УДК 539.143.43

МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ НЕЧЁТНО-НЕЧЁТНЫХ ЯДЕР В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ

Олег Игоревич Ачаковский

ИАТЭ НИЯУ МИФИ

Введение

1.1 Краткая история проблемы

Магнитные дипольные моменты — одна из фундаментальных ядерных характеристик. Их описаниесыграло большую роль в формировании основных подходов в теории ядра. Наиболее фундаментальным подходом к проблеме вычисления магнитных моментов является подход, основанный на методах теории многих тел. Вариант такого подхода, основанный на формализме квантовых функций Грина, был развит А. Б. Мигдалом и получил название теории конечных ферми-систем (ТКФС) [1]. Стандартная ТКФС содержит универсальные (т.е. одинаковые для всех ядер) параметры – локальные заряды квазичастиц и параметры эффективного взаимодействия Ландау-Мигдала. Это обстоятельство в принципе позволяет использовать ТКФС для предсказания свойств, по крайней мере, для стабильных и «околостабильных» ядер. С помощью ТКФС можно учесть вклад спин-спиновых взаимодействий в магнитный момент ядра и, сравнивая сэкспериментом, определить параметры этого взаимодействия.

В последнее десятилетие в ядерной физике сформировался огромный интерес к изучению ядер вне линии стабильности. Исследование таких экзотических ядер важно для теории структуры ядра, для применения в астрофизике и для баз ядерных данных, прежде всего, для осколков деления. Изучив характеристики нечётно-нечётных ядер можно извлечь, например информацию о протон-нейтронном взаимодействии. Но большинство нечётно-нечётных ядер являются нестабильными, поэтому важно создать теорию для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер, поскольку характеристики нестабильных ядер измерить труднее (часто даже невозможно), чем характеристики стабильных ядер.

Простейшим объектом для этой задачи являются нечётно-нечётные околомагические ядра, так как:

1. 
   Соседние магические ядра, как правило, хорошо изучены, и можно использовать информацию об их свойствах для изучения нечётно-нечётных ядер.
   
2. 
   Для нечётно-нечётных ядер, у которых A>40, по-видимому, можно не учитывать в первом приближении взаимодействием между нечётным протоном и нечётным нейтроном, что также проверяется в нашей работе
   
3. 
   Для некоторых нечётно-нечётных околомагических ядер значения магнитных моментов не измерены, поэтому большой интерес представляет предсказания значений магнитных моментов.
   

1.2 Цель работы

В нашей работе производились расчёты магнитных моментов нечётных и нечётно-нечётных околомагических ядер.

Целями нашей работой являются:

1. 
   Расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием одночастичной модели и феноменологического подхода
   
2. 
   Расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием ТКФС для расчёта магнитных моментов нечётных ядер
   
3. 
   Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными для оценки вкладапротон-нейтронных взаимодействий нечётных нуклонов
   
4. 
   Предсказание в рамках использованных приближений магнитных моментов околомагических нечётно-нечётных ядер, если они не измерены.
   

2.Теория

2.1. Основные формулы для нечётно-нечётных ядер

В соответствии с общей концепцией ТКФС мы предполагаем, что состоянии нечётного ядра описывается присутствием одной квазичастицы с квантовыми числами λ, которая взаимодействует с остальными квазичастицами ядра эффективными ядерными силами. Основным приближением в нашем подходе для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер является пренебрежение протон-нейтронными взаимодействием между нечётными квазичастицами. В этом случае волновая функция нечётно-нечётного ядра определяется формулой (случай двух частиц):

(1)

где , - набор квантовых чисел для нечётного протона и нейтрона в сферическом ядре.

Оператор магнитного моментанечётно-нечётного ядра имеет вид:

(2)

где – магнитные моменты протонной и нейтронной нечётной подсистемы.

Используя алгебру угловых моментов [2],получим конечную формулу для нечётно-нечётных ядер, которая подходит для случая «частица-частица»:

(3)

В случае «дырка-дырка» волновая функция нечётно-нечётного ядра имеет вид:

(4)

Из волновой функции (4) видно, что формула (3) верна и для случая «дырка-дырка».В случае «частица-дырка» волновая функция нечётно-нечётного ядра имеет вид:

(5)

где - волновая функция частицы, - волновая функция дырки

Используя волновую функцию (14), получаем формулы для случаев:

(6)

(случай p-дырка – n-частица)

(7)

(случай n-дырка – p-частица)

Формулы (3),(6) и (7) являются основными для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер. Таким образом, используя наше приближение, можно рассчитать магнитные моменты нечётно-нечётных ядер, если знать экспериментальные или рассчитанные значения магнитных моментов соседних нечётных ядер. Поскольку расчёты по формулам в используемом приближении весьма просты, наибольшая трудность – это микроскопический расчёт магнитных моментов нечётных ядер.

