• Лекция № 1

Теория множеств
Множества. В основе функционального анализа, как и любого другого раздела математики, лежат понятия и методы теории множеств. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.д.

Полное изложение так называемой канторовой теории множеств – достаточно трудная задача. Мы здесь введем лишь первоначальные теоретико-множественные понятия и обозначения, используемые в дальнейшем.

Множества обозначаются буквами а их элементы – малыми Утверждение «элемент принадлежит множеству » символически записывается так: или . Запись означает, что элемент не принадлежит множеству . Если все элементы, из которых состоит множество , входят и в множество , (причем случай не исключается), то мы называем подмножеством множества и пишем .

Пример 1. Пусть – множество действи-
тельных корней многочлена с действительными коэффициентами. Поскольку это множество может оказаться пустым, т.е. не содержать ни одного элемента, то целесообразно ввести обозначение  для пустых множеств. Любое множество содержит  в качестве подмножества.

Операции над множествами. Пусть и – произвольные множества. Объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и . Пересечением множеств и назовем множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как , так и .

Аналогично определяется объединение и пересечение любого (конечного или бесконечного) числа множеств.

Операции объединения и пересечения множеств по своему определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

, – коммутативность

, – ассоциативность

Кроме того, эти операции взаимно дистрибутивны:

,

.

Рекомендую доказать эти утверждения в качестве упражнений.

Замечание 1. Равенство множеств означает, что и .

Определим теперь операцию вычитания множеств. Назовем разностью множеств и совокупность тех элементов из , которые не содержатся в : . При этом, вообще говоря, не предполагается, что .

Симметрической разностью множеств и назовем множество

.

Упражнение 1. Доказать, что .

Часто приходиться рассматривать тот или иной запас множеств, являющихся подмножествами некоторого основного множества . В этом случае разность называют дополнением и обозначают .

В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль играет принцип двойственности, который основан на следующих двух соотношениях:

1. 
   Дополнение к объединению равно пересечению дополнений
   

. (1)

1. 
   Дополнение к пересечению равно объединению дополнений
   

. (2)

Принцип двойственности состоит в том, что из любой теоремы, относящейся к системе подмножеств фиксированного множества , автоматически может быть получена другая – двойственная теорема путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, объединений множеств – пересечениями, а пересечений – объеди-

нениями.

Упражнение 2. Докажите соотношения (1) и (2).

Отображения множеств и общее понятие функции. В математическом анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть – некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция , если каждому числу поставлено в соответствие определенное число . При этом называется областью определения данной функции, а – совокупность всех значений, принимаемых этой функцией, – ее областью значений.

Если же вместо числовых рассматривать множества какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции. Пусть и – два произвольных множества. Говорят, что на определена функция , принимающая значения из , если каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент из . Вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

При специализации природы множеств и возникают специальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционал», «оператор» и т.д., которые изучаются в курсах функционального анализа.

Для обозначения функции (отображения) из в мы будем пользоваться записью

.

Образ, прообраз. Если , то отвечающий ему элемент из называется его образом (при отображении ). Совокупность всех тех элементов из , образом которых является данный элемент , называется (полным) прообразом элемента и обозначается :

.

Если – некоторое подмножество множества , т.е. , то совокупность всех элементов вида , где , называется образом и обозначается .

Если – некоторое подмножество множества , т.е. , то прообразом (полным!) называется совокупность всех тех

элементов из , образы которых принадлежат :

.

Может оказаться так, что ни один элемент из не имеет прообраза, т.е. .

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов:

.

Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

.

Теоремы 1 и 2 остаются в силе для сумм и пересечений любого (конечного или бесконечного) числа множеств:

, .

Упражнение 3. Докажите теоремы 1 и 2.

Упражнение 4. Какая из этих теорем верна для образов?

Ответ: . Докажите это утверждение в качестве упражнения.

Упражнение 5. Докажите, что прообраз дополнения равен дополнению прообраза. Верно ли аналогичное утверждение для образа дополнения?

Бинарные отношения. Если дано множество , то его квадратом называется множество всех упорядоченных пар , где . Пусть - любое подмножество из . Оно следующим образом определяет в бинарное отношение, которое мы также будем обозначать символом (в конкретных случаях для записи отношений используются различные специальные символы): если , то говорят, что элемент находится в отношении к элементу (и записывают это через ) в том и только в том случае,
если пара принадлежит к подмножеству ; таким образом, записи

и

равносильны.

