!х (для функций будут также использоваться буквы , , , f, g, F, G). Не первопорядковые функции содержат функцию в качестве мнимой переменной; следовательно, такие функции образуют вполне определённую целостность, и  в !х может быть преобразована в мнимую переменную. Любая пропозиция, в которой  появляется как мнимая переменная и в которой нет мнимых переменных более высокого, чем  типа, является пропозицией второго порядка. Если такая пропозиция содержит индивид х, она не является предикативной функцией от х; но если она содержит первопорядковую функцию , она является предикативной функцией от  и будет записываться как f!(! ). Тогда f есть предикативная функция второго порядка; возможные значения f снова образуют вполне определённую целостность, и мы можем преобразовать f в мнимую переменную. Таким образом, мы можем определить предикативные функции третьего порядка, которые будут представлять собой функции, имеющие в качестве значений пропозиции третьего порядка, а в качестве аргументов второпорядковые предикативные функции. Этим путём мы можем продвигаться до бесконечности. В точности такое же развитие сюжета относится к функциям от нескольких переменных.

Мы будем применять следующие соглашения. Переменные самого низкого типа, встречающиеся в любом контексте, будут обозначаться строчными латинскими буквами (за исключением f и g, которые зарезервированы для функций); предикативная функция от аргумента х (где х может быть любого типа) будет обозначаться как !х (где , , , f, g, F, G могут заменять ); сходным образом предикативная функция от двух аргументов х и у будет обозначаться как !(х, у); общая функция от х будет обозначаться как х, а общая функция от х и у как (х, у). В х  нельзя преобразовать в мнимую переменную, поскольку её тип не определён; но в !х, где  является предикативной функцией, чей аргумент относится к некоторому заданному типу,  можно преобразовать в мнимую переменную.

Важно заметить, что поскольку существуют различные типы пропозиций и функций и поскольку обобщение может быть применено только в рамках некоторого одного типа, все фразы, содержащие слова ‘все пропозиции’ или ‘все функции’ prima facie бессмысленны, хотя в определённых случаях они могут быть интерпретированы как не вызывающие возражений. Противоречия возникают при использовании таких фраз, где нельзя обнаружить простого значения.

Если теперь вернуться к парадоксам, мы сразу же увидим, что некоторые из них разрешаются теорией типов. Всегда, когда упоминаются ‘все пропозиции’, мы должны подставить ‘все пропозиции порядка n’, где безразлично, какое значение мы придаём n, но существенно, чтобы n имело некоторое значение. Таким образом, когда человек говорит ‘Я сейчас лгу’, мы должны интерпретировать сказанное им как означающее: ‘Существует пропозиция порядка n, которую я утверждаю и которая является ложной’. Это является пропозицией порядка n + 1; следовательно, его высказывание является ложным и, однако, его ложность не влечёт (как, по-видимому, влечёт ‘Я сейчас лгу’), что он делает истинное высказывание. Это разрешает парадокс лжеца.

Рассмотрим теперь ‘наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’. Прежде всего, необходимо заметить, что именуемость должна означать ‘именуемо посредством таких-то и таких-то приписанных имён’, и что число приписанных имён должно быть конечно. Ибо если бы оно не являлось конечным, не было бы причин не существования целого числа, не именуемого менее, чем десятью словами, и парадокс устранялся бы. Далее мы можем предположить, что ‘именуемый в терминах имён класса N’ означает ‘является единственным термином, выполняющим некоторую функцию, всецело составленным из имён класса N’. Решение этого парадокса лежит, я думаю, в простом наблюдении, что ‘именуемый в терминах имён класса N’ само никогда не именуемо в терминах имён этого класса. Если мы расширяем N, добавляя имя ‘именуемый в терминах имён класса N’, то расширяется наш основной аппарат имён; если этот новый аппарат назвать N^/, то ‘именуемый в терминах имён класса N^/’ остаётся не именуемым в терминах имён класса N^/. Если мы попытаемся расширять N до тех пор, пока он не охватить все имена, то ‘именуемый’ становится (согласно тому, что говорилось ранее) ‘является единственным термином, выполняющим некоторую функцию, всецело составленным из имён’. Но здесь в качестве мнимой переменной фигурирует функция; следовательно, мы ограничены до предикативной функции некоторого одного типа (ибо непредикативные функции не могут быть мнимыми переменными). Следовательно, для того, чтобы избежать парадокса, нам нужно лишь видеть, что именуемость с точки зрения таких функций является непредикативной.

