УДК 539.143.43

Бакалаврская выпускная работа

МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ НЕЧЁТНО-НЕЧЁТНЫХ ЯДЕР В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ

Олег Игоревич Ачаковский

ИАТЭ НИЯУ МИФИ

Введение

1.1 Краткая история проблемы

Магнитные дипольные моменты — одна из фундаментальных ядерных характеристик. Их описание сыграло большую роль в формировании основных подходов в теории ядра. Наиболее фундаментальным подходом к проблеме вычисления магнитных моментов является подход, основанный на методах теории многих тел. Вариант такого подхода, основанный на формализме квантовых функций Грина, был развит А. Б. Мигдалом и получил название теории конечных ферми-систем (ТКФС) [1]. Стандартная ТКФС содержит универсальные (т.е. одинаковые для всех ядер) параметры – локальные заряды квазичастиц и параметры эффективного взаимодействия Ландау-Мигдала. Это обстоятельство в принципе позволяет использовать ТКФС для предсказания свойств, по крайней мере, для стабильных и «околостабильных» ядер. С помощью ТКФС можно учесть вклад спин-спиновых взаимодействий в магнитный момент ядра и, сравнивая сэкспериментом, определить параметры этого взаимодействия.

В последнее десятилетие в ядерной физике сформировался огромный интерес к изучению ядер вне линии стабильности. Исследование таких экзотических ядер важно для теории структуры ядра, для применения в астрофизике и для баз ядерных данных, прежде всего, для осколков деления.Изучив характеристики нечётно-нечётных ядер можно извлечь, например информацию о протон-нейтронном взаимодействии. Но большинство нечётно-нечётных ядер являются нестабильными, поэтому важно создать теорию для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер, поскольку характеристики нестабильных ядер измерить труднее (часто даже невозможно), чем характеристики стабильных ядер.

Простейшим объектом для этой задачи являются нечётно-нечётные околомагические ядра, так как:

1. 
   Соседние магические ядра, как правило, хорошо изучены, и можно использовать информацию об их свойствах для изучения нечётно-нечётных ядер.
   
2. 
   Для нечётно-нечётных ядер, у которых A>40, по-видимому, можно не учитывать в первом приближении взаимодействием между нечётным протоном и нечётным нейтроном, что также проверяется в нашей работе
   
3. 
   Для некоторых нечётно-нечётных околомагических ядер значения магнитных моментов не измерены, поэтому большой интерес представляет предсказания значений магнитных моментов.
   

1.2 Цель работы

В нашей работе производились расчёты магнитных моментов нечётных и нечётно-нечётных околомагических ядер.

Целями нашей работой являются:

1. 
   Расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием одночастичной модели и феноменологического подхода
   
2. 
   Расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием ТКФС для расчёта магнитных моментов нечётных ядер
   
3. 
   Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными для оценки вкладапротон-нейтронных взаимодействий нечётных нуклонов
   
4. 
   Предсказание в рамках использованных приближений магнитных моментов околомагических нечётно-нечётных ядер, если они не измерены.
   

2.Теория

2.1. Основные формулы для нечётно-нечётных ядер

В соответствии с общей концепцией ТКФС мы предполагаем, что состоянии нечётного ядра описывается присутствием одной квазичастицы с квантовыми числами λ, которая взаимодействует с остальными квазичастицами ядра эффективными ядерными силами.

Основным приближением в нашем подходе для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер является пренебрежение протон-нейтронными взаимодействием между нечётными квазичастицами. В этом случае волновая функция нечётно-нечётного ядра определяется формулой (случай двух частиц):

(1)

где , - набор квантовых чисел для нечётного протона и нейтрона в сферическом ядре.

Магнитный моментнечётно-нечётного ядра имеет вид:

(2)

где – магнитные моменты протонной и нейтронной нечётной подсистемы.

Используя выражение (1) и теорему Вигнера-Эккарта [2], получаем:

(3)

Упростим 3-j-символв (3) [2]:

(4)

Используя выражение (1) и формулу 5.22 из [2], получим:

(5)

Согласно теореме Вигнера-Эккарта [2], имеем для магнитных моментов протонной и нейтронной нечётных подсистем:

(6)

где - протон или нейтрон.

Используя (6), упростим выражение (5):
(7)

где - значения магнитных моментов (экспериментальных или рассчитанных) соответствующих нечётных ядер. В предположенияходночастичной модели, рассчитанные значения соответствуютлиниям Шмидта.