Изучение бинарных отношений в множестве не отличается,

следовательно, от изучения подмножеств множества . Можно говорить, в частности, о включении бинарного отношения в бинарное отношение , , а также о пересечении и объединении бинарных отношений. Дополнением к бинарному отношению является бинар-ное отношение , определяемое подмножеством ; иными словами, если и только если .

Рассмотрим пример бинарного отношения.

Пример 2. Отношение тождества Е. Мы скажем, что Е в том и только том случае, если ; иначе говоря, это – отношение, задаваемое диагональю  в , т.е. подмножество пар вида .

Отношение эквивалентности и разбиение на классы. Каждый раз, когда некоторое множество представлено тем или иным способом как сумма своих попарно непересекающихся подмножеств, мы говорим о разбиении множества на классы. Разбиение на классы обычно осуществляется на основании какого-либо признака. В качестве примеров можно рассмотреть разбиение биосферы на классы по видам, или разбиение пространства и т.д. Но не всякий признак позволяет разбить множество на классы.

1) Если мы захотим разбить все действительные числа на классы, считая, что число входит в один и тот же класс с числом , если и только если . Разбиения на классы не получится, во-первых, потому, что и находятся в разных классах, и, во-вторых, если и находятся в одном классе, то с уже в разных!

2) Если мы захотим разбить точки, например на плоскости, на классы, относя точки и к одному классу в том и только в том случае, когда расстояние между ними меньше 1, т.е. , если Разбиения не получается, так как из и не следует, что .

Приведенные выше примеры подсказывают условия, при которых тот или иной признак действительно позволяет разбить элементы некоторого множества на классы. Это – отношение эквивалентности, т.е. бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.

Будем говорить, что в множестве задано отношение эквивалентности , если оно обладает следующими свойствами:

1. 
   Рефлексивность: для любого элемента .
   
2. 
   Симметричность: если , то .
   
3. 
   Транзитивность: если и , то .
   

Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношение эквивалентности ~ (признак!) позволяло разбить множество на классы. В самом деле, всякое разбиение данного множества на (попарно непересекающиеся) классы определяет в этом множестве некоторое отношение эквивалентности. Действительно, если означает, что « находится в том же классе, что и », то это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обратно, пусть на множестве задано некоторое отношение эквивалентности , удовлетворяющее нашим трем условиям. Тогда множество разбивается на попарно непересекающиеся классы следующим образом. Пусть – класс элементов из , эквивалентных данному элементу : . В силу рефлексивности элемент сам принадлежит . Надо показать, что два класса и либо совпадают, либо не пересекаются, т.е. мы действительно получаем разбиение множества на попарно непересекающиеся классы.

Если некоторый элемент принадлежит одновременно и , т.е. и , то в силу симметричности и транзитивности имеем:

. (3)

Тогда легко показать, что . Действительно, если , т.е. , то в силу (3) и свойства транзитивности , т.е. . Таким образом, .

Аналогично устанавливается обратное включение . В итоге , что говорит о том, что два класса и , имеющих хотя бы один общий элемент, совпадают между собой. Мы получили разбиение множества на классы по заданному отношению эквивалентности.

Понятие разбиения множества на классы связано с понятием отображения. Пусть нам задано отображение

множества в множество . Тогда множество разбивается на классы следующим образом: пусть . Положим

.

Предлагаю убедиться в этом в качестве упражнения.

Замечание 2. Всякое отношение эквивалентности ~ в некотором множестве есть бинарное отношение , подчиненное следующим условиям:

1. 
   Диагональ  принадлежит , т.е. (рефлексивность).
   
2. 
   Если , то и (симметричность).
   
3. 
   Если и , то и (транзитивность).
   

Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Множества могут быть конечными и бесконечными. Конечное множество – это множество, состоящее из конечного числа элементов. Говоря, что множество бесконечно, мы имеем ввиду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в нем еще останутся элементы.

Два конечных множества мы можем сравнивать по количеству элементов. Для множеств с бесконечным числом элементов этот рецепт не проходит. Имеет ли смысл, например, ставить вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой, функций на отрезке [0,1] или прямых в пространстве и т.д.?

Для «количественного» сравнения множеств с бесконечным числом элементов подходит понятие взаимно однозначного соответствия между элементами этих множеств.