Случай с ‘наименьшим неопределимым ординалом’ вполне аналогичен случаю, который мы только что обсуждали. Здесь, как и ранее, ‘определимый’ должно быть соотнесено с некоторым заданным аппаратом основополагающих идей; и есть причина предполагать, что ‘определимый в терминах идей класса N’ не определимо с точки зрения идей класса N. Верным будет то, что существует некоторый определённый сегмент ряда ординалов, всецело состоящий из определимых ординалов, и имеющий в качестве границы наименьший неопределимый ординал. Этот наименьший неопределимый ординал будет определим посредством незначительного расширения нашего основного аппарата; но тогда будет новый ординал, который будет наименьшим ординалом, неопределимым в этом новом аппарате. Если мы расширяем наш аппарат с тем, чтобы включить все возможные идеи, то более нет какой-то причины думать, что существует какой-то неопределимый ординал. Я думаю, что мнимая сила парадокса по большей части лежит в предположении, что если все ординалы определённого класса определимы, должен быть определим и этот класс, а в этом случае определим также и класс следующий за ним; но для принятия этого предположения причин нет.

Другие парадоксы, в частности, парадокс Бурали-Форти, для своего решения требуют некоторого дальнейшего развития темы.

V. АКСИОМА СВОДИМОСТИ

Пропозициональная функция от х, как мы видели, должна относиться к какому-то порядку; следовательно, любое высказывание о ‘всех свойствах х’ бессмысленно. (‘Свойство х’ есть то же самое, что и ‘пропозициональная функция, имеющая силу для х’.) Но для возможности математики абсолютно необходимо иметь некоторый метод делать высказывания, которые были бы эквивалентны тому, что мы подразумеваем, когда (некорректно) говорим о ‘всех свойствах х’. Эта необходимость проявляется во многих случаях, но особенно в связи с математической индукцией. Мы можем сказать, используя какое-то вместо все, ‘Какое-то свойство, предполагаемое 0 и числами, следующими за всеми числами его предполагающими, предполагается всяким конечным числом’. Но мы не можем перейти к ‘Конечное число – это число, которое предполагает все свойства, предполагаемые 0 и числами, следующими за всеми числами, их предполагающими’. Если мы ограничиваем это высказывание до всех первопорядковых свойств чисел, мы не можем вывести, что оно имеет силу для всех второпорядковых свойств. Например, мы не в состоянии доказать, что если m и n являются конечными числами, то m + n является конечным числом. Ибо, согласно данному выше определению, ‘m есть конечное число’ является второпорядковым свойством m; следовательно, тот факт, что m + 0 есть конечное число, и что если m + n есть конечное число, то таковым является и m + n + 1, не позволяет нам вывести по индукции, что m + n есть конечное число. Очевидно, что такое положение дел представляет многое из элементарной математики невозможным.

Или возьмём определение конечности через несовпадение целого и части, что ничуть не облегчает дело. Ибо это определение состоит в следующем: ‘Говориться, что класс конечен, когда каждое одно-однозначное отношение, чьей областью является данный класс и чья конверсная область содержится в этом классе, имеет весь класс в качестве своей конверсной области’. Здесь появляется переменное отношение, т.е. переменная функция от двух переменных; мы должны взять все значения этой функции, а это требует, что она должна относится к некоторому приписанному порядку; но никакой приписанный порядок не позволит нам вывести многие из пропозиций элементарной математики.

