Лекция №5 изгиб основные понятия

Лекция № 5
ИЗГИБ
5.1. Основные понятия
Балка – стержень, работающий на изгиб. Изгиб возникает тогда, когда в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент и, возможно, поперечная сила. Если из внутренних сил не равны нулю только Мх ( Мх и Qy ) , то балка испытывает изгиб в вертикальной плоскости, если Му (Му и Qx) , то в горизонтальной плоскости. В том случае, если поперечное сечение балки имеет ось симметрии, а балка – плоскость симметрии и равнодействующие всех внешних нагрузок, в том числе реакций опор, лежат в плоскости симметрии балки, называемой силовой плоскостью, изгиб называется плоским. При этом изогнутая ось балки будет представлена плоской кривой, лежащей в плоскости симметрии балки.

Балки устанавливаются на опорах, которые бывают: шарнирно – подвижные, ( рис. 5.1,а , опора В ), шарнирно – неподвижные, ( рис. 5.1,б, опора А ), жесткое защемление или заделка, ( рис 5.1,в ). Для плоской системы сил в силовой плоскости выполняются три уравнения равновесия статики, поэтому в опорах статически определимой балки должно возни-кать три реакции. Типы таких балок: простая однопролетная, расстояние между опорами называется пролетом ( рис. 5.1,а), консольная балка с одной или двумя ( рис 5.1,б ) консолями, балка - консоль ( рис 5.1,в ).

5.2. Дифференциальные зависимости при изгибе
Вырежем из балки сечениями I – I и I – II участок АВ, длиной dz ( рис. 5.2 ). В сечении 1 - 1 приложим внутренние силы M_Xи Q_Y.

В сечении П – П из–за приращения координаты z на dz , внутренние силы также получат приращения и станут равными M_X+ dM_X, Q_Y+ dQ_Y.

Поперечная сила прикладывается так, чтобы она вращала рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент будем прикладывать так, чтобы он растягивал нижние волокна в

рассматриваемой части балки. Вследствие малости dz нагрузку q будем считать постоянной на этом участке. Так как балка находится в равновесии, то участок АВ находится в равновесии ( рис. 5.3 ).

Рис. 5.2 Рис. 5.3

Запишем уравнения равновесия статики. : ; ; = .

Из этой зависимости следует, что если распределенная нагрузка отсутствует, то есть , то , если , то Q_Y– ли-нейно зависит от координаты z.

. – M_X – Q_Y dz + q dz () + M_X + dM_X = 0.

. Величина - бесконечно малая высшего ( второго ) порядка малости, ей пренебрегаем по сравнению с остальными величинами первого порядка малости. Получаем

( 5.1 )

Следствия из этой зависимости:

1. Если , то = const – это чистый изгиб.

2. Если в какой-то точке, и меняет знак в окрестности этой точки, то в этой точке принимает экстремальное значение, что используется для нахождения третьей точки при построении криволинейной эпюры изгибающих моментов.

5.3. Нормальные напряжения при изгибе
При выводе формулы для определения нормальных напряжений будем использовать следующие допущения :

Плоские поперечные сечения, перпендикулярные оси балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными оси балки во время изгиба, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол.
Волокна балки, параллельные ее оси, растягиваются или сжимаются и не давят друг на друга в поперечном направлении.
Деформации волокон по ширине балки постоянны.

Точно эти допущения выполняются для случая чистого изгиба, но с высокой степенью точности их можно применять и при наличии поперечной силы.

Так как при изгибе одни волокна балки растягиваются, а другие сжимаются, то между ними находятся волокна, которые не растягиваются и не сжимаются, а только изгибаются. Эти волокна образуют нейтральный слой балки. Пересечение силовой плоскости балки и нейтрального слоя называется нейтральной осью балки.

Рассмотрим балку в условиях чистого изгиба. Проведем два сечения I – I и II – II на расстоянии dz друг от друга ( рис. 5.4 ). Пусть ось z – нейтральная ось. Волокно расположено на нейтральном слое.