Будем говорить, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие

,

если каждому элементу множества отвечает при этом соответствии один и только один элемент множества , и наоборот.

Счетные множества. Простейшим среди бесконечных множеств является множество

натуральных чисел.

Счетным множеством назовем всякое множество, элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми натуральными числами. Иначе говоря, счетное множество – это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: . Рассмотрим примеры счетных множеств.

Примеры.

3) Множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами следующим образом:

0 -1 1 -2 2 …

1 2 3 4 5 …

4) Множество всех положительных четных чисел. Соответствие очевидно: .

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным множеством. Установим некоторые общие свойства счетных множеств.

Свойство 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство. Пусть – счетное множество, а – его подмножество. Занумеруем элементы множества : . Пусть – те из них, которые входят в . Если среди чисел есть наибольшее, то конечно; в противном случае счетно, поскольку его элементы занумерованы числами 1,2,… .

Свойство 2. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество.

Доказательство. Пусть – счетные множества. Мы можем считать, что они попарно не пересекаются, так как иначе мы рассмотрели бы вместо них множества , каждое из которых не более чем счетно. Объединение последних совпадает с объединением исходных множеств . Считая, что множества попарно не пересекаются, их элементы запишем в следующем виде:

,

,

,

. . . . . . . . .
Здесь верхний индекс в записи означает номер множества, а нижний индекс – номер элемента в этом множестве. Для каждого фиксированного элементов с номерами, удовлетворяющими условию , лишь конечное число. Поэтому мы можем перенумеровать все элементы множества начиная с , продолжая нумерацию для , и т.д. Таким образом мы установим взаимно однозначное соответствие между элементами множества и натуральными числами, что и означает, что это множество не более чем счетное.

Свойство 3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть - бесконечное множество. Выберем в нем произвольный элемент . Поскольку бесконечно, в нем найдется элемент , отличный от , затем найдется элемент , отличный от и от и т.д. Продолжая этот процесс (который не может оборваться из-за «нехватки» элементов, ибо бесконечно), мы получаем счетное подмножество

множества . Утверждение доказано.

Последнее утверждение показывает, что среди бесконечных множеств счетные являются «самыми маленькими». Возникает вопрос: существуют ли несчетные бесконечные множества? Ниже будет получен ответ на этот вопрос.

Упражнение 6. Доказать счетность следующих множеств:

1) Множество всех рациональных чисел.

2) Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.

3) Множество всех рациональных интервалов на прямой (т.е. интервалов с рациональными концами).

4) Множество всех точек плоскости с рациональными координатами.

5) Множество алгебраических чисел. (Число называется алгебраи-ческим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами.)

Указание. Воспользоваться свойством 2.

Эквивалентность множеств. Сравнивая множества с натуральным рядом, мы пришли к понятию счетного множества. Множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел. Установление взаимно однозначного соответствия позволяет сравнивать между собой любые множества.

Определение 1. Два множества, и , называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Понятие эквивалентности применимо к любым множествам, как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда число элементов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следующим образом: множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Любые два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой. В частности, все счетные множества эквивалентны между собой.

Пример 5. Эквивалентные множества.

1) Множество точек на любых двух отрезках и .

2) Множество всех чисел в интервале и всех точек на прямой.

3) Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости и множество всех точек на сфере.

Убедитесь в этом в качестве упражнения.
Рассматривая различные примеры, мы убеждаемся, что иногда бесконечное множество эквивалентно своей истинной части. Например, натуральных чисел оказывается «столько же», сколько и всех целых или даже всех рациональных; на интервале «столько же» точек, сколько и на всей прямой, и т.д. Это явление характерно для бесконечных множеств. Действительно, мы показали (свойство 3), что из всякого бесконечного множества можно выбрать счетное подмножество; пусть такое подмножество. Разобьем его на два счетных подмножества и , и установим между и взаимно однозначное соответствие. Это соответствие можно затем продолжить до взаимно однозначного соответствия между множествами и . Но множество не совпадает с , т.е. является истинным подмножеством для . Мы получаем, таким образом, следующее предложение:

Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему истинному подмножеству.

Это свойство можно принять за определение бесконечного множества.

Упражнение 7. Доказать, что если - произвольное бесконечное множество и счетно, то .

Несчетность множества действительных чисел. Выше было доказано, что объединение не более чем счетного числа счетных множеств снова есть счетное множество. Естественно возникает вопрос: а существуют ли вообще несчетные множества? Ответ дает следующая теорема.