В нашей работе значения будут получены тремя способами, в которых моменты нечётных ядер рассчитываются:

1)На основе одночастичной модели Шмидта[3]

2) Из эксперимента [4],[5] (феноменологический подход)

3)В рамках микроскопического подхода для нечётных ядер с использованием ТКФС.

2.2 Феноменологический подход

Суть феноменологического подхода заключается в расчёте магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием экспериментальных значений магнитных моментов нечётных ядер.Например, если нам необходимо рассчитать магнитный момент , то мы должны использоватьэкспериментальные данные о магнитных моментах ядер и .

2.3 Микроскопический подход

2.3.1 Метод расчёта: теория конечных ферми-систем (ТКФС)

В нашей работе микроскопический подход основан на теории конечных ферми-систем(ТКФС) [1]. Согласно ТКФС под влиянием внешнего поля движение квазичастиц меняется и возникает дополнительноеполе, которое определяется взаимодействием между квазичастицами. Одним из основных результатов ТКФС является уравнение для эффективного поля, состоящего из внешнего и поляризационного поля:

(8)

где – внешнее поле, - «затравочное» эффективное поле, т.е. эффективное поле при F=0, – пропагатор.

В случае магнитных моментов нечётных ядер магнитный момент выражается через эффективное поле следующим образом:

(9)

В нашем случае имеет вид:

(10)

В случае околомагических ядер пропагатор определяется по формуле:

(11)

где – одночастичная функция Грина, в нашем (статическом) случае.

Величина в ТКФС[1] имеет вид:

(12)

где - так называемые локальные универсальные (одинаковые для всех ядер) заряды квазичастиц. Величины описывают взаимодействие поля с конгломератом частиц, который образует квазичастицу, что позволяет учесть многократные соударения между частицами во внешнем поле.Затравочное поле описывает магнитный момент невзаимодействующей квазичастицы. Изотопические матрицы равны:

(13)

Проведя простые преобразования и учитывая , получим:

(14)

где , ,

В нашем случае (магнитные моменты и переходы) функция описывает спин-спиновое взаимодействие:

(15)

где – является обезразмеривающий параметр, который используются в расчётах.

После отделения угловых переменных в уравнении (8), которое более подробно описано в дипломной работе автора, получим уравнение для приведённых матричных элементов оператора :

(16)

где ;;

– радиальная часть одночастичной волновой функции.

Уравнение (16) – окончательное уравнение для , используемое в наших расчётах.

2.3.2 Детали микроскопических расчётов

При расчёте по формуле (16) сначала рассчитывались недиагональные матричные элементы с правилами отбора (см. например [6,7]):

причём один из уровней находится выше уровня Ферми, другой – ниже. Затем рассчитывались диагональные элементы, используя волновую функцию нечётной частицы, и вычислялся магнитные моменты нечётного ядра по формуле (9).Радиальные волновые функции были получены с помощью программы, основанной на работе Фаянса [8].

В микроскопическом подходе мы использовали три набора параметров:

Таблица 1. Наборы параметров микроскопического подхода
№			=	=
1	-0.03	-0.05	1.67	-0.39	300
2	-0.03	-0.1	0.96	-0.96	300
3	-0.05	-0.08	1.2	-1	300

Первые два набора были взяты из кандидатской диссертации Ткачёва[6], посвящённой расчётам дипольным резонансам, последний набор, который соответствует столбцу таблицы 2, был взят из статьи Борзова и Саперштейна [9],посвящённой расчётам магнитных моментов в нечетных ядрах.

2.3.3 Магнитные моменты нечётныхоколомагических ядер

Результаты расчёта для нечётных околомагических ядер в таблице 2.