Упрощаем 3-j-символы и 6-j-символы [2] получаем из (7) конечную формулу для нечётно-нечётных ядер, которая подходит для случая «частица-частица»:

(8)

В случае «дырка-дырка» волновая функция нечётно-нечётного ядра имеет вид:

(9)

Из волновой функции (9) видно, что формула (8) верна и для случая «дырка-дырка».

В случае «частица-дырка» волновая функция нечётно-нечётного ядра имеет вид:

(10)

где - волновая функция частицы, - волновая функция дырки

Используя волновую функцию (14), получаем формулы для случаев:

(11)

(случай p-дырка – n-частица)

(12)

(случай n-дырка – p-частица)

Формулы (8),(11) и (12) являются основными для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных ядер. Таким образом, используя наше приближение, можно рассчитать магнитные моменты нечётно-нечётных ядер, если знать экспериментальные или рассчитанные значения магнитных моментов соседних нечётных ядер. Поскольку расчёты по формулам в используемом приближении весьма просты, наибольшая трудность – это микроскопический расчёт магнитных моментов нечётных ядер.

В нашей работе значения будут получены тремя способами, в которых моменты нечётных ядер рассчитываются:

1)На основе одночастичной модели Шмидта[3]

2) Из эксперимента [4],[5] (феноменологический подход)

3)В рамках микроскопического подхода для нечётных ядер с использованием ТКФС.

2.2 Феноменологический подход

Суть феноменологического подхода заключается в расчёте магнитных моментов нечётно-нечётных ядер с использованием экспериментальных значений магнитных моментов нечётных ядер.Например, если нам необходимо рассчитать магнитный момент , то мы должны использоватьэкспериментальные данные о магнитных моментах ядер и . Результаты расчёта будут представлены в таблице 2 для нечётно-нечётных ядер.

2.3 Микроскопический подход

2.3.1 Метод расчёта: теория конечных ферми-систем (ТКФС)

Магнитные моменты ядер первоначально вычислялись в пренебрежении взаимодействием между нуклонами[3]. Получаемые таким образом магнитные моменты (линии Шмидта) для большинства ядер сильно отличается от наблюдаемых значений.

Причина этого отличия состоит в следующем. Как известно чётно-чётные ядра имеют нулевой магнитный момент. При добавлении нечётного нуклона, помимо магнитного момента самого добавленного нуклона возникает добавленный магнитный момент за счёт поляризуемости остальных частиц «остова» полем добавленной частицы. Главную роль играет поляризуемость, вызванная спин-спиновым взаимодействием между добавленной частицей и остальными частицами. Для учёта этих добавочных взаимодействий необходимо использовать микроскопический подход.

В нашей работе микроскопический подход основан на теории конечных ферми-систем (ТКФС) [1]. Данный подход основан на формализме квантовых функций Грина. Согласно ТКФС под влиянием внешнего поля движение квазичастиц меняется и возникает дополнительное, поляризационное, поле, которое определяется взаимодействием между квазичастицами. Одним из основных результатов ТКФС является уравнение для эффективного поля, состоящего из внешнего и поляризационного поля:

(13)

где – внешнее поле, - «затравочное» эффективное поле, т.е. эффективное поле при F=0, – пропагатор.

В случае магнитных моментов нечётных ядер магнитный момент выражается через эффективное поле следующим образом:

(14)

В нашем случае имеет вид:

(15)

В случаеоколомагических ядерпропагатор определяется по формуле:

(16)

где – одночастичная функция Грина, в нашем (статическом) случае.

Величина в ТКФС[1] имеет вид:

(17)

где - так называемые локальные универсальные (одинаковые для всех ядер) заряды квазичастиц. Величины описывают взаимодействие поля с конгломератом частиц, который образует квазичастицу, что позволяет учесть многократные соударения между частицами во внешнем поле.

Затравочное поле описывает магнитный момент невзаимодействующей квазичастицы. Изотопические матрицы равны:

(18)

Проведя простые преобразования и учитывая , получим:

(19)

где , ,

В нашем случае (магнитные моменты и переходы) функция описывает спин-спиновое взаимодействие:

(20)

где – является обезразмеривающий параметр, который используются в расчётах.

В случае околомагических ядер (т.е. ядер без спаривания)пропагатор (16) имеет вид:

(21)

Для решения уравнения (13) представим в виде [1]:

(22)

где

После отделения угловых переменных в уравнении (13), которое более подробно описано в Приложении I, получим уравнение для приведённых матричных элементов оператора :



(23)

где ,,

– радиальная одночастичная волновая функция.

