§5. Экстремум функции двух переменных.

Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) ( f(x,y)> f(x₀,y₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z = xy; z_x = y; z_y = x; z_x(0,0) = 0; z_y(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0)  обращаются в 0. Однако точка (0,0)  не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть z_x(x₀,y₀) = 0 и z_y(x₀,y₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введем обозначения: A = z_xx(x₀,y₀); B = z_xy(x₀,y₀); C = z_yy(x₀,y₀); D = AC - B².

Тогда, если D < 0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x₀,y₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

z_x(x,y) = 0;

z_y(x,y) = 0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

§6. Метод наименьших квадратов

Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам x_i, y_i. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.

Итогом этих испытаний является таблица:

			. . .
			. . .

где каждому числу x_i (величину рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число (величину рассматриваем как зависимый показатель – результат).

В качестве значений часто рассматриваются моменты времени: t₁, t₂, ..., t_n, взятые через равные промежутки. Тогда таблица

			. . .
			. . .

называется временным рядом.

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (x_i,y_i) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a₀ и a₁ этой прямой:

y = a₀ + a₁x, (1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (x_i, y_i).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S² = (y₁ – (a₀ + a₁x₁))² + (y₂ – (a₀ + a₁x₂))² +...+ (y_n – (a₀ + a₁x_n))² =

.

Обратим внимание на то, что все x_i и y_i — известные из таблицы числа, а S² есть функция двух переменных a₀ и a₁.

S² = S²(a₀,a₁)

Можно показать, что график функции S² выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производ­ные и равны нулю, является точкой минимума.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

, (2)

. (3)

На самом деле для фунуции S² = S²(a₀,a₁) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

. (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a₀ и a₁.

Формула (1) с параметрами a₀, a₁ определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a₀ + a₁x + a₂x² или y = a₀ exp(a₁x) с параметрами соответственно a₀, a₁, a₂ и a₀, a₁, подставить ее в выражение и искать минимум получившейся функции S² при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1. Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)	;	2)	;
3)	;	4)	;
5)	;	6)	;