Следовательно, мы должны отыскать, если возможно, некоторый метод сведения порядка пропозициональной функции, не воздействуя на истинность и ложность её значений. По-видимому, этого достигает здравый смысл введением классов. Если взять какую-то пропозициональную функцию х любого порядка, предполагается, что для всех значений х она эквивалентна высказыванию формы ‘х принадлежит классу ’. Это высказывание относится к первому порядку, поскольку оно не делает отсылок к ‘все функции такого-то и такого-то типа’. И действительно, его единственное практическое преимущество перед первоначальным высказыванием х состоит в том, что оно относится к первому порядку. В предположении, что действительно существуют такие вещи как классы, преимуществ нет, и противоречие относительно классов, не являющихся членами самих себя это показывает; если классы существуют, они должны быть чем-то радикально отличным от индивидов. Я полагаю, что главная цель, которой служат классы, и главная причина, которая делает их лингвистически удобными, состоит в том, что они обеспечивают метод сведения порядка пропозициональной функции. Следовательно, я не буду допускать ничего, что, по-видимому, подразумевается при допущении классов здравым смыслом, за исключением следующего: Каждая пропозициональная функция для все своих значений эквивалентна некоторой предикативной функции.

Это допущение в отношении функций необходимо принять независимо от типа их аргументов. Пусть х – функция какого-то порядка от аргумента х, который сам может быть либо индивидом, либо функцией какого-то порядка. Если  относится к порядку следующему за х, мы записываем функцию в форме !х, в этом случае мы будем называть  предикативной функцией. Таким образом, предикативная функция от индивида является функцией первого порядка; для более высоких типов аргументов предикативные функции занимают место, которое первопорядковые функции занимают в отношении индивидов. Затем, мы предполагаем, что каждая функция для всех своих значений эквивалентна некоторой предикативной функции от тех же самых аргументов. Это допущение, по-видимому, является сутью обычного допущения классов; во всяком случае, оно сохраняет от классов столь много, чтобы мы могли их как-то использовать, и достаточно мало, чтобы избежать противоречий, которые охотно предполагают классы. Мы будем называть это допущение аксиомой классов или аксиомой сводимости.

Мы будем предполагать, что каждая функция от двух переменных эквивалентна для всех своих значений предикативной функции от этих переменных, где предикативная функция от двух переменных такова, что в отношении одной из переменных функция становится предикативной (в нашем предыдущем смысле), когда значение приписывается другой переменной. Это допущение, по-видимому, и подразумевается, когда говорят, что любое высказывание о двух переменных определяет отношение между ними. Это допущение мы называем аксиомой отношений или аксиомой сводимости. Если иметь дело с отношениями между более, чем двумя элементами, нужны сходные допущения для трёх, четырёх … переменных. Но эти допущения для нашей цели не являются необходимыми, поэтому, они и не принимаются в данной статье.

С помощью аксиомы сводимости, высказывания обо ‘всех первопорядковых функциях от х’ или ‘всех предикативных функциях от ’ охватывают большинство результатов, которые иначе требовали бы высказываний о ‘всех функциях’. Существенный пункт состоит в том, что такие результаты получаются во всех случаях, где уместна только истинность или ложность значений рассматриваемых функций, а этот случай в математике постоягнен. Таким образом, математическая индукция, например, нуждается теперь только в том, чтобы быть установленной для всех предикативных функций от чисел; тогда из аксиомы классов следует, что она имеет силу для любой функции любого порядка. Можно подумать, что парадоксы, ради которых мы изобрели иерархию типов, появятся вновь. Но это не тот случай, поскольку в таких парадоксах либо затрагивается ещё что-то помимо истинности и ложности значений функций, либо встречаются выражения, которые остаются без значения даже после введения аксиомы сводимости. Например, такое высказывание как ‘Эпименид утверждает х’ не эквивалентно ‘Эпименид утверждает !х’, даже если х и !х эквивалентны. Таким образом, ‘Я сейчас лгу’ остаётся без значения, если мы пытаемся включить все пропозиции, в совокупность тех, которые я мог бы ложно утверждать, и не затрагивается аксиомой классов, если мы ограничиваем её до пропозиций порядка n. Иерархия пропозиций и функций, стало быть, остаётся уместной как раз в тех случаях, в которых необходимо избежать парадокса.

