Сопротивление материалов

Лекция 1. Основные положения сопротивления материалов. Растяжение и сжатие.
Основные положения. Гипотезы и допущения

«Сопротивление материалов» — это раздел «Технической механики», в котором излагаются теоретико-экспериментальные основы и методы расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Основные требования к деталям и конструкциям и виды расчетов в сопротивлении материалов

Механические свойства материалов

Прочность — способность не разрушаться под нагрузкой.

Жесткость — способность незначительно деформироваться под нагрузкой.

Выносливость — способность длительное время выдерживать переменные нагрузки.

Устойчивость — способность сохранять первоначальную форму упругого равновесия.

Вязкость — способность воспринимать ударные нагрузки.

Виды расчетов

Расчет на прочность обеспечивает неразрушение конструкции.

Расчет на жесткость обеспечивает деформации конструкции под нагрузкой в пределах допустимых норм.

Расчет на выносливость обеспечивает необходимую долговечность элементов конструкции.

Расчет на устойчивость обеспечивает сохранение необходимой формы равновесия и предотвращает внезапное искривление длинных стержней.

Для обеспечения прочности конструкций, работающих при ударных нагрузках (при ковке, штамповке и подобных случаях), проводятся расчеты на удар.

Основные гипотезы и допущения

Допущения о свойствах материалов

Материалы однородные — в любой точке материалы имеют одинаковые физико-механические свойства.

Материалы представляют сплошную среду — кристаллическое строение и микроскопические дефекты не учитываются.

Материалы изотропны — механические свойства не зависят от направления нагружения.

Материалы обладают идеальной упругостью — полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки.

Допущения о характере деформации

Все материалы под нагрузкой деформируются, т. е. меняют форму и размеры.

В пределах упругости деформации прямо пропорциональны нагрузке.

Считают, что все материалы подчиняются закону Гука.

Поскольку упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами детали, при расчетах считают, что размеры под нагрузкой не изменяются.

Расчеты ведут используя принцип начальных размеров. При работе конструкции деформации должны оставаться упругими.

Классификация нагрузок и элементов конструкции

Классификация нагрузок

Статистические нагрузки не меняются со временем или меняются очень медленно.

Повторно-переменные нагрузки многократно меняют значение или значение и знак.

Динамические нагрузки меняют свое значение в короткий промежуток времени, они вызывают большие ускорения и силы инерции и могут привести к внезапному разрушению конструкции.

Из теоретической механики известно, что по способу приложения нагрузки могут быть сосредоточенными или распределенными по поверхности.

Формы элементов конструкции

Все многообразие форм сводится к трем видам по одному признаку.

1. Брус — любое тело, у которого длина значительно больше других размеров.

В зависимости от форм продольной оси и поперечных сечений различают несколько видов брусьев:

— прямой брус постоянного поперечного сечения

• 
  прямой ступенчатый брус;
  
• 
  криволинейный брус
  

2. Пластина — любое тело, у которого толщина значительно меньше других размеров.

3. Массив — тело, у которого три размера одного порядка.

Нагрузки внешние и внутренние,

метод сечений

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.

Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов — методом сечений.

Метод сечений

Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей.

Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил. Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части тела.

Рассекаем тело поперек плоскостью. Рассматриваем правую часть. На нее действуют внешние силы F₄; F₅; F_б и внутренние силы упругости q_k, распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором R_o, помещенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил M₀:

R₀=Σ q_k; М₀= Σm_k.

Разложив главный вектор R₀ по осям, получим три составляющие:

Rо = N_z + Q_y + Q_x,

где N_z — продольная сила;

Q_x — поперечная сила по оси x;

Q_y — поперечная сила по оси у.
Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар сил в трех плоскостях проекции:

M_o = M_x + M_y + M_z,

M_x — момент сил относительно Ох;

М_у — момент сил относительно Oy;

M_z — момент сил относительно Oz.

Полученные составляющие сил упругости носят название внутренних; силовых факторов. Каждый из внутренних силовых факторов. вызывает определенную деформацию детали. Внутренние силе факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно получить величину внутренних силовых факторов:

N_z = ΣF_kz; M_z = Σ m_z (F_k);
Q_x = ΣF_kx; M_x = Σ m_x (F_k);

Q_y = Σ F_ky M_y = Σm_y(F_k).

Из приведенных уравнений следует, что:

N_z — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Oz внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса; вызывает растяжение или сжатие;

Q_x — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Ох внешних сил, действующих на отсеченную часть;

Q_y — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Оу внешних сил, действующих на отсеченную часть;

• 
  силы Q_x и Q_y вызывают сдвиг сечения;
  

М_х — крутящийся момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно продольной оси Oz; вызывает скручивание бруса;

М_х — изгибающий момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно оси Ох;

М_у — изгибающий момент, равный алгебраической сумме моментов внешних сил относительно оси Оу;

• 
  моменты М_х и М_у вызывают изгиб бруса в соответствующей плоскости.
  