Теорема 3. Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Доказательство. Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел , лежащих на отрезке :

(4)

Здесь - -я десятичная цифра числа . Построим дробь при помощи диагональной процедуры Кантора: за примем произвольную цифру, не совпадающую с , за – произвольную цифру, не совпадающую с и т.д., вообще, за примем произвольную цифру, не совпадающую с . Очевидно, что эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной из дробей, содержащихся в перечне (4).

Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке , не исчерпывает этого отрезка. Теорема доказана.

Замечание 3. Приведенное доказательство содержит небольшой изъян. Некоторые числа (например, числа вида ) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток:

Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различие изображаемых ими чисел.

Однако если дробь строить осторожнее, так, чтобы она не содержала ни нулей, ни девяток, то доказательство становится корректным.

Задача 1. Доказать, что числа, обладающие двумя различными десятичными разложениями, образуют счетное множество.

Итак, отрезок дает пример несчетного множества.

Теорема Кантора-Бернштейна. Следующая теорема является одной из основных в теории множеств.

Теорема 4 (Кантор, Бернштейн). Пусть и – два произвольных множества. Если существует взаимно однозначное отображение множества на подмножество множества и взаимно однозначное отображение множества на подмножество множества , то и эквивалентны.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что и не пересекаются. Разобьем элементы множеств и на классы следующим образом. Элемент из (из ) называется предшественником элемента из (соответственно из ) в том и только в том случае, если можно получить из последовательным, однократным или многократным применением отображений и (соответственно и ). Разобьем теперь на три множества: , состоящее из элементов, общее число предшественников каждого из которых четно, – множество элементов с нечетным числом предшественников и - множество всех элементов, имеющих «бесконечный хвост» предшественников. Разбив аналогичным образом множество , заметим, что отображает на и на , а отображает на . Итак, взаимно однозначное отображение

, совпадающее с на и с на , есть взаимно однозначное отображение всего на все . Теорема доказана.

Замечание 4. Число различных предшественников может быть и конечно: они могут «зацикливаться», образуя бесконечную последовательность, содержащую лишь конечное число попарно различных элементов.
Понятие мощности множества. Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов. Если же эквивалентные между собой множества и произвольны, то говорят, что и имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств.

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается символом (читается «алеф нуль»). Про множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел отрезка [0,1], говорят, что они имеют мощность континуума.

Весьма глубокий вопрос о существовании множеств с мощностью, промежуточной между «алеф нуль» и континуумом, будет затронут ниже.

Для мощностей конечных множеств, т.е. для натуральных чисел, у нас, кроме понятия равенства, имеются также понятия «больше» и «меньше». Как распространить эти понятия на бесконечные мощности?

Пусть и – два произвольных множества, а и – их мощности. Тогда логически возможны следующие случаи:

1. эквивалентно некоторой части множества , а эквивалентно некоторой части множества .

2. содержит некоторую часть, эквивалентную , но в нет части, эквивалентной множеству .

3. содержит некоторую часть, эквивалентную , но в нет части, эквивалентной множеству .

4. Ни в одном из этих двух множеств нет части, эквивалентной другому.

В первом случае множества и в силу теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентны между собой, т.е. .

Во втором случае естественно считать, что , а в третьем, что .

Наконец, в четвертом случае нам пришлось бы считать, что мощности множеств и несравнимы между собой. Но на самом деле этот случай невозможен! Это следует из теоремы Цермело (см. ниже).

Итак, любые два множества и либо эквивалентны между собой (и тогда ), либо удовлетворяют одному из двух соотношений:

или .

Счетные множества – это «самые маленькие» из бесконечных множеств, так как мы показали, что любое бесконечное множество содержит в себе счетное подмножество. Мы убедились также в том, что существуют бесконечные множества, бесконечность которых имеет более «высокий порядок», – это множества мощности континуум.

Возникает вопрос, а существуют ли мощности, превосходящие мощность континуума? Вообще, существует ли какая-то «наивысшая» мощность или нет? Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема 5. Пусть - некоторое множество и пусть – множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества . Тогда имеет мощность большую, чем мощность исходного множества .

Доказательство. Легко видеть, что мощность множества не может быть меньше мощности множества . Действительно, «одноэлементные» подмножества из образуют в часть, эквивалентную множеству . Остается доказать, что мощности и не совпадают.