VI. ИСХОДНЫЕ ИДЕИ И ПРОПОЗИЦИИ СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Исходные идеи, которые требуются в символической логике, по-видимому, сводятся к следующим семи:
(1) Какая-то пропозициональная функция от переменной х или нескольких переменных х, у, z … Она будет обозначаться как х или (х, у, z, …)

(2) Отрицание пропозиции. Если р – пропозиция, её отрицание будет обозначаться как р.

(3) Дизъюнкция или логическая сумма двух пропозиций, т.е. ‘это или то’. Если р и q суть две пропозиции, их дизъюнкция будет обозначаться как рq¹.

(4) Истинность какого-то значения пропозициональной функции; т.е. функции х, где х не уточняется.

(5) Истинность всех значений пропозициональной функции. Это обозначается как (х).х, или (х):х; для заключения пропозиций в скобки может потребоваться и большее число точек². В (х).х х называется мнимой переменной; когда х утверждается, там, где х не уточнён, х называется действительной переменной.

(6) Какая-то предикативная функция от аргумента какого-то типа; по обстоятельствам она будет представлена как !х, ! или !R. Предикативная функция от х – это функция, чьи значения являются пропозициями, относящимися к типу, следующему за типом х, если х является индивидом или пропозицией, или за типом значений х, если х является функцией. Она может быть описана как функция, в которой все мнимые переменные, если таковые есть, относятся к одному типу с х или к меньшему типу. Переменная относится к меньшему, чем х типу, если она может значимо встречаться как аргумент в самом х, или как аргумент в аргументе самого х и т.д.

(7) Утверждение; т.е. утверждение, что некоторая пропозиция является истинной, или что какое-то значение некоторой пропозициональной функции является истинным. Утверждение требуется для того, чтобы отличить действительно утверждаемую пропозицию от пропозиции просто рассматриваемой или от пропозиции, на которую ссылаются как на условие некоторой другой пропозиции. На утверждение будет указывать знак ‘├’, предпосланный тому, что утверждается, с достаточным количеством точек, чтобы заключить то, что утверждается, в скобки³.

Перед тем, как перейти к исходным пропозициям, нам нужны некоторые определения. В следующих определениях, также как и в исходных пропозициях, буквы p, q, r используются для обозначения пропозиций.

p  q . = . p  q Df.
Это определение устанавливает, что ‘p  q’ (которое прочитывается как ‘р влечёт q’) должно означать ‘р – ложно, или q – истинно’. Я не намереваюсь утверждать, что ‘влечёт’ не может иметь другого смысла, но утверждаю только то, что этот смысл наиболее подходит для того, чтобы задать ‘влечёт’ в символической логике. В определении знак равенства и буквы ‘Df’ должны рассматриваться как один символ, совместно означая ‘значит по определению’. Знак равенства без букв ‘Df’ имеет иной смысл, который вскоре будет рассмотрен.
p . q . = . (p  q) Df.
Это определяет логическое произведение двух пропозиций р и q, т.е. ‘р и q оба являются истинными’. Приведённое определение устанавливает, что это должно означать: ‘Ложно, что р – ложно, или q – ложно’. Здесь определение снова не даёт единственного смысла, который может быть придан ‘р и q оба являются истинными’, но задаёт значение, которое наиболее подходит для нашей цели.
p  q . = . p  q . q  p Df.
То есть ‘p  q’, которое читается как ‘р эквивалентно q’, означает ‘р влечёт q, и q влечёт р’; откуда, конечно, следует, что р и q являются оба истинными или оба ложными.
(х) . х . = . {(x) . x} Df.
Это определяет ‘Существует по крайней мере одно значение х для которого х является истинным’. Мы определяем последнее как означающее ‘Ложно, что х всегда ложно’.
x = y . = : () : !x .  . !y Df.
Это – определение равенства. Оно устанавливает, что х и у должны называться равными, когда каждая предикативная функция, выполняющаяся х, выполняется у. Из аксиомы сводимости следует, что если х выполняет х, где  есть какая-то функция, предикативная или непредикативная, то у выполняет у.