Напряжения

Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению.

Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение характеризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения.

Вектор р_ср называют полным напряжением. Его принято раскладывать на два вектора: τ — лежащий в площадке сечения и σ — направленный перпендикулярно площадке.

р= √σ ² + τ ². Если вектор р — пространственный, то его раскладывают на три составляющие: р= √σ ² + τ _x²+ τ_y ²

Нормальное напряжение характеризует сопротивление сечения растяжению или сжатию.

Касательное напряжение характеризует сопротивление сечения сдвигу.
Растяжение и сжатие.

Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила.

Если продольная сила направлена от сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией

Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие считают отрицательной деформацией.

F

F

N

N

+

-
Примеры построения эпюры продольных сил

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка»)

Делим брус на участки нагружения.

Участком нагружения считают часть бруса между внешними силами.

На представленном рисунке 3 участка нагружения.

1 сеч 2 сеч 3 сеч

3F

3F

3F

3F

N₁

N₂

N₃

2F

2F

2F

5F

5F

1 уч 2 уч 3 уч

3F

F

4F

Эпюра
N_z

+

^-
Воспользуемся методом сечений у определим внутренние силовые факторы внутри каждого участка.

Расчет начинаем со свободного конца бруса, что бы не определять величины реакций в опорах.

Участок 1: ΣF_z = 0; -3F + N₁ = 0; N₁ = 3F. Продольная сила положительна, участок 1 растянут.

Участок 2: ΣFZ = 0, -3F +2F +N₂=0, N₂ = F. Продольная сила положительна, участок 2 растянут.

Участок 3: ΣF_z = 0; -3F + 2F + 5F - N₃ = 0; N₃ = 4F. Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат. Полученное значение N₃ равно реакции в заделке.

Под схемой бруса строим эпюру продольной силы.

Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль оси бруса.

Ось эпюры параллельна продольной оси.

Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от
оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз. В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Оz.

Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы.

На эпюре проставляются значения N_z. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе.

Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховывается поперек оси.

Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения граничных условий.

Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению равномерно.

Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.

Напряжения при растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение.

Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.

Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле

σ=N_z/A

где N_z — продольная сила в сечении; А — площадь поперечного сечения.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м² (Па), Н/мм² (МПа):1 МПа = 10⁶ Па = 1 Н/мм².

При определении напряжений брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых, продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.

Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра продольных сил.

Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси.

Обнаруживаем три участка нагружения и определяем величины продольных сил.

Участок 1: N₁ = 0. Внутренние продольные силы равны нулю.

Участок 2: N₂ = 2F. Продольная сила ва участке положительна.

Участок 3: N₃ = 2F--3F = — F. Продольная сила на участке отрицательна. Брус — ступенчатый.

С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.

σ₁=N₁/2A₁, σ₂=F/A₁, , «+»

σ₃=2F/A₁, «+»,σ₄=-F/A₁, «-»

Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.

Закон Гука при растяжении: В пределах упругих деформаций нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.

σ = Е|ε|

ε – модуль упругости, характеризует жесткость материала

Е = 2·10⁵ МПа

Абсолютное удлинение:


- жесткость сечения,

А – площадь сечения, мм²

-абсолютное удлинение, мм

-начальная длина, мм

N – продольная сила, Н

-нормальное напряжение, МПа

Предельные и допустимые напряжения

Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация). σ_пред

Допускаемое напряжение — максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать. (принято обозначать в квадратных скобках - [σ]



Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от качества материала, условий работы детали, назначения детали, точности обработки и расчета и т.д. [s]

Он может колебаться от 1,25 для простых деталей до 12,5 для сложных деталей, работающих при переменных нагрузках в условиях ударов и вибраций

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности — неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях.

Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения:

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

Расчеты на прочность ведутся по условиям прочности — неравенствам, выполнение которых гарантирует прочность детали при данных условиях.

Для обеспечения прочности расчетное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения:

Существуют три вида расчета на прочность.

1. Проектировочный расчет — задана расчетная схема и нагрузки; материал или размеры детали подбираются:

— определение размеров поперечного сечения:

— подбор материала

по величине можно подобрать марку материала.

2. Проверочный расчет — известны нагрузки, материал, размеры детали; необходимо проверить, обеспечена ли прочность.

Проверяется неравенство:

3. Определение нагрузочной способности (максимальной нагрузки):

[N] =