Пусть между элементами множества и какими-то элементами множества (т.е. какими-то подмножествами из ) установлено взаимно однозначное соответствие:

.

Покажем, что оно наверняка не исчерпывает всего . Сконструируем такое множество , которому не соответствует никакой элемент из . Пусть – совокупность элементов из , не входящих в те подмножества, которые им соответствуют.

Подробнее: если и , то элемент мы не включаем в , а если и , то мы включаем элемент в .

Ясно, что есть подмножество множества , т.е. некоторый элемент из .

Покажем, что подмножеству не может соответствовать никакой элемент из . Допустим, что какой-то элемент существует; посмотрим, будет ли он содержаться в или нет? Если , то по построению множества должно быть . Если же предположить, что , то опять же по построению множества должно быть . Итак, элемент , отвечающий подмножеству , должен одновременно и содержаться и не содержаться в . Отсюда следует, что такого элемента вообще не существует, т.е. взаимно однозначного соответствия между элементами множества и всеми его подмножествами установить нельзя. Теорема доказана.

Замечание 5. Мощность множества обозначают символом , где - мощность множества . Смысл этой записи становится очевидным после рассмотрения множества всех подмножеств конечного множества.

Упражнение 8. Доказать, что совокупность всех числовых функций, определенных на некотором множестве , имеет мощность большую, чем мощность множества .

Указание. Воспользоваться тем, что множество всех индикаторов, т.е. функций на множестве , принимающих только два значения, 0 и 1, эквивалентно множеству всех подмножеств из .
Частично упорядоченные множества. Пусть – произвольное множество и – некоторое бинарное отношение в нем (определяемое некоторым множеством ). Мы назовем это бинарное отношение частичной упорядоченностью, если оно удовлетворяет условиям:

1. 
   рефлексивности: ,
   
2. 
   транзитивности: если и , то ,
   
3. 
   антисимметричности: и , то .
   

Частичную упорядоченность принято обозначать символом . Таким образом, запись означает, что пара . Про элемент при этом говорят, что он не превосходит или что он подчинен . Множество, в котором задана некоторая частичная упорядоченность, называются частично упорядоченным.


Примеры частично упорядоченных множеств.

6) Всякое множество можно тривиальным образом рассматривать как частично упорядоченное, если положить в том и только том случае, когда . Иначе говоря, за частичную упорядоченность можно принять бинарное отношение тождества . Этот пример, конечно, не представляет интереса.

7) Пусть - множество всех непрерывных функций на отрезке . Положив в том и только том случае, когда для всех . Очевидно, это – частичная упорядоченность.

8) Множество всех подмножеств некоторого фиксированного множества частично упорядочено по включению: означает, что .

9) Множество всех натуральных чисел частично упорядочено, если означает « делится без остатка на ».

Упражнение 9. Убедитесь в том, что примеры 6 – 9 действительно удовлетворяют трем аксиомам частичной упорядоченности.

Пусть – произвольное частично упорядоченное множество. В случае, когда и , мы будем пользоваться символом , т.е. писать и говорить, что меньше или что строго подчинено . Наряду с записью мы будем пользоваться равносильной записью и говорить при этом, что не меньше (больше , если ) или что следует за .

Элемент называется максимальным, если из следует, что . Элемент называется минимальным, если из следует, что .

Замечание 6. Частично упорядоченное множество, для любых двух точек , которого найдется следующая за ними точка , называется направленным.
Отображения, сохраняющие порядок. Пусть и – два частично упорядоченных множества и пусть есть отображение в . Мы скажем, что это отображение сохраняет порядок, если из , где , следует (в ). Отображение называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств и , если оно взаимно однозначно, а соотношение выполнено в том и только том случае, когда . Сами множества и называются при этом изоморфными между собой.

Пример 10. Пусть есть множество натуральных чисел, частично упорядоченных по «делимости» (см. пример 9, стр. 24), а – то же самое множество, но упорядоченное естественным образом, т.е. так, что , если – положительное число. Тогда отображение на , ставящее в соответствие каждому числу его само, сохраняет порядок (но не является изоморфизмом).
Порядковые типы. Упорядоченные множества. Про изоморфные между собой частично упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип – это то общее, что присуще всем изоморфным между собой частично упорядоченным множествам, подобно тому, как мощность – это то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам.

