Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
С.И. Кузнецов
Г.В. Ерофеева
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО
ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
3-е издание, переработанное, дополненное
Издательство
Томского политехнического университета
2011
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
К891
К891Кузнецов С.И.
Методика решения задач по электростатике: учебное пособие / С.И. Кузнецов; Ерофеева Г.В.; Национальный исследовательский Томский политехнический университет. – 3-е изд., перераб. доп. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 43 с.
В учебном пособии рассмотрены основные вопросы электростатики, приведены методические указания по решению типовых задач, а так же приведены задачи для самостоятельного решения и тесты.
Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.
Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует программе курса физики, общеобразовательных учебных заведений и направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности учащихся.
Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы. Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной работы.
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ
А.В. Шаповалов
Доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ
А.Г. Парфенов
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство ТПУ, 2011
© Кафедра общей физики. 2011
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Заряд, возникающий на стекле, натертом кожей, был назван положительным, на эбоните, натертом мехом – отрицательным. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.
Алгебраическая сумма электрических зарядов любой системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами, остается неизменной – закон сохранения электрического заряда.
Электрон – носитель элементарного отрицательного заряда, его заряд 
Кл. Носитель элементарного положительного заряда – протон. Заряд любого тела составляет кратное от элементарного электрического заряда е.
Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.
Два точечных неподвижных заряда и взаимодействуют в вакууме по закону Кулона: ,
где F – модуль силы взаимодействия; и – модули зарядов; r – расстояние между зарядами.
Коэффициент пропорциональности: ,
где – электрическая постоянная.
Сила Кулона направлена по линии, соединяющей центры зарядов (рис.1).
По III закону Ньютона 
.
Область пространства, окружающая заряд, называется электростатическим (или электрическим) полем. Электрическое поле характеризуется:
1) напряженностью поля в данной точке
(силовая характеристика поля, величина векторная);
2) потенциалом поля в данной точке (энергетическая характеристика).
Напряженность в данной точке равна:
где – сила, действующая на заряд q, помещенный в эту точку.
Направление вектора совпадает с направлением действия силы на положительный заряд, помещенный в данную точку поля.
Чтобы найти направление напряженности поля в данной точке, надо в эту точку мысленно поместить положительный заряд и найти направление действия силы на этот заряд.
Направление напряженности поля, создаваемого положительным зарядом в т. А (рис. 2а). Направление напряженности поля, создаваемого отрицательным зарядом в т. А (рис. 2б).
Если электрическое поле создается несколькими зарядами (рис. 3), то суммарная (результирующая) напряженность поля 
в данной точке А равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом (принцип суперпозиции электрических полей): .
Суммарная напряженность при сложении двух полей: ,
где .
Напряженность Е электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него:
,
здесь ε – диэлектрическая проницаемость среды.
Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в среде, т.е. .
Для воздуха и вакуума (или если среда не указана) ε = 1.
Электрический момент диполя:,
где l – расстояние между положительным и отрицательным зарядом (плечо диполя).
Напряженность поля электрического диполя:
.
Линейная плотность заряда: .
Поверхностная плотность заряда: .
Объемная плотность заряда: .
Напряженность поля нити: .
Напряженность поля плоскости: .
Напряженность поля двух плоскостей: .
Напряженность поля сферы: .
Работа по перемещению заряда из точки один в точку два:
.
Потенциальная энергия взаимодействия зарядов: .
Потенциал электростатического поля: .
Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то результирующий потенциал равен:
При перемещении заряда q из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом совершается работа А: .
Связь между напряженностью и разностью потенциалов однородного электрического поля: ,
здесь – разность потенциалов между точками, находящимися одна от другой на расстоянии d вдоль линии напряженности.
Однородным называется электрическое поле, напряженность во всех точках которого одинакова по модулю и направлению, например, поле равномерно заряженной плоскости и плоского конденсатора вдали от краев (Рис. 4) (
).
Способность тел накапливать электрический заряд называется электрической емкостью.
Электрическая емкость С уединенного проводника: , где q – заряд; – потенциал проводника.
Емкость плоского конденсатора: ,
где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; – диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами.
При последовательном соединении конденсаторов заряд на всех обкладках (пластинах) одинаков.
Общую емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов Собщ можно найти из формулы:
.
При параллельном соединении конденсаторов напряжение U на всех конденсаторах одинаково, а общий заряд:
.
Общая емкость батареи при параллельном соединении: .
Энергия электрического поля заряженного конденсатора: ,
где q – заряд конденсатора; U – напряжение между обкладками конденсатора.
Объемная плотность энергии электрического поля (энергия единицы объема): или .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. В вершинах правильного шестиугольника со стороной, а = 10 см расположены точечные заряды: q, 2q, 3q, 4q, 5q, 6q (q = 0,1 мкКл). Найти силу F взаимодействия 7-го точечного заряда q с остальными. Он находится в плоскости шестиугольника и равноудален от его вершин. Результат представить в мН. Принять .
Дано:
F = ?Решение: Поскольку 7-ой заряд равноудален от вершин шестиугольника, то, очевидно, он находится в его центре. Покажем действующие на 7 - ой заряд силы. Как следует из рисунка, задача сводится к нахождению 3-х равнодействующих двух сил, направленных противоположно, и последующему сложению этих равнодействующих по правилу параллелограмма.