Волокно АВ расположено на расстоянии у от нейтрального слоя. АВ=ОО₁ . Нарисуем балку после изгиба. ( рис. 5.5 ). Сечения I – I и II – II , оставаясь плоскими, повернутся друг относи-тельно друга на угол da и

пересекутся в точке К Рис. 5.4

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Точка К – центр кривизны нейтральной оси балки, ρ - радиус кривизны нейтральной оси. Абсолютное удлинение волокна АВ будет равно

D_АВ = А₁В₁ – АВ . Относительное удлинение или линейная деформация

волокна АВ будет

Так как материал подчиняется закону Гука, то напряжения будут равны

. ( 5.2 )

Используем метод сечений и рассмотрим правый участок балки ( рис. 5.6 ). Так как участок балки находится в равновесии, то должны выполняться все уравнения равновесия статики. Некоторые из них : , , выполняются тождественно. Запишем остальные три уравнения равновесия:

. Используем ( 5.2 )

но E ¹ 0, и, если r = ∞, то балка прямая, то есть она не изогнулась, что противоречит условию. Значит S_X=0, то есть, ось х – центральная ось.

Из тех же соображений следует, что

, то есть

, и оси x и y являются главными.

, или

, откуда

. (5.3)

Здесь - кривизна нейтральной оси балки при изгибе, EI_X - жесткость балки при изгибе. Подставим выраже-ние ( 5.3 ) в формулу ( 5.2 ) и получим формулу для

Рис. 5.7 определения нормальных напряжений при изгибе.

. ( 5.4 )

Построим эпюру нормальных напряжений при изгибе ( рис. 5.7 ). Максимальные напряжения возникают при .

. ( 5.5 )

Из условия прочности балки при изгибе по допускаемым нормальным напряжениям , можно подобрать сечение балки

. ( 5.6 )

Как видно из рис. 5.7, наиболее нагруженными, то есть полностью работающими, являются волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя. Поэтому по возможности удаляют из балок материал, расположенный близко к нейтральному слою, и получают такие сечения, как двутавр, швеллер. Рациональными сечениями являются такие, у которых наибольшее значение при наименьшей площади сечения.

5.4. Касательные напряжения при изгибе
Касательные напряжения при изгибе возникают от действия поперечной силы. При выводе формулы для касательных напряжений сделаем следующие допущения:

1. Касательные напряжения в каждой точке поперечного сечения считаются параллельными поперечной силе (точно это выполняется только для прямоугольного поперечного сечения)

2. Касательные напряжения постоянны по ширине сечения.

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения размерами h*b , находящуюся в состоянии плоского изгиба. Вырежем параллелепипед

двумя поперечными

сечениями I-I и II-II , и продольным сечением III-III, проведенным на расстоянии y от нейтрального слоя.

В сечении I-I действует

Рис. 5.13 Рис. 5.14 изгибающий момент М_x, в сечении II-II действует изгибающий момент М_х+dМ_х. Будем считать, что на элементе dz распределенная нагрузка отсутствует. Тогда попереч- ная сила Q_y на этом элементе будет постоянной. Заменим действие отброшенной части балки на этот элемент нормальными и касательными напряжениями. Равнодействующая всех нормальных усилий на левой грани –N₁, на правой – N₂. Равнодействующую касательных напряжений, действующих на нижнюю грань, обозначим через dT.

N₁=

; N₂=

;

Так как этот элемент находится в равновесии, то из уравнения равновесия

. Величина

- статический момент части сечения, которая расположена выше исследуемой точки, относительно оси X

. Рис. 5.16

Тогда . ( 5.7 )

Это формула Жуковского для определения касательных напряжений. Обычно сечение балки подбирают по нормальным напряжениям и проверяют по касательным.- условие прочности по касательным напряжениям. Найдем касательные напряжения в балке, прямоугольного

поперечного сечения ( рис. 5.1,6 ).

Таким образом касательные напряжения изменяются по высоте балки по параболическому закону ( рис. 5.1,6 ).

При y = 0 , при y =  h/2 =0.

Для балки круглого поперечного сечения. .

Иначе распределяются касательные напряжения по сечению прокатных профилей. Двутавр - тонкостенный профиль, и касательные напряжения в нем направлены вдоль профиля ( рис. 5.17 ). Только на стенке двутавра они параллельны поперечной силе. Для двутавра:

. Величины приводятся в приложении 1 .