Пусть и – элементы частично упорядоченного множества. Может оказаться, что ни одно из соотношений и не имеет места. В этом случае элементы и называются несравнимыми.

Таким образом, отношение порядка определено лишь для некоторых пар элементов; поэтому мы и говорим о частичной упорядоченности. Если же в частично упорядоченном множестве несравнимых элементов нет, то множество называется упорядоченным (или линейно упорядоченным).

Итак, множество называется упорядоченным, если оно частично упорядочено и если для любых двух различных элементов обязательно либо , либо .

Множества, указанные в примерах 6 – 9 предыдущего пункта, являются лишь частично упорядоченными. Простейшими примерами линейно упорядоченных множеств могут служить натуральные числа, совокупность всех рациональных чисел, всех действительных чисел на отрезке и т.п. (с естественными отношениями «больше» и «меньше», которые в этих множествах имеются).

Ясно, что всякое подмножество упорядоченного множества само упорядочено.

Поскольку упорядоченность есть частный случай частичной упорядоченности, к упорядоченным множествам применимо понятие отображения, сохраняющего порядок, и, в частности, понятие изоморфизма. Поэтому можно говорить о порядковом типе упорядоченного множества.

Ряд натуральных чисел с естественным отношением порядка между его элементами представляет собой простейший пример бесконечного упорядоченного множества. Его порядковый тип принято обозначать символом .

Если два частично упорядоченных множества изоморфны между собой, то они, конечно, имеют одинаковую мощность. Поэтому можно говорить о мощности, отвечающей данному порядковому типу (например, типу отвечает мощность «алеф нуль»). Обратное неверно; множество данной мощности может быть упорядочено, вообще говоря, многими разными способами.

Лишь порядковый тип линейно упорядоченного конечного множества однозначно определяется числом его элементов (и обозначается также через ). Уже для счетного множества натуральных чисел возможен, например, наряду с естественным типом , такой тип:

,

т.е. такой тип, когда любое четное число следует за любым нечетным, а нечетные и четные числа между собой упорядочены по возрастанию. Можно показать, что число различных порядковых типов, отвечающих мощности «алеф нуль», бесконечно и даже несчетно.

Упорядоченная сумма упорядоченных множеств. Пусть и – два непересекающихся (линейно) упорядоченных множества с порядковыми типами и . В объединении множеств и можно ввести порядок, считая, что два элемента из упорядочены как в , два элемента из упорядочены как в и что всякий элемент из предшествует всякому элементу из . (Проверьте, что это действительно линейная упорядоченность!) Такое упорядоченное множество мы будем называть упорядоченной суммой множеств и и обозначать . Здесь важен порядок слагаемых: сумма не изоморфна, вообще говоря, сумме .

Порядковый тип суммы мы будем называть упорядоченной суммой порядковых типов и и обозначать .

Это определение легко распространяется на произвольное конечное число слагаемых .

Пример 11. Рассмотрим порядковые типы и . Легко видеть, что ; действительно, если мы к натуральному ряду припишем слева конечное число элементов, то мы получим тот же порядковый тип . В то же время порядковый тип , т.е. порядковый тип множества

не равен, очевидно, .

Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа.

Выше мы ввели понятия частичной упорядоченности и (линейной) упорядоченности. Введем еще более узкое, но весьма важное понятие полной упорядоченности.

Определение 2. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество содержит наименьший (т.е. предшествующий всем элементам этого подмножества) элемент.

Если упорядоченное множество конечно, то оно, очевидно, и вполне упорядочено. Примером упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества может служить отрезок . Само это множество содержит наименьший элемент – число , но его подмножество, состоящее из положительных чисел, наименьшего элемента не содержит.

Ясно, что всякое (непустое) подмножество вполне упорядоченного множества само вполне упорядочено.

Порядковый тип вполне упорядоченного множества называют порядковым числом (трансфинитным порядковым числом или трансфинитом, когда хотят подчеркнуть, что речь идет о бесконечном множестве).

Натуральный ряд (с естественным отношением порядка) представляет собой множество не только упорядоченное, но и вполне упорядоченное. Таким образом, его порядковый тип есть порядковое число (трансфинит!). Порядковым числом будет и , т.е. тип множества .

Напротив, множество упорядочено, но не вполне упорядочено. Здесь в каждом непустом подмножестве есть наибольший элемент (т.е. следующий за всеми), но, вообще говоря, нет наименьшего. Например, в его подмножестве , состоящем из отрицательных четных чисел, нет наименьшего элемента.

