Матрица оператора, его образ, ядро, ранг и дефект

Пример. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i, j, k), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов EQ V\s\do6(3) на плоскость XOY.
Решение

1. Докажем по определению линейность оператора проецирования. Пусть в базисе i, j, k произвольный вектор x имеет координаты EQ {x\s\do6(1),x\s\do6(2),x\s\do6(3)}. Тогда его образ (проекция) есть EQ \o(\s\up5(^),P) = {x\s\do6(1),x\s\do6(2),0}.

EQ ={x\s\do6(1),x\s\do6(2),x\s\do6(3)}V\s\do6(3), EQ ={y\s\do6(1),y\s\do6(2),y\s\do6(3)}V\s\do6(3) и EQ имеем:

EQ \o(\s\up5(^),P)(+) = {x\s\do6(1)+y\s\do6(1),x\s\do6(2)+y\s\do6(2),0} = {x\s\do6(1),x\s\do6(2),0} + {y\s\do6(1),y\s\do6(2),0} = \o(\s\up5(^),P)+\o(\s\up5(^),P);

EQ \o(\s\up5(^),P)() = {x\s\do6(1),x\s\do6(2),0} = {x\s\do6(1),x\s\do6(2),0} = \o(\s\up5(^),P).

При доказательстве мы воспользовались правилами действий с векторами в координатной форме.

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов i, j, k и запишем их координаты в базисе i, j, k:

EQ \o(\s\up5(^),P)i = i = {1,0,0}, EQ \o(\s\up5(^),P) = j = {0,1,0}, EQ \o(\s\up5(^),P) = 0 = {0,0,0}.

Таким образом, матрица оператора проецирования EQ \o(\s\up5(^),P):

EQ P = \b\bc\(( \a\co3( 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ))

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора EQ \o(\s\up5(^),A), исходя из определений.

Образ оператора проецирования EQ \o(\s\up5(^),P) — это множество векторов, лежащих в плоскости EQ XOY, следовательно, в базисе i, j, k

Img EQ \o(\s\up5(^),P) = {"y: y = ai+bj, a,bÎR}.

Отсюда Rg EQ \o(\s\up5(^),P) = 2.

Ker EQ \o(\s\up5(^),P) — множество векторов, коллинеарных оси OZ, следовательно, в базисе i, j, k

Ker EQ \o(\s\up5(^),P) = {"x: x = gk, gÎR}.

Отсюда Def EQ \o(\s\up5(^),P) = 1. Заметим, что Rg EQ \o(\s\up5(^),P) + Def \o(\s\up5(^),P) = 2 + 1 = dim V\s\do6(3).

Ответ: оператор EQ \o(\s\up5(^),P) линеен. Его матрица в базисе i, j, k

EQ P = \b\bc\(( \a\co3( 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ).

Img EQ \o(\s\up5(^),P) = {"y: y = ai+bj, a,bÎR}, Rg EQ \o(\s\up5(^),P) = 2,

Ker EQ \o(\s\up5(^),P) = {"x: x = gk, gÎR}, Def EQ \o(\s\up5(^),P) = 1.