Рис. 5.17 Рис. 5.18

Рассмотрим распределение касательных напряжений в швеллере ( рис. 5.18 ). Поперечная сила Q_y проходит через центр тяжести сечения. Составляющие касательных напряжений, параллельные поперечной силе , будут, как и у двутавра в стенке. На полках швеллера касательные напряжения распределяются по линейному закону, как и у двутавра. Силы, возникающие от касательных напряжений на полках и в стенке швеллера, создают крутящий момент относительно центра тяжести С, поэтому, кроме изгиба, возникает и кручение. Для того, чтобы крутящий момент не возникал, вертикальную нагрузку надо прикладывать не в точке С, а в точке К, называемой центром изгиба. Для этого необходимо конструктивно создать условия приложения вертикальной нагрузки. Расстояние от средней линии стенки до точки К равно

, где А_ст=hs, А_пол=bt. Кручение балок происходит от действия поперечной силы, поэтому в случае чистого изгиба оно не возникает.

Лекция № 6
ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ

НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
6.1. Косой изгиб

Раньше мы рассматривали изгиб балок, когда силовая плоскость совпадала с одной из главных плоскостей балки. Если же нагрузка не лежит в главных плоскостях балки, изгиб называется косым. Расчет балок на косой изгиб рассмотрим на примере изгиба балки–консоли, изображенной на рис.6.1. Разложим силу F на вертикальную F_Y= F cos и горизонтальную F_X = F sin составляющие. От действия F_Y в сечении 1 – 1 возникает изгибающий момент

M_X= F_Yz= F z cos = M cos , изгибающий балку в вертикальной плоскости, а от действия F_X-изгибающий момент

M_Y = F_Xz= F z sin = M sin, изгибающий балку в горизонтальной плоскости.

Используем принцип суперпозиции и сложим напряжения, возникающие от M_X и M_Y.

 =  ( M_X ) +  ( M_Y ) =

( 6.1 )

Найдем положение нейтральной линии ( Н-Л ), делящей сечение балки на растянутую и сжатую зоны. Ее координаты обозначим х^о и у^о. На нейтральной линии  = 0. Тогда из уравнения ( 6.1 ) получим

( 6.2 )
Это уравнение нейтральной линии. Если х⁰=0 то из уравнения (6.2) следует, что у⁰=0, то есть нейтральная линия проходит через начало координат. Найдем угол β наклона нейтральной оси к оси х. (рис.6.2)

Из треугольника OCD , из уравнения (6.2) .

Отсюда . Если I_x=I_y, ,то балка не испытывает косой изгиб.

Опасными точками в сечении являются точки А и В, наиболее удаленные от нейтральной линии. Их находят, проводя касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. В точке А( х_А , y_A ) материал испытывает растяжение, а в точке В( х_B , y_B ) – сжатие. Если материал разносопротивляется растяжению и сжатию, то проверяют условия прочности, как на растяжение, так и на сжатие. Из формулы (5.1)

Прогиб при косом изгибе перпендикулярен нейтральной линии. Это можно получить самостоятельно, рассматривая изгиб балки - консоли под действиям сосредоточенной силы, приложенной на ее конце.
6.2. Внецентренное растяжение – сжатие

В том случае, когда линия действия нагрузки параллельна оси стержня, но не совпадает с ней, стержень испытывает внецентренное растяжение или сжатие. Рассмотрим внецентренное сжатие ( рис. 6.3,а ). Перенесем силу F в точку О к оси стержня. При этом к силе F добавятся два изгибающих момента M_x = Fy_F и My = Fx_F( рис. 6.3,б ). Используем принцип суперпозиции и определим напряжение в сечении от

центрального сжатия силой F Рис. 6.3

и изгиба от моментов M_x и M_у

(6.3)

Найдем положение нейтральной линии (H-Л), делящей сечение стержня на растянутую и сжатую зоны. Координаты нейтральной линии обозначим х⁰ и у⁰. На нейтральной линии . Тогда из формулы (6.3) получим

(6.4)

Для построения нейтральной линии вычислим отрезки, а_х- это х⁰ при у⁰ = 0 и а_у – это у⁰при х₀= 0, отсекаемые нейтральной линией на осях координат ( рис. 6.4 ).

Из уравнения (6.4) при у⁰=0 получим

(6.5)
При х⁰=0 получим

(6.6)

;

Для некоторых материалов нежелательно, чтоб в сечении возникали напряжения разных знаков. Так, например, серый чугун, бетон плохо сопротивляются растяжению. Для стержней из таких материалов находят

ядро сечения - область, расположенную вокруг центра тяжести сечения и обладающую следующим свойством: если внецентренную нагрузку приложить внутри ядра сечения, то напряжения в сечении будут одного знака. Построим ядро сечения для прямоугольного ( рис. 6.5,а ) и круглого ( рис. 6.5,б ) сечений.