Таблица 2. Магнитные моменты околомагических нечётных ядер
		Stable	-0,264	-0,323	-0,401	-0,356		-0.2831888 (5)
		122.24 s	0,638	0,706	0,785	0,747		0.7189 (8)
		Stable	-1,913	-1,738	-1,502	-1,637		-1.89379 (9)
		64.49 s	4,793	4,618	4,382	4,516		+4.7223 (12)
		Stable	0,123	0,320	0,461	0,440	0,329	+0.391466 (33)
		859.6 ms	1,148	0,953	0,812	0,832	0,888	1.02168 (12)
		1.02*105 y	-1,913	-1,768	-1,532	-1,687	-1,626	-1.594781 (9)
		596.3 ms	5,793	5,648	5,412	5,566	5,485	+5.4305 (18)
		17.53 h	5,793	4,671	4,651	4,704		4,822(3)
		204.7 ms	-1,913	-0,918	-0,739	-1,026		-0,977
		35.6 h	-1,913	-1,250	-1,041	-0,838		-0.7975 (14)
		196.3 ms	3,793	3,086	2,963	3,025		2,00(5)
	(	0.28 s	6,793	5,881	5,799	5,887
	()	56 s	1,148	0,828	0,701	0,709		0,747(4)
		1.46 s	-1,913	-1,469	-1,254	-1,381
	(	2.34 min	1,817	2,534	2,609	2,670		3,00(1)
		4.77 min	2,793	2,163	2,005	2,055	1,857	+1,876(5)
		Stable	0,473	0,539	0,461	0,479	0,638	+0,593 (9)
		3.253 h	-1,913	-1,447	-1,286	-1,421	-1,337	-1.4735 (16)
		Stable	2,622	3,505	3,584	3,664	3,691	+4.1106 (2)

- экспериментальные значения магнитного момента нечётного ядра. -значения, полученные с помощью микроскопического подхода. В данном случае были использованы три набора параметров, которые представлены в табл. 1. -значения, полученные в рамках одночастичной модели Шмидта. – значения, полученные Борзовым, Саперштейном и Толоконниковым и представленные в статье [9].

Как видно из таблицы 1, мы получили в целом разумное описание экспериментальных данных при использовании микроскопического подхода, за исключением ядра и .Хорошее согласие с экспериментом для можно достигнуть, если учесть спин-орбитальное взаимодействие, которое данном случае создаёт значительный вклад в магнитный момент[9]. В случае для улучшения результата расчёта необходимо учесть взаимодействие «частица-фонон»[9].

В наших расчётах получено заметное отличие от одночастичной модели Шмидта. В тех случаях, где согласие с микроскопическим подходом является малоудовлетворительным, необходимы более тщательные расчёты. Такие расчёты для нечётных ядер были недавно выполнены Борзовым и Саперштейном [9]. Их главное отличие от нашего подхода состоит в использовании самосогласованной одночастичной схемы (а не схемы основанной на феноменологическом потенциале Вудса-Саксона, как у нас).

3.Магнитный момент нечётно-нечётныхоколомагических ядер

Результаты расчёта для нечётно-нечётных ядер приведены в табл. 3

Таблица 3. Магнитные моменты околомагических нечётно-нечётных ядер
Ядро
		Stable	0,374	0,373	0,373	0,373	0,437	+0.40376100 (6)
		7.13 s	1,961	1,837	1,669	1,965	1,956	1.9859 (11)
			0	0	0	0	0
		109.77 min	0,576	0,576	0,576	0,576	0,565
		7.636 min	1,272	1,272	1,272	1,272	1,413	+1,371(6)
		1.246*109 y	-1,683	-1,446	-1,155	-1,308	-1,249	-1.2981 (3)
		182.3 ms	5,908	5,672	5,381	5,533	5,511
		681.3 ms	0	0	0	0
		193.28 ms	0	0	0	0
		77.236 d	4,276	3,604	3,697	3,854	3,880	3,85(1)
	(	93 ms	0,274	0,807	0,905	0,584	0,173
		3.204 s	0,627	0,612	0,641	0,532	0,474	0,52(8)
	(	0.207 s	4,527	4,076	4,183	4,156
		2.79 min	2,274	2,758	2,579	2,819	3,141	3,18(1)
		0.78 s	0	0	0	0
		4.202 min	0	0	0	0
		3.053 min	0,880	0,716	0,719	0,634	0,402	0,292(13)
		3.68*105 y	3,262	4,044	4,045	4,143	4,703	+4.578 (13)
		5.012 d	0,078	0,229	0,255	0,249	0,293	-0.04451 (6)

- экспериментальное значение магнитного момента нечётно-нечётного ядра. -значение, полученное с помощью микроскопического подхода. -значение, полученное с помощью феноменологического подхода. -значение, полученное с помощью одночастичной модели Шмидта. Для наглядности результаты из таблицы 3 представлены на рисунке 1.