Силы F4 и F1: .
Силы F5 и F2:.
Силы F6 и F3:.
Таким образом, результирующие силы равны по величине. Чтобы нагляднее показать векторную сумму сил сделаем еще один рисунок.
Векторная сумма сил 
и равна силе . Векторная сумма сил и дает нам искомую силу .
Поскольку треугольники ДКС, КОС, ОСВ и ДСА – равносторонние, то F, действующая на 7-ой заряд равна , т.е.
.
Ответ: F = 54 мН.
2. Два точечных заряда по 1 нКл находятся на расстоянии R друг от друга. Куда следует поместить точечный заряд q0, чтобы система находилась в равновесии? Выразить величину заряда q0 в нКл.
Дано:
q0 = ?Решение: Покажем на рисунке силы, действующие на заряды ql и q2. Оба заряда положительные, следовательно, заряды отталкиваются. Чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо уравновесить силы и . Для этого между зарядами ql и q2 следует поместить отрицательный заряд –q0. Поскольку заряды ql и q2 одинаковы по величине, то, очевидно, что заряд –q0 следует разместить на одинаковом расстоянии R/2 от зарядов ql и q2. Покажем теперь на рисунке систему из 3-х зарядов и действующие на заряды силы.
Силы 
и действуют на заряды ql и q2 со стороны заряда –q0, а силы и действуют на заряд –q0 со стороны зарядов ql и q2.
Данная система зарядов будет находиться в равновесии если:
.
Величину заряда q0 можем найти из соотношения F1 = F01, сила F1 = F01 по III закону Ньютона, или из F2 = F02, кроме того F01 = F02, т.е.
(1)
отсюда .
Подставив числовые, данные получим 0,25 нКл.
Примечание: в соотношении (1) заряд q0 взят по модулю, потому что знак заряда мы уже учли, когда находили направление сил, действующих да заряды.
Ответ: q0 = – 0,25 нКл.
3. Два небольших тела, связанные нитью, лежат на горизонтальной плоскости. Заряд каждого тела 3 нКл, масса 10 мг. Нить пережигают и тела скользят по плоскости. Коэффициент трения равен 0,1. Определить в сантиметрах расстояние между телами, при котором они развивают максимальную скорость. Ускорение свободного падения принять 10 м/с2.
Дано:
l = ?Решение: Покажем на рисунке действующие на тела силы:
это сила Кулона () и сила трения (); сила тяжести () и сила реакции плоскости (). По II закону Ньютона , т.е.
В проекции на ось х имеем:
Поскольку по условию надо определить расстояние между телами, когда они развивают максимальную скорость, то в этом случае а = 0, т.к. скорость затем должна уменьшаться, а это может быть лишь при отрицательном ускорении.
Таким образом,
.
Поскольку
, то
отсюда
Подставив числовые данные, получим
Ответ: l = 9 см.
4. Маленький шарик массой 100 мг и зарядом 16,7 нКл подвешен на нити. На какое расстояние надо подвести к нему снизу одноименный и равный ему заряд, чтобы сила натяжения уменьшилась вдвое? Принять g = 10 м/с2,
. Результат представить в сантиметрах и округлить до целого числа.
Дано:
l = ?Решение: Пока заряженного шарика нет, сила упругости нити T1 = mg. По условию, если подвести заряженный шарик, сила упругости T2 должна уменьшиться вдвое, т.е.
.
Поскольку шарик находится в равновесии, то , т.е.
.
В проекции на ось Y: –mg + Fk + T2 = 0.
Так как Т2 = T1/2, то –mg +Fk + mg/2 =0, отсюда
Fk = mg/2
По закону Кулона ,
отсюда .
Таким образом, расстояние l равно
.
Подставим числовые данные:
.
Или в сантиметрах после округления l = 7 см.
Ответ: l = 7 см.
5. Два одинаково заряженных шарика, подвешенных на нитях равной длины, разошлись на некоторый угол. Какова плотность материала шариков, если при погружении их в керосин, угол между нитями не изменился? Диэлектрическая проницаемость керосина
= 2, плотность керосина = 800 кг/м3. Результат представить в единицах СИ.
Дано:
= 2
= 800 кг/м3 = ?Решение: Как следует из рисунков:
1) в воздухе на каждый заряженный шарик действуют сила тяжести , сила упругости и сила Кулона ;
2) в керосине добавляется выталкивающая сила Архимеда , направленная противоположно силе тяжести.
Шарики находятся в равновесии. Условия равновесия шариков:
1)в воздухе
;
2) в керосине
Следовательно, в воздухе сила Кулона равна равнодействующей сил упругости и тяжести, а в керосине – равнодействующей сил упругости, Архимеда и силы тяжести.
Поскольку угол расхождения шариков одинаков, то:
(1), (2).
Сила Архимеда ,
здесь – плотность керосина; – объем шарика; g – ускорение свободного падения. Масса шарика может быть представлена
,
здесь – плотность материала шарика.
Приравняв правые части выражений (1) и (2) и подставив в них соответствующие выражения для m, FК1, FК2 и FA, получим:
.
Произведя сокращения:
или .
Подставив числовые данные, получим = 1600 кг/м3.
следующая страница>