Так как нейтральная линия не должна пересекать сечение, то есть делить его на растянутую и сжатую зоны , то предельное ее состояние – касательная к контуру сечения. Для прямоугольного поперечного сечения ( рис. 6.5,а ), отрезки, отсекаемые нейтральной линией Н-Л на осях координат, равны , .

Тогда из выражений ( 6.5 ) и ( 6.6 ) получим

,

Отложим точку I с такими координатами. Проведем нейтральные линии через другие стороны прямоугольного контура и найдем координаты точек II, Ш и IV. Соединим их и получим контур ядра сечения.

Для круглого поперечного сечения ( рис. 6.5, б ), отрезки,

отсекаемые нейтральной линией Н - Л на осях координат,

равны , .

Тогда из выражений ( 6.5 ) и ( 6.6) получим

Отложим точку I с такими координатами. Поворачиваем нейтральную линию как касательную к контуру и получим ядро сечения в виде круга.

6.3. Изгиб с кручением
Если в поперечном сечении стержня равна нулю только продольная сила N , то стержень испытывает изгиб с кручением. Таким образом, зада-ча сводится к расчету стержня на косой изгиб и кручение. Наиболее часто

изгиб с кручением испытывают валы круглого или кольцевого сечений. В этом случае I_X = I_Y и мы имеем не косой, а плоский изгиб для каждого сечения в своей плоскости. В этом случае расчет вала на изгиб с кручени-ем проводится следующим образом:

находим значения крутящих моментов и строем эпюру M_К;
определяем нагрузки, изгибающие вал в горизонтальной и вертикаль-ной плоскостях и строем эпюры изгибающих моментов M_X и M_Y;
находим суммарные изгибающие моменты в сечениях вала по формуле

;

находим опасные сечения вала, в которых величины крутящего и суммарного изгибающих моментов являются либо максимальными, либо достаточно большими;
наиболее напряженными точками в опасных сечениях вала являются точки на его периферии, в которых касательные и нормальные напряжения максимальны : , .;
так как материал вала испытывает плоское напряженное состояние, рас-чет проводим с использованием критерия прочности и пластичности.

Валы обычно изготавливаются из малоуглеродистой стали, поэтому используем критерий наибольших касательных напряжений или энергетический критерий. Для этого определяем величины главных напряжений. Учитывая, что W_P = 2 W_X , условие прочности запишем для проверочного расчета

где - расчетный момент по критерию наибольших

касательных напряжений, или - расчетный

момент по энергетическому критерию;

при проектировочном расчете размеры поперечного сечения вала найдем из условия

.
6.4. Расчет винтовых цилиндрических пружин
Геометрия пружины определяется средним диаметром витка D , числом витков - n; углом подъема витка - . Шаг пружины

. Обычно S<Рассмотрим пружины из круглой проволоки диаметром d.

а б в

Рис. 6.6 Рис. 6.7

Расчет пружин растяжения – сжатия. Используем метод сечений ( рис. 6.7 ). В поперечном сечении проволоки, параллельно оси пружины действуют силы F и

. В нормальном поперечном сечении проволоки ( рис. 6.8 ) возникают внутренние силы:

Рис. 6.8 Рассчитаем пружину на прочность. Влиянием М_изг и N пренебрегаем так. как  мал ( sin0; cos1 ). В поперечном сечении возникают касательные напряжения от поперечной силы Q и от крутящего момента М_к.

;

, где

- индекс пружины.

Так как , то получим .

Для пружинной стали:.

Определим перемещение пружины. Пренебрегаем перемещениями от действия Q, а также от действия N и М_изг , которые малы, так как sin мал. Остается перемещение от М_кр. Используем интеграл Мора для определения вертикального перемещения  пружины. Приложим фиктивную единичную силу в направлении перемещения.

Тогда . . Откуда , где - - длина развернутой пружины, ,

; и

Отогнутая часть для пружин растяжения и по ¾ витка с каждой стороны для пружины сжатия в расчет не принимаются.

Расчет пружин кручения. В вертикальном сечении проволоки прохо-дящем через ось пружины, действует горизонтальный момент m (рис. 6.9).

Рис. 6.9 Рис. 6.10

В нормальном сечении проволоки возникают M_K = m sin и M_изг = m cos

(рис.6.10). Пренебрегаем M_K.Условие прочности запишется .

