УДК 519.6

ОБ ОЦЕНИВАНИИ ЛОКАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ЛЮДСКОГО ПОТОКА

Е.В. Попел,

Научный руководитель канд. физ.-мат. наук Е.С. Кирик

Сибирский федеральный университет
Одним из актуальных направлений математического моделирования является создание математических моделей движения людей. Такие модели используются при решении задач комплексной безопасности в части оценивания времени эвакуации людей из помещений, зданий, сооружений при различных сценариях развития чрезвычайной ситуации.

Многочисленные экспериментальные исследования показали, что существует устойчивая качественная зависимость между скоростью движения потока людей и его плотностью: с ростом плотности скорость убывает. Эта зависимость называется фундаментальной диаграммой. Существуют как табличные, так и аналитические выражения фундаментальной диаграммы. Удовлетворение свойствам фундаментальной диаграммы является одним из критериев качества математической модели движения людей. Кроме того, существуют модели как поточного типа, так и, наиболее популярного в настоящее время, индивидуально-поточного типа, в которых для описания перемещения используется зависимость скорости человека (потока людей) от текущей плотности в явном виде. Поэтому при компьютерном моделировании возникает задача численного оценивания плотности потока в момент времени t на локальном участке. Методам решения этой задачи и посвящена данная работа: формулируется постановка задачи, описываются возможные методы решения, приводится их сравнительный анализ.

1. Постановка задачи.

Предполагаем, что граничные условия (плоская область, в которой моделируется движение людей) известны и заданы в глобальной системе координат. Каждый человек в момент времени t задан своей проекцией на плоскость, форма проекции – диск, радиуса R, [м], с центром в точке . В области расположено произвольное число людей с учетом принципа исключения (проекции не пересекаются).

Рисунок 1. Пример расчетной ситуации.
Считаем, что размер и форма участка, на котором требуется оценить плотность людей, известны. Как правило, это определяется моделью движения людей. В данном случае будем рассматривать прямоугольный участок V ширины , [м], и длины L, [м] (как изображено на рисунке 1). В качестве точки привязки участка V определим координату , которая совпадает с центром одного из дисков радиуса , а так же считаем, что участок находится под углом наклона относительно оси Ox глобальной системы координат. Требуется оценить плотность покрытия участка V другими дисками.

2. Решение задачи.

Было разработано и программно реализовано несколько методов оценивания плотности потока. Способы отличаются количеством вычислительных операций, точностью и физической интерпретацией. Сначала рассматриваются методы, дающие равномерную оценку плотности, затем – взвешенную.

Во всех составленных алгоритмах в первую очередь исключаются из рассмотрения все те диски, которые вообще не пересекаются с участком V. Далее происходит переход к новой системе координат :

,

где – координаты центра i - го диска, пересекающего участок V.

Таким образом, наклон участка V совпадает с осью , что упрощает все формулы и вычисления в алгоритме, в то время как сам переход к новой системе координат занимает незначительное число операций.

2.1. Аналитический метод.

Аналитический метод состоит в нахождении точной площади покрытия дисками рассматриваемого участка и последующее соотнесение этой площади с общей площадью участка:

.

Для нахождения точной площади поочередно определяется положение каждого диска относительно участка V, а затем исходя из этого по геометрическим формулам (такие как площадь сектора, сегмента круга) вычисляется точная площадь пересечения.

2.2. Сеточный метод.

Сеточный метод заключается в разбиении участка V на маленькие ячейки и проверке на пересечение каждой ячейки каким-либо диском. Отношение количества пересекаемых ячеек к общему числу ячеек дает искомую оценку плотности:

.

2.3. Метод Монте-Карло и взвешенная плотность.

В методе Монте-Карло внутри участка V генерируется P точек. Если точка попадает на диск, то инкрементируется счетчик, который в итоге будет содержать значение – количество точек, которые лежат в одном из дисков. Для получения равномерной оценки плотности берется отношение:

.

Данный метод позволяет перейти к взвешенной оценке плотности – гораздо более показательной величины, ведь если в участке V диски расположены близко к точке привязки , то в действительности человек не сможет сдвинуться с места в отличие от случая, когда те же самые диски расположены в дальнем конце участка.

Каждая генерируемая в методе Монте-Карло точка наделяется некоторым “весом” – функцией, зависящей от расстояния от этой точки до точки . Для получения веса используется оценка Розенблата-Парзена:

где – итоговая суммарная взвешенная плотность, , – коэффициенты размытости для x и y-координаты, , , , – координаты центра исходной окружности, – координаты i-ой точки, попавшей на какой-нибудь круг.

3. Анализ методов оценивания плотности потока людей

Самым точным методом является аналитический, так как погрешность в результате может возникать только вследствие погрешности записи чисел в памяти компьютера. Также данный метод работает в десятки раз быстрее, чем метод Монте-Карло и сеточный, однако используя аналитический алгоритм оценки плотности сложно перейти к желаемой взвешенной плотности.

Методы Монте-Карло и сеточный работают примерно с одинаковой скоростью, однако эксперименты показали, что при одном и том же числе ячеек сетки / генерируемых точек сеточный метод дает менее точный результат. Уже при 5000 точек в методе Монте-Карло на участке площадью 5 х 0,4 м² точность оценивания плотности достигает 99 %. Сеточный метод дает такую же точность при 100000 ячеек.

Время выполнения каждого из составленных алгоритмов по каждому методу для наглядности представлены в виде сравнительной таблицы. Все вычисления проводились при абсолютно одинаковых условиях, параметры в алгоритмах подобраны таким образом, чтобы точность вычисления в среднем была не менее 99 %:

Метод нахождения плотности	Время 1000 вычислений, в секундах
Аналитический	0,119
Монте-Карло	1,230
Розенблата-Парзена	1,250
Сеточный	12,63

В итоге, самым удобным и оптимальным методом оценки взвешенной плотности является точечный метод Монте-Карло с использованием функции-распределения Розенблата-Парзена.