Лемма 1. Упорядоченная сумма конечного числа вполне упорядоченных множеств есть вполне упорядоченное множество.

Доказательство. Пусть – произвольное подмножество упорядоченной суммы вполне упорядоченных множеств. Рассмотрим первое из множеств , содержащее элементы из . Порция множества , приходящаяся на , является подмножеством вполне упорядоченного множества и, значит, имеет первый элемент. Этот элемент будет первым элементом и всего .

Следствие. Упорядоченная сумма порядковых чисел является порядковым числом.

Мы можем, таким образом, отправляясь от некоторого запаса порядковых чисел, строить новые порядковые числа. Например, отправляясь от натуральных чисел (т.е. конечных порядковых чисел) и порядкового числа , можно получить порядковые числа и т.д.

Легко построить вполне упорядоченные множества, отвечающие этим трансфинитам.

Наряду с упорядоченной суммой порядковых типов можно ввести упорядоченное произведение. Далее можно развивать «арифметику» порядковых типов. Но мы не будем этим заниматься.

Сравнение порядковых чисел. Если и – два конечных порядковых числа, то они либо совпадают, либо одно из них больше другого. Распространим это отношение порядка на трансфинитные порядковые числа.

Введем для этого следующие понятия. Всякий элемент линейно упорядоченного множества определяет начальный отрезок (совокупность элементов ) и остаток (совокупность элементов ).

Пусть и – два порядковых числа, а и – множества типа и соответственно. Мы скажем, что , если множества и изоморфны, что , если изоморфно какому-либо начальному отрезку множества , и что , если, обратно, изоморфно начальному отрезку множества .

Теорема 6. Любые два порядковых числа и связаны между собой одним и только одним из соотношений:

, или .

Для доказательства установим, прежде всего, следующую лемму.

Лемма 2. Если – изоморфное отображение вполне упорядоченного множества на какое-то его подмножество , то для всех .

Действительно, если бы имелись такие элементы , что , то среди них был бы первый (полная упорядоченность!). Пусть это – элемент и пусть . Тогда и, поскольку – изоморфизм, , т.е. не был первым среди элементов с указанным свойством.

Из этой леммы сразу же следует, что вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему отрезку. Если бы было изоморфно отрезку, определяемому элементом , то выполнялось бы соотношение . Поэтому соотношения и не могут иметь места одновременно. Аналогично не может быть одновременно и . Точно также несовместимы соотношения и , так как мы получили бы (транзитивность!), что , а это, как мы видели, невозможно. Итак, мы показали, что наличие одного из соотношений

, ,

исключает два остальных.

Покажем теперь, что одно из этих соотношений всегда имеет место, т.е. что любые два порядковых числа сравнимы.

Сначала для каждого порядкового числа построим множество , служащее его «стандартным представителем». Именно, примем за множество всех порядковых чисел, меньших .

Числа, входящие в , все сравнимы между собой, а само множество (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип . Действительно, если множество

имеет тип , то, по самому определению, порядковые числа, меньшие, чем , взаимно однозначно отвечают начальным отрезкам множества , а следовательно, и элементам этого множества. Иначе говоря, элементы множества, имеющего тип , можно перенумеровать с помощью порядковых чисел, меньших :

.

Пусть теперь и – два порядковых числа; тогда и – множество типов и соответственно. Пусть, далее, – пересечение множеств и , т.е. совокупность порядковых чисел, меньше и одновременно. Множество вполне упорядочено; обозначим его тип . Покажем, что . Действительно, если , то , если же , то есть отрезок множества и тогда . В самом деле, при всех , числа и сравнимы, т.е. либо , либо . Но соотношение невозможно, так как тогда . Итак, , откуда и видно, что есть отрезок множества и . Кроме того, есть первый элемент множества . Итак,

и аналогично .

При этом случай , невозможен, так как тогда мы имели бы

, ,

т.е., с одной стороны, , с другой стороны, . Следовательно, возможны лишь случаи

т.е. и сравнимы. Теорема полностью доказана.

Каждому порядковому числу отвечает определенная мощность, а из сравнимости порядковых чисел следует, очевидно, и сравнимость соответствующих мощностей. Поэтому: если и – два вполне упорядоченных множества, то либо они эквивалентны между собой (равномощны), либо же мощность одного из них больше, чем мощность другого (т.е. вполне упорядоченные множества не могут иметь несравнимых мощностей).