Определим перемещение пружины. Для определения угла закручивания всей пружины используем интеграл Мора. Приложим к пружине единичный момент . Тогда перемещение пружины

.

Величина усилия F, или момента m, при которой деформация пружины равна 1 , называется жесткостью пружины – С. Для пружин

растяжения – сжатия , для пружин кручения .

Лекция № 7
ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ, ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ

7.1. Механизм усталостного разрушения

Действиям циклических напряжений подвергается материал во многих конструкциях. При этом, несмотря на то, что значение возника-ющих максимальных напряжений меньше предела прочности, спустя некоторое время при действии переменного напряжения в конструкции возникают трещины, и она разрушается. Если рассмотреть место разру-шения ( рис. 7.1 ), то можно увидеть гладкую ( блестящую ) зону 1 распро- странения усталостной трещины и зернистую зону 2 хрупкого разрушения ослабленного сечения.

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Микротрещины возникают в тех точках, где напряжения максимальны. Постепенно они сливаются в одну трещину, уменьшая при этом размер сечения конструкции, соответственно возрастает максимальное напряжение, и при достижении предельного напряжения, конструкция хрупко разрушается. Распространение трещины связывают с изменением структуры материала и называют - усталостью. Способность сопротивляться усталости называют выносливостью материала. Время от начала нагружения, до появления усталостной трещины, значительно больше времени, прошедшего от возникновения трещины до разрушения конструкции.

При рассмотрении периодической циклической нагрузки обычно огра-ничиваются синусоидальным законом изменения напряжений ( рис. 7.2 ).

Здесь Т – время цикла или цикл ; и - среднее напряжение и амплитуда переменного напряжения ( цикла ) ;

и - максимальное и минимальное напря-жения цикла.

Для характеристики циклов нагружения используются коэффициент асимметрии цикла или характеристика цикла .

Два цикла с одинаковыми r ( или равными k ) – называются подобными.

Если , то цикл называется симметричным.

Если , то цикл называется асимметричным, в частности,

если , то цикл называется пульсационным.

7.2. Расчет на выносливость

При испытании материалов на вы-носливость обычно применяют цилиндри-ческие полированные образцы диаметром 7 - 10 мм, длиной 70 – 100 мм. Приклады-вают к ним напряжения, изменяющиеся по заданному циклу, и определяют число

циклов до разрушения при данном _max.

Рис. 7.3. Каждой паре значений _maxиN соответствует точка ( рис. 7.3 ), соединяя которые получим кривую, называмую кривой усталости или кривой Веллера.

Пределом выносливости _r - называется максимальное напряжение цикла, при котором материал не разрушается при бесконечно большом числе циклов. Для большинства материалов не удается установить такое число циклов, пройдя которое, при дальнейшем испытании материал бы не разрушился ( цветные металлы, легированные стали, пластмассы ). В этом случае вводят условный предел выносливости -_-1_N при базовом числе циклов N₀, например, для цветных металлов и их сплавов N₀=10⁸циклов.

При симметричном цикле предел выносливости обозначается σ_-1.

Для обычных сталей _-1 (0.40.5) _В, τ_-10.56σ_-1- для кручения,

для высокопрочных сталей _-1 400+1/6_В, для хрупких материалов _-1 0.8_-1.

На величину предела выносливости влияют: форма детали, качество обработки поверхности, абсолютные размеры детали, вид цикла измене-ния напряжений, частота циклов, эксплутационные и другие факторы.

Влияние формы детали ( концентрации напряжений ). Учитывается эффективным коэффициентом концентрации

. Здесь σ₁- предел выносливости стандартного образца,

- предел выносливости образца с концентратором,

.

Влияние абсолютных размеров. Учитывается масштабным фактором

. Здесь _-1Д – предел выносливости образца заданного размера. Чем больше размер образца, тем предел выносливости ниже.
Влияние качества обработанной поверхности. Учитывается коэффи-циентом качества поверхности

;

- предел выносли-вости образца с заданной обработкой поверхности. При этом учитывается влияние механической ( точение, шлифование, полировка, накатывание, дробеструйная обработка ), термической ( закалка, отпуск ), химической ( азортирование) и других видов обработки поверхности.

