Экстремум функции двух переменных

Пример. Найти стационарные точки функции z = xEQ \s\up6(3) +yEQ \s\up6(3) – 3x·y и определить их типы.
Решение

1. Стационарными точками функции нескольких переменных называются точки, в которых все ее частные производные (и полный дифференциал) равны нулю.

Следовательно, чтобы найти стационарные точки функции z = z(x,y), нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными

EQ \b\lc\{( \a\al\co1(z'\s\do6(x)(x,y) = 0,z'\s\do6(y)(x,y) = 0))

Решая эту систему уравнения, находим стационарные точки функции z(x,y): EQ M\s\do6(1)(0,0) и EQ M\s\do6(2)(1,1).

2. Чтобы определить типы стационарных точек, воспользуемся достаточным условием экстремума функции 2 – х переменных:

Пусть функция z = z(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные 2 – го порядка в окрестности точки EQ M(x\s\do6(0),y\s\do6(0)), где EQ M(x\s\do6(0),y\s\do6(0)) — стационарная точка (т.е. EQ z'\s\do6(x)(x\s\do6(0),y\s\do6(0)) = z'\s\do6(y)(x\s\do6(0),y\s\do6(0)) = 0). Тогда, если в этой точке

а) EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)·EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) > 0, то M — точка экстремума, причем

при EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x) > 0 — точка минимума,

при EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x) < 0 — точка максимума;

б) если EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)·EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) < 0, то M не является точкой экстремума;

в) если EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x) · EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) = 0, то требуется дополнительное исследование (например, по определению).

3. В каждой стационарной точке вычисляем

EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x) = 6x и EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)·EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) = 36x·y–9.

В точке EQ M\s\do6(1)(0,0) EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)· EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) = – 9 < 0.

Следовательно, точка EQ M\s\do6(1)(0,0) не является точкой экстремума.

В точке EQ M\s\do6(2)(1,1) EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)· EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) = 27 > 0

Следовательно, точка EQ M\s\do6(2)(1,1) является точкой экстремума. Так как EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)(1,1) = 6 > 0, то EQ M\s\do6(2)(1,1) — точка минимума.

Ответ:

Функция z = xEQ \s\up6(3) +yEQ \s\up6(3) – 3x·y имеет две стационарные точки EQ M\s\do6(1)(0,0) и EQ M\s\do6(2)(1,1).

EQ M\s\do6(1)(0,0) не является точкой экстремума.

EQ M\s\do6(2)(1,1) — точка минимума.

Применение STEM Plus

Если “запомнить”, что z = xEQ \s\up6(3) +yEQ \s\up6(3) – 3x·y, то выражения

EQ z'\s\do6(x), EQ z'\s\do6(y), EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x) · EQ z'\s\do6(y)'\s\do6(y) – (EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(y))EQ \s\up6(2) и EQ z'\s\do6(x)'\s\do6(x)

можно вычислять выделяя их и нажимая Alt+=.