Рассмотрим совокупность всех порядковых чисел, отвечающих конечной или счетной мощности. Они образуют вполне упорядоченное множество. Нетрудно убедиться в том, что само это множество уже несчетно. Действительно, обозначим, в соответствии с общепринятой символикой, через порядковый тип множества всех счетных трансфинитов. Если бы отвечающая ему мощность была счетной, то счетным было бы и множество, имеющее порядковый тип . Вместе с тем число следует, очевидно, за всеми трансфинитами, отвечающими конечной или счетной мощности.

Обозначим мощность, отвечающую порядковому трансфиниту , символом . Легко видеть, что никаких мощностей , удовлетворяющих неравенству

,

нет. Действительно, если бы такая мощность существовала, то в множестве всех порядковых трансфинитов, предшествующих , имелось бы подмножество мощности . Это подмножество вполне упорядочено и несчетно. Но тогда его порядковый тип предшествовал бы и в то же время следовал бы за всеми счетными трансфинитами. Мы получили бы противоречие с определением .

Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные утверждения. Сравнимость вполне упорядоченных множеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя ли всякое множество вполне упорядочить каким-либо образом? Положительный ответ означал бы, в частности, что несравнимых мощностей вообще не существует.

Теорема Цермело. Каждое множество может быть вполне упорядочено.

Доказательство этой теоремы (см. [14]) существенно опирается на так называемую аксиому выбора.

Сформулируем утверждения, которые эквивалентны теореме Цермело.

Аксиома выбора. Пусть – некоторое множество индексов и пусть для каждого задано некоторое произвольное множество . Тогда можно построить функцию на , относящую каждому некоторый элемент из соответствующего множества .

Иными словами, можно составить некоторое множество, выбрав из каждого по одному и только одному элементу.

Для формулировки других предложений (теорема Хаусдорфа, лемма Цорна) введем следующие понятия. Пусть – частично упорядоченное множество. Всякое его подмножество , в котором любые два элемента сравнимы между собой (в смысле введенной в частичной упорядоченности), будем называть цепью. Цепь называется максимальной, если она не содержится в качестве истинного подмножества ни в какой другой цепи, принадлежащей . Далее, назовем в частично упорядоченном множестве элемент верхней гранью подмножества , если любой элемент подчинен .

Теорема Хаусдорфа. В частично упорядоченном множестве всякая цепь содержится в некоторой его максимальной цепи.

Лемма Цорна. Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то всякий элемент из подчинен некоторому максимальному элементу.

Доказательство равносильности всех приведенных утверждений (аксиомы выбора, теоремы Цермело, теоремы Хаусдорфа и леммы Цорна) имеется в книге [15].

Трансфинитная индукция. Распространенный метод доказательства – это метод математической индукции. Смысл его в следующем. Пусть имеется некоторое утверждение , которое сформулировано для каждого натурального , и пусть известно, что

1. 
   утверждение верно;
   
2. 
   из того, что верно для всех , следует, что верно.
   

Тогда утверждение верно для всех . Действительно, в противном случае среди тех , для которых неверно, нашлось бы наименьшее число, скажем, . Очевидно, что , т.е. тоже натуральное число, и мы приходим к противоречию с условием 2).

Аналогичный прием может быть использован с заменой натурального ряда любым вполне упорядоченным множеством. Метод трансфинитной индукции состоит в следующем. Пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество (если угодно, его можно считать множеством всех порядковых трансфинитов, меньших некоторого данного). Пусть, далее, – некоторое утверждение, формулируемое для каждого и такое, что верно для первого элемента из и верно для , если оно верно для всех элементов, предшествующих . Тогда верно для всех . Действительно, если бы существовали элементы в , для которых не имеет места, то в множестве таких элементов нашелся бы первый, скажем, , и мы пришли бы к противоречию, поскольку для всех утверждение было бы верно.

Так как в силу теоремы Цермело всякое множество можно вполне упорядочить, трансфинитная индукция может быть применена к любому множеству. Однако практически бывает удобнее пользоваться заменяющей ее леммой Цорна, которая опирается лишь на наличие частичной упорядоченности в рассматриваемом множестве. А некоторая частичная упорядоченность рассматриваемых объектов в задачах возникает естественным образом.