Влияние вида цикла изменения напряжений. Для этого построем диа-грамму усталостной прочности материала. При испытаниях задаем _mи путем подбора определяем такую величину _a, при котором материал выдерживает базовое число циклов нагружения.. Откладываем эти точки при разных r ( рис. 7.4 ) и получаем диаграмму предельных амплитуд.

Рис. 7.4 Рис. 7.5

Затем, для действующего на деталь цикла напряжений, находим и _m и откладываем рабочую точку Е. Через начало координат и рабочую точку проведем луч ОЕ, на котором расположены все циклы , подобные дейст-вующему. Луч пересекает диаграмму предельных амплитуд в точке D, которой соответствует предельный подобный цикл. Если точка Е лежит на отрезке OD, то деталь выдержит число циклов нагружения , равное или большее базового числа циклов, а если за точкой D - то разрушение произойдет при числе циклов, меньшем, чем базовое. Для более точного расчета необходимо откорректировать и _mс учетом концентрации напряжений, состояния поверхности и масштабного фактор.

Величина называется запасом усталостной прочности или коэффициентом запаса прочности по выносливости.

Такие испытания достаточно дороги и продолжительны. Поэтому применяют упрощенные – схематизированные диаграммы. Простейшая такая схематизация состоит в том, что кривую диаграммы усталой проч-ности заменяют прямой AB ( рис. 7.4 ). При этом погрешность определе-ния коэффициента запаса прочности по выносливости идет в запас проч-ности детали. Иногда применяют более точную диаграмму ( рис. 7.5 ), построенную по трем сериям испытаний образцов при действии постоян-ной нагрузки, симметричном и пульсирующем циклах.

Формула, по которой находится коэффициент запаса усталостной прочности, зависит от выбранной схематизированной диаграммы. Учиты-вая влияние перечисленных выше факторов на величину предела вынос-ливости, можно получить

, где

_ = tg ( рис. 7.5 ). Для касательных напряжений все величины аналогич-ны соответствующим величинам для нормальных напряжений. Для углеро-дистых сталей _ = 0,1 – 0,2 , _ = 0,05 – 0,1 . Для легированных сталей _ = 0,2 – 0,3 , _ = 0,1 – 0,15.

Кроме коэффициента запаса усталостной прочности должен быть найден коэффициент запаса прочности по текучести для нормальных и

касательных напряжений

При отсутствии справочных данных можно приближенно принять:

для углеродистых сталей _-1 0,4 _В , _-1 0,6 _-1 ,

для легированных сталей _-1 0,5 _В,

для высоколегированных сталей _-1 400 + _В/6 ( Мпа) , _-1 0,8 _-1 ,

Зная, что предел выносливости зависит от рассмотренных выше факторов, для повышения выносливости можно применить следующие конструктивные и технологические способы :

уменьшение отрицательного влияния концентраторов напряжений путем выведения их в менее нагруженные зоны ;
конструктивное снижение концентрации напряжений путем исключения резких перепадов жесткостей и обеспечения плавного изменения профилей сечений, например, проектирование галтелей при резком изменении формы и размеров деталей;
повышением жесткости стыков путем перехода от открытых профилей к замкнутым и использования объемных вставок и мембран ;
проведение термической обработки поверхности детали, а также ее шлифование или полирование.

7.3. Выносливость при совместном действии изгиба и кручения

В ряде деталей, например в валах, напряжения изгиба и кручения меняются синфазно, то есть достигают своих максимальных и минимальных значений одновременно.

Для симметричного цикла можно получить диаграмму предельных напряжении. Затем находим коэффициент запаса усталостной прочности в предположении, что  = 0

и коэффициент запаса усталостной прочности в предположении, что  = 0.

При изгибе с кручением возникает сложное напряженное состояние, при котором коэффициент запаса прочности при выносливости находится по формуле Гаффа и Полларда

.

Кроме вычисления коэффициента запаса усталостной прочности, должен быть найден коэффициент запаса статической прочности.

Лекция № 8
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ
8.1. Устойчивые и неустойчивые системы
Устойчивость систем можно проиллюстрировать рисунками ( 8.1 ). На ( рис.8.1,а ) изображена устойчивая система, на ( рис. 8.1,б ) - неустойчивая, на ( рис.8.1,в ) - безразличная, и на ( рис.8.1,г ) - устойчивая “в малом”, но не устойчивая “в большом”.

