Московский Авиационный Институт

Кафедра информационно-управляющих комплексов Курс «Компьютерное моделирование интегрированных систем ЛА»

Лабораторная работа №1

Интегрирование систем ОДУ

Сергей Суровцев, группа 07-409

Москва, 2009

Оглавление

Техническая постановка задачи

1. 
   Спроектировать и реализовать объектно-ориентированный шаблон взаимодействия математической модели и численного метода интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);
   
2. 
   Реализовать численные методы интегрирования систем ОДУ:
   — Дормана-Принса 5(4) порядка, включая коррекцию шага и плотную выдачу;
   — Адамса-Бэшфорта-Мултона 3(4) порядка.
   
3. 
   Реализовать модели «орбита Аренсторфа», «брюсселятор»;
   
4. 
   Проинтегрировать модель «орбиты Аренсторфа» на двух витках и «брюсселятор» со стандартными Н.У.
   

Математические модели, алгоритмы и численные методы

Численные методы

Метод Дормана-Принса 4(5) порядка

В работе реализован стандартный метод Дормана-Принса (Dormand-Price method), со следующими модификациями.

Ошибка определяется как среднеквадратическое отклонение:

, где

E — вектор разности между результатами 5 и 4 порядка;

N — число уравнений первого порядка в интегрируемой системе ОДУ.

Шаг корректируется следующим способом:

,где

H — заданная погрешность;

e(h) — погрешность в данном шаге.

В алгоритмах с коррекцией шага возникает необходимость плотной выдачи, т.е. интерполяции результатов вычислений в нужных точках.

В данном случае использовались следующие соотношения (Э. Хайрер, 1990):

Тогда плотная выдача выглядит следующим образом:

Метод Адамса-Мултона-Бэшфорта 3(4) порядка

Реализован многошаговый метод с функцией-предиктором Адамса-Бэшфорта 4-ого порядка и функцией-корректором Адамса-Мултона 3-его порядка (Shaharuddin Salleh, 2008).

Предиктор:

Корректор:

«Разгон», т.е. получение первых трёх значений осуществляется методом Рунге-Кутты с тонностью на 3 порядка лучшей, чем точность, которой инициализирован метод Адамса-Мултога-Бэшфорта.

В каждом шаге коррекции сравнивается результат предыдущей и настоящей коррекций, и коррекция проводится заново, если максимальное значение разности фазовых векторов на двух соседних шага превышает заданную локальную погрешность (при этом в качестве предсказания в функции Мултона принимается предыдущая коррекция).

Математические модели

Орбита Аренсторфа

При начальных условиях:

Брюсселятор

При начальных условиях:

Архитектура приложения

Классы

Программа включает в себя 6 классов:

• 
  TODEModel — базовый класс модели СОДУ;
  
• 
  TODEIntegrator — базовый класс интегратора СОДУ;
  
• 
  TRungeKutta45 — имплементация метода Дормана-Принса, наследник TODEIntegrator;
  
• 
  TAdamsBashforthMoulton — имплементация метода Адамса-Мултона-Бэшфорта, наследник TODEIntegrator;
  
• 
  TArenstorf — имплементация модели орбиты Аренсторфа, наследник TODEModel;
  
• 
  TBruccelator — имплементация модели Брюсселятора, наследник TODEModel.
  

Диаграммы классов находятся на рисунке 1.



Рис.1 Диаграммы классов

Модели

Наследники класса TODEModel имплементируют процедуру F (правые части ДУ).

Наследники TODEIntegrator обязаны имплементировать, по сути, лишь функцию Run, а также в конце каждой итерации обращаться к процедуре AddValue агрегированной модели.

Интеграторы

Интеграторы обязаны перекрывать процедуру Run предка TODEIntegrator.

TRungeKutta45

RmsError(delta): extended — считает СКО.

CorrectStep(e,t) — корректирует шаг;

Densify(theta, t, y0, K) — осуществляет плотную выдачу.

Densify(theta, t, y0, K) — осуществляет плотную выдачу.

TAdamsBashforthMoulton

CheckIfInBounds(y0, y1) — проверяет, проходит ли разность двух соседних итераций коррекции сравнение с максимально допустимой погрешностью.

AdamsBashForthMoulton(y0.y1,y2,y3,t0,t1,t2,t3) — предсказывает следующее значение вектора состояния СОДУ.

AdamsMoulton(t1,y2,y3,predY,t1,t2,t3) — корректор.

Анализ результатов вычислительных экспериментов

Орбита Аренсторфа

Метод Адамса-Мултона-Бэшфорта

Система «Орбита Аренсторфа» держится как минимум 2 витка, будучи интегрированной методом Адамса-Бэшфорта-Мултона со следующими параметрами:

Длина шага = 0.001

Допустимая погрешность: = 0.001

Погрешность разгоняющего метода Дормана-Принса: 0.000001.

На рисунке 2 изображена полученная орбита. На рисунке 3 изображён увеличенный фрагмент самопересечения траектории справа .



Рис. 2 Орбита Аренсторфа, полученная методом Адамса-Бэшфорта-Мултона

Рис. 3 Увеличенный фрагмент участка траектории.

Метод Дормана-Принца 5(4) порядка

Длина шага = 0.01

Допустимая погрешность = 1.0e-8

На рисунках 4 и 5 аналогичные результаты для метода Дормана-принса.

Рис. 4 Орбита Аренсторфа, полученная методом Дормана-Принса

Рис. 5 Увеличенный фрагмент участка траектории.

Брюсселятор

Метод Адамса-Мултона-Бэшфорта

Длина шага = 0.001

Допустимая погрешность: = 1.0e-12

Погрешность разгоняющего метода Дормана-Принса: 1.0e-15.

На рисунке 6 представлены резульаты интегрирования системы «Брюсселятор» методом Адамса-Мултона-Бэшфорта.

Рис. 6 Система «Брюсселятор» методом Адамса-Мултона-Бэшфорта.

Метод Дормана-Принса 5(4) порядка

На рисунке 7 отображены результаты интегрирования системы «Брюсселятор» методом Адамса-Мултона-Бэшфорта при следующих параметрах:

Длина шага: 1.0e-2

Допустимая погрешность: 1.0e-12.



Рис. 7 Система «Брюсселятор» методом Дормана-Принса

Вывод

Результаты полученные обоими интеграторами на обеих системах удовлетворяют условиям задачи. Орбита Аренсторфа не разваливается как минимум 2 витка, а в модели «Брюсселятор» динамика системы сохраняет периодичность.

Список литературы

Dormand-Price method. (б.д.). Получено из Wikipedia.org: https://en.wikipedia.org/wiki/Dormand%E2%80%93Prince_method

Shaharuddin Salleh, A. Y. (2008). COMPUTING FOR.

Э. Хайрер, С. Г. (1990). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи.