходства показателей обилия, выраженных в абсолютных или относительных значениях видовой численности или биомассы возможно использование коэффициента К. Чекановского [Czekanowcki, 1911^М]:

S S S

M_T =  min( X_i , Y_i ) / (  X_i +  Y_i ) , (4.28),

i=1 i=1 i=1

где X_i и Y_i – количественные значения вида i в пробах X и Y, S – общее число видов.

К другим коэффициентам, оценивающим сходство биоценозов по показателям обилия, можно отнести следующие:

• 
  коэффициент общности удельного обилия, предложенный А.А. Шорыгиным [1939^М, 1952^М] для сравнения спектра питания рыб, использующий те же обозначения, что и для формулы Чекановского (4.28) (иное название – коэффициент суммы минимумов по А.С. Константинову [1969]):
  

S S S

M_S =  min( X_i / X_i , Y_i /  Y_i) ; (4.29)

i=1 i=1 i=1

• 
  коэффициент биоценологического сходства Б.А. Вайнштейна [1976] для оценки комбинированного сходства биоценозов по обилию и видовому составу:
  

K_комб = M_S×K_J^’ _,

где M_S – коэффициент общности удельного обилия, K_J^’ – коэффициент сходства видового состава [Алёхин с соавт., 1925^М], полностью совпадающий с коэффициентом Жаккара (4.25).

Меры расстояния

Наиболее общей формулой для подсчета расстояния в m-мерном признаковом пространстве между объектами X₁ и X₂ является мера Минковского [Ким с соавт.,1989]:

m

D_S(X₁,X₂) = [  |x_1i - x_2i|^p ]^1/r , (4.30)

i=1
где r и p – параметры, определяемые исследователем, с помощью которых можно прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к переменной i, по которой соответствующие объекты наиболее отличаются. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r определяет прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами.

Мера расстояния по Евклиду получается, если метрике Минковского положить r = p = 2, и является, по-видимому, наиболее общим типом расстояния, знакомым всем по школьной теореме Пифагора, – геометрическим расстоянием в многомерном пространстве, которое вычисляется следующим образом:

m

D_E(X₁,X₂) = [ (x_1i - x_2i)² ]^1/2 . (4.31)

i=1

Заметим, что евклидово расстояние может быть вычислено как по исходным, так и по стандартизованным данным (например, нормированным на интервале от 0 до 1).

При r = p = 1 метрика Минковского дает "расстояние городских кварталов" (манхэттенское расстояние), которое является просто суммой разностей по координатам:
m

D_M(X₁,X₂) =  | x_1i - x_2i | . (4.32)

i=1
В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, что и обычное расстояние Евклида. Однако отметим, что для нее влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается, так как они не возводятся в квадрат.

При r = p ® ¥ имеем метрику доминирования (она же, супремум-норма или расстояние Чебышева), которая вычисляется по формуле:

D_T(X₁,X₂) = max | x_1i – x_2i |. (4.33)
Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной лимитирующей координате (каким-либо одним измерением).

На практике, особенно в медико-биологических исследованиях, часто возникает проблема исследования связи в таблицах данных, измеренных в различных шкалах. Для этой цели был предложен [Gower, Ross, 1969; Ким с соавт.,1989] коэффициент Гауэра, допускающий одновременное использование трех шкал: количественной, порядковой и номинальной:

m_n m_p m_x

S (X₁, X₂) =  K_i +  P_i +  D_i. (4.34)

i=1 i=1 i=1
При этом:

• 
  для номинальных признаков i = 1,2,…,m_n алгоритм подсчета вклада признаков K_i совпадает с подсчетом коэффициента Жаккара;
  
• 
  вклад Р_i порядковых признаков i = 1,2,…,m_р совпадает с хемминговым расстоянием, если последнее мысленно обобщить на ранжированные переменные;
  
• 
  для количественных признаков i = 1,2,…,m_х D_i = 1 - |x_1i – x_2i| / S_i , где S_i – размах i-го признака, вычисленный по всем объектам.
  

Одним из важных шагов по упорядочению используемых оценок явилось формулировка понятий «эквивалентности» и «коэквивалентности» мер сходства. Согласно теореме Б.И. Семкина и В.И. Двойченкова [1973], две меры r₁ и r₂ эквивалентны, если они связаны монотонно возрастающей зависимостью j, т.е. r₁ = j (r₂). Примерами таких функций j являются:

• 
  линейное преобразование r₁ = a + b×r₂ , позволяющее любой коэффициент сходства умножить, разделить или сложить с некоторым постоянным числом;
  

• 
  потенциальные функции, удобные для нормировки: ,
  

где a и b – константы, e – любое рациональное число.

Понятие эквивалентности мер имеет важное следствие: если две меры эквивалентны, то они приводят к одной и той же последовательности объектов, упорядоченных по их сходству: близкие объекты остаются близкими и т.д. Например, можно показать, что свойством эквивалентности обладает континуум мер сходства, представленных формулой:

, (4.35)
где -1 < u < ¥, а остальные обозначения приведены на рис. 4.6. Нетрудно заметить, что при u = 0 мы имеет хорошо известный коэффициент Съёренсена (4.26); мера при u = 1 численно совпадает с коэффициентом Жаккара (4.25), а при u = 3 – с коэффициентом Сокала–Снита и т.д., поэтому споры о том, какой коэффициент лучше, можно считать беспредметными. То же можно сказать и об использовании более "сложных" формул, которые часто создают только иллюзию объективности и точности классификации.

Если бы принцип оценки эквивалентности получил достаточное распространение в количественной гидробиологии лишь только как "санитарно-профилактическое средство", препятствующее изобретению новых эмпирически мало подтвержденных индексов, неустанно появляющихся в различных областях, от этого была бы большая польза: биологическая литература освободилась бы от множества неоправданных манипуляций с числами и ненадежных рекомендаций.

Введенное понятие «эквивалентности» оказывается полезным еще и потому, что приводит к пониманию смысла использования неэквивалентных мер, как наиболее независимых и ценных членов "распознающего коллектива" [Розенберг с соавт., 1994], оценивающего различные свойства анализируемого материала. Если, например, выводы, полученные на основе использования корреляционных мер сходства, совпадут с выводами кластерного анализа на основе евклидовой дистанции, то с уверенностью можно утверждать, что они действительно основаны на исходных данных, а не на методе их извлечения.

<предыдущая страница | следующая страница>