Системой называется устойчивой, если она при малых возмущениях не переходит к качествен-но новому состоянию. Пусть на систему дей-ствуют силы, которые будем увеличивать. При определенном значении сил, система не вернется в первоначальную форму равновесия, а останется в новой форме равновесия. Момент перехода форм называется, бифуркацией, а силы, действующие на систему в этот момент, - критическими

. Переход к новому состоянию равновесия, называется потерей устойчивости.

При потере устойчивости возможны возникновение пластических деформаций и разрушение, продолжение работы, незатухающие коле-бания. Второй и третий варианты мы рассматривать не будем. Поэтому считаем, что критические силы являются предельными для конструкции.

Рабочая нагрузка F должна быть в n_y раз меньше критической

.

Здесь n_y- коэффициент запаса устойчивости.

При F = F_КР в конструкции возникают критические напряжения .

Для сжатого стержня .

8.2. Задача Эйлера
Пусть стержень сжимается силой

( рис. 8.2 ). Когда сила

достигнет критического значения

, то стержень изогнется. Используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при малых деформациях

В сечении стержня возникает изгибающий момент , тогда , или , или , где .

Общий интеграл этого дифференциального уравнения имеет вид:

Для нахождения посто-янных интегрирования, исполь-зуем условия на опорах стержня:

при , , отсюда ;

при , , то есть . Здесь , так как, если , то , то есть стержень прямой, что противоречит условию задачи.

Значит, , , , .

При , , то есть стержень прямой, что противоречит условию задачи. Откуда величины критических сил

При получим минимальное значение критической силы .

Надо учесть, что потеря устойчивости происходят в направлении наименьшей жесткости, перпендикулярно плоскости, проходящей через ось стержня и главную центральную ось, относительно которой . Тогда . В уравнении прогибов величина осталась неизвестной, но она должна быть достаточно мала, чтобы можно было воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Случаи и так далее без дополнительных опор при статическом действии нагрузки не реализуются.
8.3. Влияние способов закрепления концов стержня

на величину критической силы

Ф.С.Ясинский свел различные случаи опирания стержня к случаю шарнирного опирания на концах и ввел так называемую « приведенную » длину ( рис. 8.3 ). Здесь – « приведенная » длина, - коэффициент приведения длины.

Окончательно получаем формулу Эйлера для определения критической силы .

Определяем критические напряжения
,

где величена называется гибкостью стержня.

В выводе формулы для критических сил и напряжений, использовалось приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Это уравнение было выведено в предположении, что материал стержня подчиняется закону Гука. Таким образом, полученные зависимости можно применять только для значений напряжений, меньших или равных пределу пропорциональности

.

Отсюда . Обозначим .

Таким образом, формула Эйлера может применяться при .

Определение критических напряжений для стержней, у которых меньше проводится с помощью экспериментов.

Разделим стержни на три категории по их гибкости:

Стержни малой гибкости: .
Стержни средней гибкости: .
Стержни большой гибкости: .

Стержни малой гибкости - это короткие толстые стержни, которые теряют несущую способность, вследствие возникновения пластических деформаций или разрушения. Критическое напряжение

для них равно

- для пластических материалов или

- для хрупких материалов.

В стержнях средней гибкости на несущую способность влияют как пластические деформации, так и потеря устойчивости. Для стержней малой и средней гибкости Ф.С.Ясинский на основе экспериментов предложил формулу .

Коэфиценты а и в для некоторых материалов приведены в таблице

Материал

а ( МПа )

в ( МПа )

Ст2, ст3.

100

310

1.14

Ст5.

100

464

3.26

Сталь 40.

90

321

1.16

Дерево (сосна).

110

29.3

0.194

Чугун.

80

776

12.0

8.4. Расчет по коэффициенту уменьшения допустимых напряжений
Для сжатых стержней необходимо проводить две проверки:

1) Проверка на прочность: ,

где - для пластичных материалов,

- для хрупких материалов.

- коэффициент запаса прочности.

2) Проверка на устойчивость: ,

где - коэффициент запаса устойчивости.

Разделим на , получим: ,

где - коэффициент уменьшения основного допустимого напряжения.

. .

Таким образом, две проверки заменяют одной

Устойчивость труб и оболочек при наружном давлении.

Материал		а ( МПа )	в ( МПа )
Ст2, ст3.	100	310	1.14
Ст5.	100	464	3.26
Сталь 40.	90	321	1.16
Дерево (сосна).	110	29.3	0.194
Чугун.	80	776	12.0