Рис. 1

Сравнивая расчёт и экспериментальные значения, мы можем сказать, что наше основное предположение о малости протон-нейтронного взаимодействия оказалось приемлемым для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных околомагических ядер.Это, прежде всего, подтверждается хорошим согласием экспериментальных данных.

Сильное отличие от эксперимента только для одного ядра позволяет нам сказать, что в этом ядре взаимодействие между нечётными частицами вносит основной вклад в магнитный момент.

4.Общие результаты и выводы

В настоящей работе рассчитывались магнитные моменты нечётно-нечётных околомагических (т.е. дважды магическое ядро ± 1 частица) ядер. Главное и единственное приближение в наших расчётах – это отсутствие протон-нейтронного взаимодействия между нечётными частицами. Прямым следствием этого приближения оказался тот факт, что после простых преобразований, связанных с алгеброй угловых моментов и отделением угловых переменных, задача свелась к расчётам магнитных моментов соответствующих нечётных ядер. В нашей работе магнитные моменты нечётных и нечётно-нечётных ядер получались тремя способами:

1. 
   На основе одночастичной модели
   
2. 
   Из эксперимента в рамках феноменологического подхода
   
3. 
   В рамках микроскопического подхода для нечётных ядер с использованием ТКФС А.Б. Мигдала
   

Из наших расчёты магнитных моментов нечётных ядер было получено подтверждение правильности микроскопического подхода на основе ТКФС поскольку мы использовали известные значения параметров ТКФС без какой – либо подгонки и получили разумное согласие с экспериментом, за исключением .

Одним из главных выводов нашей работы является заключение о том, что наше основное приближение оправдалось практически во всех рассмотренных способах и ядрах. Именно разумное согласие с экспериментом для всех рассматриваемых нечётно-нечётных ядер позволяет сделать такой вывод.

Наши расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер показали в целом хорошее согласие с экспериментом как для околомагических ядер, что позволяет нам применить данный подход для всех нечётно-нечётных ядер. Большое отклонение от эксперимента для ядра позволяет сделать вывод о том, что желательно повторить измерения магнитного момента этого ядра, поскольку отличие от наших расчётов имеется и в знаке, и в самой величине (в 5 раз!).

Таким образом, результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать вывод о справедливости описанного метода расчёта и о возможности разумных предсказаний магнитных моментов нечётно-нечётных ядер, для которых экспериментальные данные отсутствуют из-за малого времени жизни этих ядер. Естественным развитием описанного метода будет анализ нечётно-нечётных ядер со спариванием, предсказание магнитных моментов в сильно нейтроноизбыточных нечётно-нечётных ядрах (например ядра вокруг ), предсказание магнитных моментов возбуждённых нечётно-нечётных ядер.

Список литературы

2. А.Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, Москва, изд-во «Наука» ,1983

3. А. Эдмондс, «Угловые моменты в квантовой механике», Москва, 1958

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Москва, 1989

4. N.J. Stone , Table of nuclear magnetic dipole and electric quadruple moments, At. Data Nucl. Data Tables 90, 2005

5. База данных о ядрах Брукхейвенской национальной лаборатории (https://www.nndc.bnl.gov/ensdf/)

6. В.Н. Ткачёв, И.Н. Борзов, С.П. Камерджиев, M1-переходы в сферических ядрах, ЯФ т.24, вып. 4, 1976

7.Фаянс С.А. Препринт ИАЭ-1593, Москва, 1968

8.В.Н. Ткачёв “Влияние сложных конфигураций на свойства магнитных дипольных возбуждений в магических ядрах”, диссертация на соискание учёной степени кандидата наук ф.-м. наук, Обнинск ,1985 г.

9.И.Н. Борзов, Э.Е. Саперштейн, С.В. Толоконников, «Магнитные моменты сферических ядер: статус проблемы и нерешённые вопросы», ЯФ т.71, вып. 3, 2008