Следующие определения менее важны и вводятся только с целью сокращения.

(x, y) . (x, y) . = : (x) : (y) . (x, y) Df,

(x, y) . (x, y) . = : (x) : (y) . (x, y) Df,

x . _x . x : = : (x) : x  x Df,

x . _x . x : = : (x) : x .  . x Df,

(x, y) . _{x, y} . (x, y) : = : (x, y) : (x, y) .  . (x, y) Df,
и т.д. для любого числа переменных.

Требуются следующие исходные пропозиции (в 2, 3, 4, 5, 6 и 10 p, q, r обозначают пропозиции):

1. 
   Пропозиция, выведенная из истинной посылки, является истинной.
   
2. 
   ├ : p  p .  . p.
   
3. 
   ├ : q .  . p  q.
   
4. 
   ├ : p  q .  . q  p.
   
5. 
   ├ : p  (q  r) .  . q  (p  r).
   
6. 
   ├ : . q  r .  : p  q .  . p  r.
   
7. 
   ├ : (x) . x .  . y;
   

т.е. ‘если все значения  являются истинными, то у является истинным, где у есть какое-то значение’¹.
(8) Если у – истинно, где у есть какое-то значение , то (х).х – истинно. Этого нельзя выразить в наших символах; ибо, если мы записываем ‘у .  . (х)х’, это означает ‘у влечёт, что все значения  являются истинными, где у может принимать любое значение подходящего типа’ , что в общем не имеет места. То, что мы намереваемся утверждать, заключается в следующем: ‘Если при любом выбранном у у – истинно, то (х).х – истинно’, тогда как то, что выражено посредством ‘y .  . (x) . x’, есть ‘При любом выбранном у, если у – истинно, то (х).х – истинно’, что является совершенно иным высказыванием, которое в общем случае ложно.
(9) ├ : (х) . х .  . а, где а есть какая-то определённая константа.

Это принцип на самом деле представляет собой много различных принципов, а именно, столько, сколько существует возможных значений а. Т.е. он устанавливает, например, что то, что имеет силу для всех индивидов, имеет силу для Сократа; а также, оно имеет силу для Платона; и т.д. Этот принцип состоит в том, что общее правило можно применить к частному случаю; но чтобы задать его область, необходимо упомянуть отдельные примеры, поскольку в противном случае нам нужен принцип, который сам заверят нас в общем правиле, что общие правила, которые могут применены к частному случаю, могут быть применены к отдельному случаю, скажем, к Сократу. Таким образом, этот принцип отличается от (7); данный принцип высказывается о Сократе, Платоне или какой-то другой константе, тогда как (7) высказывается о переменной.

Указанный принцип никогда не используется в символической логике или в чистой математике, поскольку все наши пропозиции являются общими. И даже тогда, когда (как в ‘один есть число’) мы, по видимости, имеем строго частный случай, при близком рассмотрении он не оказывается таковым. Фактически, применение этого принципа является отличительным признаком прикладной математики. Стало быть, строго говоря, мы должны исключить его из нашего списка.
(10) ├ : . (х) . р  х .  : р .  . (х) . х;

т.е., ‘если “р или х” – всегда истинно, то или р – истинно, или х – всегда истинно’.

(11) Когда f(x) – истинно при любом возможном аргументе х, и F(y) – истинно при любом возможном аргументе у, тогда {f(x) . F(x)} является истинным при любом возможном аргументе х.

Это – аксиома ‘неопределённости переменных’. Она нужна, когда о каждой из двух отдельных пропозициональных функций известно, что они всегда являются истинными, и мы хотим вывести, что их логическое произведение всегда является истинным. Этот вывод оправдан только тогда, когда две функции принимают аргументы одного и того же типа, ибо, в противном случае, их логическое произведение бессмысленно.

(12) Если х.хх – истинно для любого возможного х, то х – истинно для любого возможного х.