Уравнение (23) – окончательное уравнение для , используемое в наших расчётах.

2.3.2 Детали микроскопических расчётов

При расчёте по формуле (23) сначала рассчитывались недиагональные матричные элементы с правилами отбора (см. например [6,7]):

причём один из уровней находится выше уровня Ферми, другой – ниже. Затем рассчитывались диагональные элементы, используя волновую функцию нечётной частицы, и вычислялся магнитные моменты нечётного ядра по формуле (14).

Радиальные волновые функции были получены с помощью программы, основанной на работе Фаянса [8].

В микроскопическом подходе мы использовали три набора параметров:

Таблица 1. Наборы параметров микроскопического подхода
№			=	=
1	-0.03	-0.05	1.67	-0.39	300
2	-0.03	-0.1	0.96	-0.96	300
3	-0.05	-0.08	1.2	-1	300

Первые два набора были взяты из кандидатской диссертации Ткачёва[7], посвящённой расчётам дипольным резонансам, последний набор, который соответствует столбцу таблицы 2, был взят из статьи Борзова и Саперштейна [9],посвящённой расчётам магнитных моментов в нечетных ядрах

2.3.3 Магнитные моменты нечётныхоколомагических ядер

Результаты расчёта для нечётных околомагических ядер в таблице 2.

Таблица 2. Магнитные моменты околомагических нечётных ядер
		Stable	-0,264	-0,323	-0,323	-0,401	-0,401	-0,356	-0,356		-0.2831888 (5)
		122.24 s	0,638	0,706	0,706	0,785	0,785	0,747	0,747		0.7189 (8)
		Stable	-1,913	-1,738	-1,738	-1,502	-1,502	-1,637	-1,637		-1.89379 (9)
		64.49 s	4,793	4,618	4,618	4,382	4,382	4,516	4,516		+4.7223 (12)
		Stable	0,123	0,320	0,320	0,461	0,461	0,440	0,440	0,329	+0.391466 (33)
		859.6 ms	1,148	0,953	0,953	0,812	0,812	0,832	0,832	0,888	1.02168 (12)
		1.02*105 y	-1,913	-1,768	-1,768	-1,532	-1,532	-1,687	-1,687	-1,626	-1.594781 (9)
		596.3 ms	5,793	5,648	5,648	5,412	5,412	5,566	5,566	5,485	+5.4305 (18)
		17.53 h	5,793	4,671	6,118	4,651	6,353	4,704	6,319		4,822(3)
		204.7 ms	-1,913	-0,918	-2,268	-0,739	-2,504	-1,026	-2,490		-0,977
		35.6 h	-1,913	-1,250	-2,208	-1,041	-2,444	-0,838	-2,390		-0.7975 (14)
		196.3 ms	3,793	3,086	4,058	2,963	4,293	3,025	4,219		2,00(5)
	(	0.28 s	6,793	5,881	7,148	5,799	7,383	5,887	7,369
	()	56 s	1,148	0,828	1,253	0,701	1,394	0,709	1,314		0,747(4)
		1.46 s	-1,913	-1,469	-2,268	-1,254	-2,504	-1,381	-2,490
	(	2.34 min	1,817	2,534	1,650	2,609	1,467	2,670	1,618		3,00(1)
		4.77 min	2,793	2,163	3,028	2,005	3,263	2,055	3,169	1,857	+1,876(5)
		Stable	0,638	0,539	0,706	0,461	0,785	0,479	0,747	0,473	+0,593 (9)
		3.253 h	-1,913	-1,447	-2,298	-1,286	-2,534	-1,421	-2,540	-1,337	-1.4735 (16)
		Stable	2,622	3,505	2,579	3,584	2,386	3,664	2,561	3,691	+4.1106 (2)

- экспериментальные значения магнитного момента нечётного ядра.

-значения, полученные с помощью микроскопического подхода. В данном случае были использованы три набора параметров, которые представлены в таблице 1.

– значения затравочного поля, полученные при расчёте микроскопическим подходом. В данном случае были использованы три набора параметров, которые представлены в таблице 1.

-значения, полученные в рамках одночастичной модели Шмидта

– значения, полученные Борзовым, Саперштейном и Толоконниковым и представленные в статье [9].

C целью наглядной иллюстрации степени согласия теории и эксперимента результаты, содержащиеся в таблице 2, представлены на рис.1. Точному согласию отвечает диагональ квадрата, т.е. о степени расхождения можно судить по величине отклонения от диагонали.