Эта аксиома требуется для того, чтобы заверить нас в том, что область значимости х, в предполагаемом случае, совпадает с областью значимости х.хх..х; фактически, обе области совпадают с областью значимости х. В предполагаемом случае мы знаем, что х – истинно везде, где и х.хх, и х.хх..х являются значимыми, но без аксиомы мы не знаем, что х – истинно, везде, где х является значимым. Следовательно, эта аксиома нам необходима.

Аксиомы (11) и (12) требуются, например, при доказательстве

(х) . х : (х) . х  х :  . (х) . х.

По (7) и (11)

├ : . (х) . х : (х) . х  х :  : у . у  у,

отсюда, по (12)

├ : . (х) . х : (х) . х  х :  : у,

отсюда результат вытекает по (8) и (10).
(13) ├ : . (f) : . (x) : x .  . f!x.

Это – аксиома сводимости. Она устанавливает, что если задать какую-то функцию , то существует такая предикативная функция f! , что f!x всегда эквивалентна х. Заметим, что поскольку пропозиция, начинающаяся с ‘(f)’ по определению есть отрицание пропозиции, начинающейся с ‘(f)’, приведённая аксиома включает возможность рассмотрения ‘всех предикативных функций от х’. Если х есть какая-то функция от х, мы не можем высказать пропозицию, начинающуюся с ‘()’ или ‘()’, поскольку мы не можем рассматривать ‘все функции’, но только ‘какую-то функцию’ или ‘все предикативные функции’.

(14) ├ : . (f) : . (x, y) : (x, y) .  . f!(x, y).

Это – аксиома сводимости для двухместной функции.

В приведённых выше пропозициях наши х и у могут относиться к любому типу. Единственное, где уместна теория типов, состоит в том, что (11) лишь позволяет нам отождествить действительные переменные, встречающиеся в различных содержаниях, когда демонстрируется, что они относятся к одному и тому же типу, поскольку в обоих случаях входят как аргументы одной и той же фунции, и что в (7) и (9) у и а, соответственно, должны относится к типу, подходящему для аргументов . Поэтому, если предположить, например, что у нас есть пропозиция формы ().f!(! , x), являющаяся второпорядковой функцией от х, то по (7)

├ : () . f!(! , x) .  . f!(! , x),

где ! есть какая-то функция первого порядка. Но () . f!(! , x) нельзя рассматривать так, как если бы она была первопорядковой функцией от х, и брать эту функцию как возможное значение ! в указанном выше выражении. Подобное смешение типов приводит к парадоксу лжеца.

Снова рассмотрим классы, которые не являются членами самих себя. Ясно, что поскольку мы отождествляем классы с функциями¹, ни об одном классе нельзя значимо говорить, что он является или не является членом самого себя; ибо члены класса являются аргументами функции, а аргументы функции всегда относятся к типу, более низкому, чем функция. И если мы спросим: ‘Как обстоит дело с классом всех классов? Он что же, не является классом и, поэтому, членом самого себя?’, ответ двойственен. Во-первых, если ‘класс всех классов’ означает ‘класс всех классов любого типа’, то такого понятия нет. Во-вторых, если ‘класс всех классов’ означает ‘класс всех классов типа t’, то этот класс относится к типу, следующему за t, а, потому, снова не является членом себя самого.

Таким образом, хотя приведённые выше пропозиции равным образом применяются ко всем типам, они не позволяют нам вывести противоречия. Поэтому, в процессе какой-либо дедукции никогда не нужно рассматривать абсолютный тип переменной; необходимо лишь видеть, что различные переменные, встречающиеся в одной пропозиции, относятся к надлежащим соответствующим типам. Это исключает те функции, из которых было получено наше четвёртое противоречие, а именно: ‘Отношение R имеет силу между R и S’. Ибо отношение между R и S необходимо относится к более высокому типу, чем любое из них, так что предполагаемая функция является бессмысленной.