Рис. 1

Как видно из рис. 1, мы получили в целом разумное описание экспериментальных данных при использовании микроскопического подхода, за исключением ядра и .Хорошее согласие с экспериментом для можно достигнуть, если учесть спин-орбитальное взаимодействие, которое данном случае создаёт значительный вклад в магнитный момент[9]. В случае для улучшения результата расчёта необходимо учесть взаимодействие «частица-фонон»[9].

Во всех расчётах получено сильное различие между величинами, обозначенными в таблицах, как  и (i=1,2,3), т.е. большой вклад интегрального члена в уравнении для вершины, который определяется спин-спиновым взаимодействием между квазичастицами.

В наших расчётах получено заметное отличие от одночастичной модели Шмидта.

В тех случаях, где согласие с микроскопическим подходом является малоудовлетворительным, необходимы более тщательные расчёты. Такие расчёты для нечётных ядер были недавно выполнены Борзовым и Саперштейном [9]. Их главное отличие от нашего подхода состоит в использовании самосогласованной одночастичной схемы (а не схемы основанной на феноменологическом потенциале Вудса-Саксона, как у нас).

3.Магнитный момент нечётно-нечётныхоколомагических ядер

Результаты расчёта для нечётно-нечётных ядер приведены в табл. 3

Таблица 3. Магнитные моменты околомагических нечётно-нечётных ядер
Ядро
		Stable	0,373	0,373	0,373	0,437	0,374	+0.40376100 (6)
		7.13 s	1,837	1,669	1,965	1,956	1,961	1.9859 (11)
	0		0	0	0	0	0
		109.77 min	0,576	0,576	0,576	0,565	0,576
		7.636 min	1,272	1,272	1,272	1,413	1,272	+1,371(6)
		1.246*109 y	-1,446	-1,155	-1,308	-1,249	-1,683	-1.2981 (3)
		182.3 ms	5,672	5,381	5,533	5,511	5,908
	0	681.3 ms	0	0	0		0
	0	193.28 ms	0	0	0		0
		77.236 d	3,604	3,697	3,854	3,880	4,276	3,85(1)
	(	93 ms	0,807	0,905	0,584	0,173	0,274
		3.204 s	0,612	0,641	0,532	0,474	0,627	0,52(8)
	(	0.207 s	4,076	4,183	4,156		4,527
		2.79 min	2,758	2,579	2,819	3,141	2,274	3,18(1)
	0	0.78 s	0	0	0		0
	0	4.202 min	0	0	0		0
		3.053 min	0,716	0,719	0,634	0,402	0,880	0,292(13)
		3.68*105 y	4,044	4,045	4,143	4,703	3,262	+4.578 (13)
		5.012 d	0,229	0,255	0,249	0,293	0,078	-0.04451 (6)

- экспериментальное значение магнитного момента нечётно-нечётного ядра.

-значение, полученное с помощью микроскопического подхода

-значение, полученное с помощью феноменологического подхода

-значение, полученное с помощью одночастичной модели Шмидта

Для наглядности результаты из таблицы 3представлены на рисунке 2.

Рис. 2

Сравнивая расчёт и экспериментальные значения, мы можем сказать, что наше основное предположение о малости протон-нейтронного взаимодействия оказалось приемлемым для расчёта магнитных моментов нечётно-нечётных околомагических ядер.Это, прежде всего, подтверждается хорошим согласием экспериментальных данных.

Сильное отличие от эксперимента только для одного ядра позволяет нам сказать, что в этом ядре взаимодействие между нечётными частицами вносит основной вклад в магнитный момент.

4.Общие результаты и выводы

В настоящей работе рассчитывались магнитные моменты нечётно-нечётных околомагических (т.е. дважды магическое ядро ± 1 частица) ядер. Главное и единственное приближение в наших расчётах – это отсутствие протон-нейтронного взаимодействия между нечётными частицами. Прямым следствием этого приближения оказался тот факт, что после простых преобразований, связанных с алгеброй угловых моментов и отделением угловых переменных, задача свелась к расчётам магнитных моментов соответствующих нечётных ядер. В нашей работе магнитные моменты нечётных и нечётно-нечётных ядер получались тремя способами:

1. 
   На основе одночастичной модели
   
2. 
   Из эксперимента в рамках феноменологического подхода
   
3. 
   В рамках микроскопического подхода для нечётных ядер с использованием ТКФС А.Б. Мигдала
   

Из наших расчёты магнитных моментов нечётных ядер было получено подтверждение правильности микроскопического подхода на основе ТКФС поскольку мы использовали известные значения параметров ТКФС без какой – либо подгонки и получили разумное согласие с экспериментом, за исключением .