VII. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ И ОТНОШЕНИЙ

Пропозиции, в которые входит функция , могут по своему истинностному значению зависеть от особой функции , или же они могут зависеть от объёма , т.е. от аргументов, которые выполняют . Функции последнего сорта мы будем называть экстенсиональными. Так, например, ‘Я верю, что все люди смертны’ не может быть эквивалентно ‘Я верю, что все беспёрые двуногие смертны’, даже если люди по объёму совпадают с двуногими беспёрыми; ибо я могу и не знать, что по объёму они одинаковы. Но ‘Все люди смертны’ должно быть эквивалентно ‘Все беспёрые двуногие смертны’, если люди по объёму совпадают с двуногими и беспёрыми. Таким образом, ‘Все люди смертны’ является экстенсиональной функцией от функции ‘х – человек’, тогда как ‘Я верю, что все люди смертны’ не является экстенсиональной функцией; мы будем называть функцию интенсиональной, когда она не является экстенсиональной. Функции от функций, с которыми особо имеет дело математика, все являются экстенсиональными. Признак экстенсиональной функции f от функции ! состоит в следующем:

!х . _х . !х : _{, } : f(! ) .  . f(! ).

Из функции f от функции ! мы можем вывести соответствующую экстенсиональную функцию следующим образом. Пусть
f{(z)} . = : () : !x . _x . x : f{!} Df.
Функция f{(z)} фактически есть функция от , хотя она и не совпадает с функцией f(! ), предполагая, что эта последняя является значимой. Но трактовать так f{(z)} технически удобно, хотя она и содержит аргумент (z), который мы называем ‘класс, определяемый посредством ’. Мы имеем
├ : . x . _x . x :  : f{(z)} .  . f{(z)},
следовательно, применяя определение тождества к фиктивным объектам (z) и (z), данное выше, мы находим, что
├ : . x . _x . x :  . (z) = (z).
Это утверждение, а также его конверсия (что также можно доказать), указывает отличительное свойство классов. Следовательно, мы вполне можем трактовать (z) как класс, определяемый посредством . Тем же самым способом мы устанавливаем
f{(x, y)} . = : () : !(x, y) . _{x, y} . (x, y) : f{!(, )} Df.
Здесь необходимо несколько слов относительно различия между !(, ) и !(, ). Мы будем принимать следующее соглашение: Когда функция (в противоположность своим значениям) представлена в форме, включающей и (или какие-то другие две буквы алфавита), значение этой функции для аргументов а и b должно обнаруживаться подстановкой а вместо и b вместо ; т.е. аргумент, упоминающийся первым, должен подставляться вместо буквы, которая встречается в алфавите раньше, а аргумент, упоминающийся вторым, – вместо буквы, которая встречается позднее. И это вполне удовлетворительно проводит различие между !(, ) и !(, ); например:
Значение !(, ) для аргументов а и b есть !(а, b).

Значение !(, ) для аргументов b и а есть !(b, а).

Значение !(, ) для аргументов а и b есть !(b, a).

Значение !(, ) для аргументов b и a есть !(a, b).

Мы устанавливаем:

х! . = . !х Df.,

следовательно,

├ : . x(z) . = : () : !y . _y . y : !x.
К тому же, по аксиоме сводимости мы имеем
() : !y . _y . y,

следовательно,

├ : x(z) .  . x.
Это имеет силу при любом х. Предположим теперь, что мы хотим рассмотреть (z) f{(!z)}. Согласно изложенному выше, мы имеем
├ : . (z) f{(!z)} .  . f{(z)} :  : () : !y . _y . y : f(!z),

отсюда

├ : . (z) = (z) .  : (z)x . _ . (z)x,
где х записывается вместо любого выражения формы f{(!z)}.

Мы устанавливаем:

cls = {(} .  = (!z)} Df.
Здесь cls обладает значением, которое зависит от типа мнимой переменной . Следовательно, пропозиция ‘cls  cls’, например, являющаяся следствием приведённого выше определения, требует, что ‘cls’ должно обладать различным значением в двух местах, где оно встречается. Символ ‘cls’ может использоваться только там, где необходимо знать тип; он обладает неопределённостью, которая приспосабливается к обстоятельствам. Если мы вводим как неопределяемую функцию ‘Indiv!x’, означающую ‘x – индивид’, мы можем установить
Kl = {(} .  = (!z . Indiv!z)} Df.
Тогда, Kl – это определённый символ, означающий ‘класс индивидов’.