Одним из главных выводов нашей работы является заключение о том, что наше основное приближение оправдалось практически во всех рассмотренных способах и ядрах. Именно разумное согласие с экспериментом для всех рассматриваемых нечётно-нечётных ядер позволяет сделать такой вывод.

Наши расчёты магнитных моментов нечётно-нечётных ядер показали в целом хорошее согласие с экспериментом как для околомагических ядер, что позволяет нам применить данный подход для всех нечётно-нечётных ядер. Большое отклонение от эксперимента для ядра позволяет сделать вывод о том, что желательно повторить измерения магнитного момента этого ядра, поскольку отличие от наших расчётов имеется и в знаке, и в самой величине (в 5 раз!).

Таким образом, результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать вывод о справедливости описанного метода расчёта и о возможности разумных предсказаний магнитных моментов нечётно-нечётных ядер, для которых экспериментальные данные отсутствуют из-за малого времени жизни этих ядер. Естественным развитием описанного метода будет анализ нечётно-нечётных ядер со спариванием, предсказание магнитных моментов в сильно нейтроноизбыточных нечётно-нечётных ядрах (например ядра вокруг ), предсказание магнитных моментов возбуждённых нечётно-нечётных ядер.

Благодарности.

Я выражаю свою признательность своему научному руководителю профессору С.П. Камерджиеву за постановку задачи и всестороннюю помощь при написании бакалаврской дипломной работы, а ведущему научному сотруднику ФЭИ В.Г. Проняеву за учёные советы и плодотворную критику работы.

Автор работы благодарит профессора Дж.Биллоуза (J.Billowes, Manchester University England) за своевременно предоставленный обзор Н. Стоуна [4], который содержит новые экспериментальные данные по магнитным моментам. Также выражаю свою благодарность Н. А. Лютеровичу (НИИ физики, СПбГУ) и Д.А. Войтенкову (ГНЦРФ ФЭИ) за предоставление программы для расчёта одночастичных волновых функций и уровней энергии и программы для расчёта спаривательной щели.
Список литературы

1. А.Б. Мигдал, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, Москва, изд-во «Наука» ,1983

2. А. Эдмондс, «Угловые моменты в квантовой механике», Москва, 1958

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Москва, 1989

4.N.J. Stone , Table of nuclea rmagnetic dipole and electric quadruple moments, At. Data Nucl.Data Tables 90, 2005

5. База данных о ядрах Брукхейвенской национальной лаборатории (https://www.nndc.bnl.gov/ensdf/)

6. В.Н. Ткачёв, И.Н. Борзов, С.П. Камерджиев, M1-переходы в сферических ядрах, ЯФ т.24, вып. 4, 1976

7.В.Н. Ткачёв “ Влияние сложных конфигураций на свойства магнитных дипольных возбуждений в магических ядрах ”, диссертация на соискание учёной степени кандидата наук ф.-м. наук, Обнинск ,1985 г.

8.Фаянс С.А. Препринт ИАЭ-1593, Москва, 1968

9.И.Н. Борзов, Э.Е. Саперштейн, С.В. Толоконников, «Магнитные моменты сферических ядер: статус проблемы и нерешённые вопросы», ЯФ т.71, вып. 3, 2008

Приложение I. Отделение угловых переменных в уравнении для эффективного поля.

Одним из основных результатов ТКФС является уравнение для эффективного поля:

(1)

где в случае вычисления магнитных моментов

В λ-представлении (в представлении собственных функцийодночастичного гамильтониана) уравнение (1) может быть представлено в виде:

(2)
Эффективное взаимодействие F входит в λ-представлении имеет вид:

(3)

где – набор координат.

Используя формулу разложения дельта-функции:

(4)

Получаем в виде:

(5)

Введём функцию:

(6)

Выразим через функцию (5) в виде:

(7)

где – скалярное произведение.

Подставляя в виде (7) в формулу (3) и упростив, получим:

(8)

Использовав теорему Вигнера-Эккарта [2] для , получим конечный вид для

(9),

Запишем формулу (22) из основной части в общем виде:

(10)

Используя основные свойства операторов спина и полного момента импульса, из формулы (22) получим приведённые матричные элементы для «затравочного» поля:

(11)

Если подставить формулы (9) и (11) в уравнение для эффективного поля, то получим уравнение для приведённых матричных элементов, которое решалось в нашей работе:

(12)