Мы будем использовать строчные буквы греческого алфавита (иные, чем , , , , ), чтобы представлять классы любого типа, т.е. обозначать символы формы (!z) или (z).

С этого пункта теория классов во многом развивается как в системе Пеано; (z) заменяет zэ(z). Также, я устанавливаю:
   . = : x .  . x Df.,

! . = . (x) . x Df.,

V = (x = x) Df.,

 = {(x = x)} Df.,

где , как и у Пеано, есть нуль-класс. Символы , , V, как и символы cls и , не определены, и приобретают определённое значение, когда рассматриваемый тип указан иным способом.

Отношения мы трактуем точно таким же способом, устанавливая

a{!(, )}b . = . !(a, b) Df.
(порядок предопределён алфавитным порядком х и у и типографским порядком а и b); отсюда,
├ : . a{(x, y)}b .  : () : (x, y) . _{x, y} . !(x, y) : !(a, b),
откуда, по аксиоме сводимости,
├ : a{(x, y)}b .  . (a, b).
Используя прописные буквы латинского алфавита в качестве сокращения для таких символов как (x, y) мы находим, что
├ : . R = S .  : xRy . _{x, y} . xSy,

где

R = S . = : f!R . _f . f!S Df.

Мы устанавливаем:

Rel = {) . R = !(x, y)} Df.
и находим, что всё, что доказывается для классов, имеет свой аналог для двухместных отношений. Следуя Пеано, мы устанавливаем:
 = (x . x) Df.,
определяя произведение, или общую часть, двух классов;
 = (x .  . x) Df.,
определяя сумму двух классов; и
–  = {(x)} Df.,
определяя отрицание класса. Сходным образом для отношений мы устанавливаем:
R S = (xRy . xSy) Df.,

RS = (xRy .  . xSy) Df.,

R = {(xRy)} Df.

VIII. ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

Функции, рассмотренные до сих пор, за исключением нескольких отдельных функций, таких как R S были пропозициональными. Но обычные функции математики, такие как х², sin x, log x, не являются пропозициональными. Функции этого вида всегда означают ‘элемент, имеющий такое-то и такое-то отношение к х’. По этой причине они могут быть названы дескриптивными [descriptive] функциями, поскольку они описывают [describe] определённый элемент через его отношение к их аргументам. Так, ‘sin /2’ описывает число 1; однако пропозиции, в которых встречается /2, не останутся теми же самыми, если бы в них было подставлено 1. Это, например, обнаруживается из пропозиции ‘sin  = 1’, которая содержит значимую информацию, тогда как ‘1 = 1’ – тривиально. Дескриптивные функции имеют значение не сами по себе, но только как конституенты пропозиций; и это вообще применяется к фразам формы ‘элемент, имеющий такое-то и такое-то свойство’. Следовательно, имея дело с такими фразами, мы должны определять какую-то пропозицию, в которую они входят, а не фразу саму по себе¹. Таким образом, мы приходим к следующему определению, в котором ‘(ɿx)(x)’ должно читаться как ‘данный [the] элемент x, который выполняет х’.
{(ɿx)(x)} . = : (b) : x . =_x . x=b : b Df.
Это определение устанавливает, что ‘элемент, который выполняет , выполняет ’ должно означать: ‘Существует термин b, такой что х – истинно тогда и только тогда, когда х есть b, и b – истинно’. Таким образом, все пропозиции об ‘данном таком-то и таком-то’ будут ложными, если такого-то и такого-то не существует или их существует несколько.

Общее определение дескриптивной функции является следующим:

R‘y = (ɿx)(xRy) Df.;
т.е. ‘R‘y’ должно означать ‘элемент, который имеет отношение R к у’. Если же существует несколько или не существует ни одного элемента, имеющего отношение R к у, то все пропозиции о R‘y будут ложными. Мы устанавливаем:
<предыдущая страница | следующая страница>